Der Kern einer Matrix - Zusammenfassung PDF

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Der Kern einer Matrix = ker (A)

= { 𝑥 │ 𝐴𝑥 = 󰇍 0} Einfach ausgedrückt ist der Kern einer Matrix die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems 𝐴𝑥 = 0󰇍 . Definition. Gegeben sei eine lineare Abbildung f: V → W mit dimV = n und dimW = m. (Das entspricht einer Matrix A є Rmxn)

Der Kern einer Abbildung ist die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor 0 є W abgebildet werden: Kern(f) = { v є V | f (v) = 0 }

Hat man bereits die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung vorliegen, für die gilt: f(v) = f(x) = A ∙ x für alle x є X )so reduziert sich die Bestimmung des Kerns auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems: Kern(f) = Kern(A) ={x є X | Ax = 0}

Die Lösungsmenge dieses (homogenen) linearen Gleichungssystems ist zu 󰇍 . bestimmen 𝐴𝑥 = 0 𝑎11 𝐴𝑥 = ( ⋮ 𝑎𝑚1

⋯ 𝑎1𝑛 ⋱ ⋮ ) ⋯ 𝑎𝑚1

∙

x1 ( ⋮) x𝑛

=

a11 x1 + ⋯ + a1𝑛 x1 ⋮ ⋱ ⋮ ) ( a𝑚1 x𝑛 + ⋯ + a𝑚𝑛 x𝑛

𝟏 𝟐 𝟔 𝟑 𝟒 𝟓 ) Beipiel. Matrix 𝑨 = ( 𝟕 𝟖 𝟗

 Gauß-Eliminationsverfahren

Lösung: ► Rg(A) ≠ Rg(A│b) ► Das lineare GLS hat unendlich viele Lösungen ► x1 = t ► x2 = -2t ► x3 = t 1 ker (A) = {𝑥 |𝑥 = 𝑡 (−2 ) , 𝑡 є 𝑅} 1...