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relazione capitolo 4 esame controllo statistico ...

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Controllo statistico della qualità

Capitolo 5!

Carte di controllo per variabili

A cura di: Carrino Adriano e Rusciano Gennaro Per il corso di controllo statistico della qualità curato dalla prof.ssa M. Pagliuca!

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Carte di controllo per variabili " Le carte di controllo sono uno strumento utilizzato nell'ambito della statistica per mantenere sotto controllo i vari parametri di un processo." Infatti, all'interno di un processo di produzione sono presenti due tipi di variabilità:"

• la variabilità naturale (o accidentale), che indica l'effetto cumulato di un gran numero di •

piccole cause inevitabili ed incontrollabili; la variabilità sistematica, che indica distorsioni nel processo che possono essere dovute a macchine non regolari, materie prime difettose, errori degli operatori, ecc.!

Poiché la presenza della variabilità naturale è impossibile da eliminare, il nostro obiettivo sarà quello di individuare la presenza di quella sistematica. Infatti se all'interno di un processo di produzione è presente solo una variabilità naturale il processo si dice "in controllo", mentre in presenza di variabilità sistematica il processo è detto "fuori controllo”. Quando la caratteristica di qualità oggetto di indagine, come ad esempio peso, lunghezza dimensione e volume, è misurabile numericamente, verrà chiamata "variabile" e per questa caratteristica sarà utile monitorare la media e la variabilità costruendo le carte di controllo per variabili chiamate 𝓍!, S, R, dove 𝓍! rappresenta la media ed S e R rappresentano rispettivamente la deviazione standard campionaria ed il range; quando invece la caratteristica di qualità non può essere rappresentata numericamente, si definisce l'oggetto solo come conforme o non conforme, difettoso o non difettoso, questo caso darà vita alle carte di controllo per attributi.! Le carte di controllo per variabili si usano per monitorare un processo mediante caratteristiche “continue” (misurabili) della qualità del prodotto. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

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! Carta 𝓍! Sia X una caratteristica quantitativa distribuita secondo la legge di una variabile casuale normale con media μ e deviazione standard σ (entrambe note). Indicando con:!

- m il numero dei campioni (ad es. relativi a m periodi di tempo). - n il numero di unità che compongono ogni singolo campione. - X1, x2, …, xn un campione di dimensione n, proveniente da X. allora il valore medio del campione sarà:! ! ! ! ! 𝓍! ha distribuzione normale di media μ e deviazione standard σ𝓍$. ! Se μ e σ non sono note è necessario stimarle. Stimiamo la media μ del processo calcolando la media generale (ovvero la media aritmetica delle m medie dei campioni) come segue

La 𝓍 verrà usata come linea centrale per la carta 𝓍! Per costruire i limiti di controllo abbiamo bisogno anche di una stima della deviazione standard σ, che calcoliamo con il metodo basato sui range.! Considerando che R sono i range degli m campioni, per costruire i limiti di controllo useremo dunque il range medio R! .! In definitiva, dunque, i limiti per la carta 𝓍! sono i seguenti:! UCL = 𝓍   + A2⋅R! ! LCL = 𝓍   − A2⋅R! " La costante A2 è tabulata per diversi valori di n. Con R! si vuole stimare la variabilità del processo.!

- Si ricorda che per calcolare R! , si calcola R per ogni sottogruppo così: [R = 𝒳max – 𝒳min].! Quindi il range generale si calcola facendo la media aritmetica dei range dei sottogruppi.

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La carta R ! ! È necessaria per far individuare fonti straordinarie di variabilità. Abbiamo già individuato tutti gli strumenti per costruire questa carta. La linea centrale è data da R! . I limiti di controllo sono dati da UCL = D4⋅R! ! LCL = D3⋅R! Le costanti D3 e D4 sono tabulate per diversi valori di n. LCL non va preso in considerazione quando la dimensione n dei sottogruppi è minore di 7. I valori 𝓍! e R degli m campioni usati vanno rappresentati sulla carta rispettiva per verificare se il processo era in stato di controllo quando sono stati presi gli m campioni. Se tutti i punti sono all’interno dei limiti allora si può concludere che il processo è sotto controllo e i limiti (inferiore e superiore) possono essere usati per valutare la produzione futura. ! ! Se uno o più di questi è al di fuori dei limiti: A. vanno esaminate le ragioni di tale situazione B. il dato (o i dati) corrispondenti vanno eliminati C. vanno ricalcolati i limiti escludendo i punti eliminati. D. si deve verificare che i nuovi limiti di controllo siano tali da contenere i punti rimasti. ! Se ciò non accade è necessario procedere ad ulteriori esami fintantoché tutti i punti cadono tra i limiti di controllo.! Se molti punti prova sono fuori controllo allora vuole dire che il campionamento di prova è stato fatto in un periodo fuori controllo. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4

Esempio: supponiamo di avere monitorato per sei giorni (da sabato a giovedì) il peso in grammi di pezzi prodotti da un processo

! ! ! m=6 n=3

Le costanti sono: A2 = 1.023 ! D3 = 0 ! D4 = 2.574

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Interpretazione delle carte 𝓍! e R! ! Una carta di controllo può restituire un’informazione di fuori controllo pur non presentando punti al di fuori dei limiti, ad esempio quando i punti si dispongono in modo non casuale. Nella maggior parte dei casi tale comportamento fornisce utili informazioni diagnostiche sul processo, che possono essere usate per apportare modifiche al processo, consentendo di ridurre la variabilità. Per interpretare correttamente gli andamenti non casuali osservati nella carta 𝓍! bisogna prima accertarsi che la carta R sia sotto controllo, senza tentare di interpretare la carta 𝓍!, se la carta R presenta situazioni di fuori controllo, perché si interviene prima sulla carta R, eliminando i fattori specifici che hanno determinato i fuori controllo, consente di eliminare anche il comportamento non casuale presente nella carta 𝓍!. ! Tra i vari andamenti non casuali, su una carta di controllo è possibile trovare quelli ciclici (condizioni ambientali, affaticamento degli operatori, oscillazione della tensione elettrica ecc)

Una situazione intermedia si manifesta quando i punti tendono a cadere in prossimità dei limiti di controllo, mentre sono pochi quelli che vanno a distribuirsi in prossimità della linea centrale. La causa di tale andamento può essere provocata da una situazione di “sovracontrollo”, ovvero una situazione in cui l’operatore effettua troppo spesso aggiustamenti del processo, dando luogo a comportamenti casuali dell’output ma solo per sottoinsiemi di casi.

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Nel caso di uno spostamento del valore medio del processo le cause possono essere dovute all’introduzione di nuovi operatori, metodi, materiali, macchinari o a un cambiamento delle operazioni di ispezione del processo.

! ! Una deriva, ovvero uno spostamento continuo in una direzione, è dovuta al deterioramento di una qualche parte critica (fisica) del processo produttivo. Queste possono essere ad esempio dovute all’affaticamento umano o alla presenza di una eccessiva supervisione.

Infine, la stratificazione, ovvero la tendenza dei punti a creare gruppi intorno alla linea centrale, può essere dovuta all’errata valutazione dei limiti di controllo.

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Effetto della non-normalità sulle carte 𝓍! e R! ! L’ipotesi fondamentale alla base della impostazione delle carte 𝓍! e R è quella relativa alla distribuzione normale dei dati, che in molti casi reali non è verificata. Una soluzione al problema consiste nel formulare un’ipotesi sulla vera legge di distribuzione dei dati o nello stimarla empiricamente. Questo approccio, però, non risulta semplice e in molti casi si preferisce accettare acriticamente l’ipotesi di normalità per ragioni di semplicità operativa. In queste circostanze è molto importante valutare gli effetti dovuti ad una scelta non appropriata dell’ipotesi di normalità sulle carte di controllo 𝓍! e R.! ! Funzione operativa caratteristica ! ! Le curve operative caratteristiche (OC) delle carte 𝓍! e R sono strumenti importanti per valutare l’efficacia di una carta nell’individuare scostamenti della qualità di un processo. Per costruire la curva OC per la carta 𝓍! si rappresenta su un grafico il rischio -𝛃 calcolato in funzione dell’intensità dello scostamento espresso in unità di deviazioni standard per diversi valori di n.

In questo esempio possiamo osservare delle curve OC per le quali sono stati scelti i limiti di controllo a 3-sigma (L = 3). Da questo esempio emerge che, per dimensioni campionarie di 4, 5 o 6 unità, la carta 𝓍! non è particolarmente efficace nell’individuare piccoli scostamenti della media, ovvero quelli nell’ordine di 1.5𝛔 o meno.! ! 8

Per costruire, invece, una curva OC per la carta R viene usata la distribuzione del range relativo W = R/𝛔. Supponiamo che il valore di riferimento per avere la situazione sotto controllo della deviazione standard sia 𝛔0. La curva OC descrive la probabilità di non individuare lo scostamento dello stato di controllo in corrispondenza di un valore 𝛔1> 𝛔0 al primo campione successivo alla sregolazione.

In questo esempio sono rappresentate le curve OC, dove 𝛃 viene raffigurato in corrispondenza di un valore 𝛌 = 𝛔1/𝛔0 per diversi valori di n. Da quest’immagine possiamo notare che la carta R non è molto efficace nell’individuare scostamenti del processo per dimensioni campionarie piccole.! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 9

! Carte di controllo 𝓍! e S In presenza di dimensioni campionarie sufficientemente grandi è opportuno stimare la deviazione standard del processo con la deviazione standard campionaria S piuttosto che col range campionario R. Facendo in questo modo si ottengono le carte di controllo ! 𝓍! e S che sono preferibili alle corrispondenti carte 𝓍! e R quando si verifica una delle seguenti condizioni: 1. la dimensione campionaria n è abbastanza grande (maggiore di 10) 2. la dimensione campionaria varia da campione a campione. La varianza campionaria corretta è data da:

! ! Mentre S2 è uno stimatore corretto della varianza, S non è uno stimatore corretto della deviazione standard. Se la distribuzione è normale allora S è uno stimatore corretto di c4σ dove c4 è una costante tabulata che dipende da n. Inoltre la deviazione standard di S è: !

Nel caso in cui a σ sia assegnato un valore standard, si può immediatamente calcolare la carta per lo scarto quadratico medio.! ! Supponiamo, come del resto effettivamente accade, che σ sia non noto, allora deve essere stimato utilizzando i dati passati. Si supponga che siano disponibili m campioni preliminari, ciascuno di dimensione n, e sia Si la deviazione standard dell’i-esimo campione. La media delle m deviazioni sarà:!

S è uno stimatore corretto di c4σ , pertanto abbiamo che S/c4 è uno stimatore corretto di σ.! Quando S viene usato per monitorare la variabilità allora può essere anche usato per definire corrispondentemente i limiti di controllo della carta x .! ! 10

E se la dimensione campionaria è variabile?! Nel caso di dimensione campionaria variabile gli m campioni hanno numerosità n1, n2,...,nm. Allora 𝓍  e S! vengono calcolati mediante le seguenti medie ponderate:

per definire le linee centrali rispettivamente delle carte 𝓍! e S.! I limiti di controllo, invece, devono essere calcolati utilizzando le equazioni:

• UCL = B4 S! • CL = S • LCL = B3 S! ! !

Carte di controllo per misure singole!

Ci sono molte situazioni dove la dimensione campionaria usata per monitorare un processo è n = 1, ovvero il campione di una sola unità. Alcuni esempi per tali situazioni sono:! ! ! 1. viene impiegata una modalità di misurazione automatica per cui è controllata ogni unità prodotta. 2. il tasso di produzione è molto basso ed è poco conveniente aspettare di avere raccolto più di una unità prodotta per effettuare il controllo. 3. misure ripetute sono diverse solo per motivi legati a errori di laboratorio o di analisi, come in molti processi chimici. 4. in alcuni processi alcune variabili oscillano molto poco e quindi hanno una deviazione standard troppo piccola rispetto alla globalità della produzione.!

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Alcune note sulle carte di controllo per variabili.

Nota 1: Ogni carta di controllo prevede una revisione periodica dei limiti di controllo e della linea centrale. Queste revisioni possono essere eseguite ad intervalli di tempo regolari. A volte si sostituisce la linea centrale della carta x con un valore obiettivo, diciamo 𝓍!0 . Se la carta R mostra una situazione di controllo allora riposizionare la linea centrale su un valore obiettivo può essere utile per raggiungere livelli di produzione desiderati dal management. (Questa operazione ha senso quando la media può essere modificata con semplici interventi sul processo). Nota 2: Un altro strumento di supporto è dato dalla carta di tolleranza. Questa consente di scoprire se ci sono dati anomali in un singolo campione tali da restituire valori di 𝓍! o di R fuori controllo. Nota 3: per interpretare correttamente le carte di controllo si deve avere sia una buona conoscenza statistica sia una buona conoscenza delle specificità e delle caratteristiche del processo produttivo in esame. Inoltre, ai fini di una interpretazione corretta della carta 𝓍! bisogna prima accertarsi che la carta R sia sotto controllo. Mettere innanzitutto sotto controllo il processo dal punto di vista della variabilità, può servire ad eliminare anche fattori che possono distorcere 𝓍!.! !

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