Copia di esercizi agg - Tutorsggio statistica PDF

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Tutorsggio statistica...

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Tutoraggi di Statistica - EGA - Corso 3 Altri esercizi sull’inferenza dott. Piermario Schirru Esercizio 1. Si vuole fare uno studio sull’altezza dei maschi diciotenni In una citt`a. Si `e estratto un campione di 100 maschi diciotenni e si `e rilevato che l’altezza media e` x = 170 cm. Supponendo che la popolazione segue una legge normale di media µ e varianza 25 cm2 trovare l’intervallo di confidenza della media della popolazione con un livello di confidenza del 95%. [Traccia di risoluzione] Consideriamo la statistica X −µ X −µ Z=r = ∼ N (0, 1). 0.5 25 100 L’intervallo di confidenza al 95% si trover`a imponendo che P (−a < Z < a) = 95% in cui a = 1.96. Quindi −a < Z < a avremo −1.96 · 0.5 < X − µ < 1.96 · 0.5 da cui X − 1.96 · 0.5 < µ < X + 1.96 · 0.5 da cui 169.02 = 170 − 1.96 · 0.5 < µ < 170 + 1.96 · 0.5 = 170.98

Esercizio 2. Consideriamo l’esercizio precedente in cui il campione ha sempre media osservata x = 170 cm e deviazione standard osservata S = 4.5 cm. Supponiamo per`o che la popolazione segue una legge normale di media µ e varianza non nota. Trovare l’intervallo di confidenza della media della popolazione con un livello di confidenza del 95%. 1

[Traccia di risoluzione] Poich´e la varianza della popolazione non `e nota, bisogna stimare la varianza in Z. Consideriamo la statistica X −µ X −µ ∼ t(99). Z=r 2 = 0.45 S 100 L’intervallo di confidenza al 95% si trover`a imponendo che P (−a < Z < a) = 95% in cui a = 1.984. Quindi −a < Z < a avremo −1.984 · 0.5 < X − µ < 1.984 · 0.5 da cui X − 1.984 · 0.45 < µ < X + 1.984 · 0.45 da cui 169.1072 = 170 − 1.984 · 0.45 < µ < 170 + 1.984 · 0.45 = 170.8928

Esercizio 3. Pochi giorni prima delle elezioni, un noto quotidiano commissiona un sondaggio d’opinione per prevedere quale fra le due coalizioni, quella di Centro-destra e quella di Centro-sinistra, potrebbe vincere le elezioni. Nella seguente tabella sono riportati i risultati del sondaggio: Numerosit`a del campione Centro-sinistra Centro-destra 1750 39% 42% 1. Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di elettori che voteranno la coalizione di Centro-sinistra. 2. Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di elettori che voteranno la coalizione di Centro-destra. 3. Si pu`o affermare che la coalizione di Centro-destra `e veramente in vantaggio? [Traccia di risoluzione] Siamo in presenza di una popolazione bernoulliana. Dobbiamo considerare la statistica proporzione pˆ che segue con una legge (1−p) ˆ . Quindi normale di media p e varianza pˆ1750 pˆ − p ∼ N (0, 1). Z=q pˆ(1−p) ˆ 1750

2

1. 

pˆ − p P (−1.96 < Z < 1.96) = P −1.96 < q da cui −1.96 <

0.39·0.61 1750



< 1.96 = 0.95

0.39 − θ < 1.96 0.0116

da cui 0.3672 = 0.39 − 1.96 · 0.0116 < θ < 0.39 + 1.96 · 0.0116 = 0.4127 2. P (−1.96 < Z < 1.96) = 0.95 da cui −1.96 <

0.39 − θ < 1.96 0.0117

da cui 0.397 = 0.42 − 1.96 · 0.0117 < θ < 0.42 + 1.96 · 0.0117 = 0.443 3. No, perch´e gli intervalli si intersecano. Esercizio 4. Si ipotizza che gli scarti della media mensile di un indice di borsa seguano una distribuzione Normale con media e varianze ignote. Sono osservati i seguenti 5 scarti: 1.2 −1 1.3 1.5 −0.5 1. Determinate un intervallo di confidenza al 95% per lo scarto medio mensile. 2. Determinare un intervallo al 95% per la varianza. [Traccia di risoluzione] La media campionaria `e x = 0.5 e s2 = 1.345. 1. Consideriamo la statistica X −µ Z= q ∼ t(4) s2 5

3

da cui P (−a < Z < a) = 0.95 in cui a = 2.7765, da cui −2.7765 <

0.5 − µ < 2.7765 0.518

da cui −0.9382 < µ < 1.9382. 2. Si considera la statistica (n − 1)S 2 ∼ χ2 (n − 1) σ2 da cui

  4S 2 P a < 2 < b = 0.95 σ

in cui 2

• a `e quel valore tale che P( 4S < a) = 0.025, σ2 2

• b `e quel valore tale che P( 4S > b) = 0.025. σ2 Sar`a a = 0.4844 e b = 11.1433. Quindi   4S 2 P 0.4844 < 2 < 11.1433 = 0.95 σ da cui 0.4844 <

4 · 1.345 < 11.1433 σ2

0.4844 <

4 · 1.345 < 11.1433 σ2

da cui da cui

0.48 < σ 2 < 11.1 Esercizio 5. La concentrazione media di sostanze inquinanti osservata nelle acque di un fiume in un determinato anno `e stata del 7.1%. L’anno seguente sono state effettuate 5 rilevazioni e la concentrazione di sostanze inquinanti e` risultata pari a x = 7, 07% con s = 0.0265. A un livello di significativit`a α = 0.05 possiamo affermare che il valore medio della concentrazione `e diverso da quello riscontrato nell’anno precedente? (Si supponga che la concentrazione segua una distribuzione normale. 4

[Traccia di risoluzione] Il test `e H0 : µ 6= 7.1% mentre l’ipotesi alternativa e` quella bilaterale. La statistica test `e X − 7.1% Z= q ∼ t(4). 0.02652 5

La regione di rifiuto dell’ipotesi nulla `e   X − 7.1% P | q | > 2.7765  = 0.05 0.02652 5

Poich´e |

7.07% − 7.1% q | = 2, 53 < 2.7765 0.02652 5

allora accetto l’ipotesi nulla.

5...