Einführung in die Wirtschaftsmathematik PDF

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Gesamter Kurs zusammengefasst:
Begriffe, Formel, Anwendungen und Beispiele...

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Einführung in die Wirtschaftsmathematik 1. Analysis – Theorie Symbole und Begriffe ∑ ∏ e ││ f(x) logax lnx ⌠⌡ √x

Summenzeichen Produktzeichen Subskript, Index Eulersche Zahl Betragsfunktion Funktion von x Logarithmusfunktion zur Basis a ‘‘ ‘‘ e, natürlicher Logarithmus Ganzzahlfunktion Wurzelfunktion

Elementare Rechenregeln Kommunikativgesetz Assoziativgesetz

Addition Multiplikation Addition Multiplikation

Distributivgesetz 1. binomische Formel 2. binomische Formel 3. binomische Formel Vorzeichenregeln

a+b = b+a ab = ba (a+b) + c = a + (b+c) (ab)c = a(bc) a(b+c) = ab + bc (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a−b)2 = a2 − 2ab + b2 (a+b) (a−b) = a2 − b2 -(-a) = a -(a+b) = -a − b -(a−b) = -a + b

Wertepaare: 

f(x) = x2 + 3 Name (Variable) = Variable Exponent + Konstante Definitionsmenge ID = Alle Werte, die für die Variable x zugelassen werden → Urbildmenge Wertemenge IW = Die Menge der Werte, die die Variable y annehmen kann → Bildmenge Definitionsmenge/-bereich: x ∈ X = ID (f) Wertemenge/-bereich: y ∈ Y = IW (f) Ergebnis: Wertepaare (x,y)

Abbildungseigenschaften: Surjektive Jedem Element aus dem IW ist mind. 1 Element Abbildung einer aus dem ID zugeordnet Funktion → mind. 1 Zuordnung

Injektive Versch. Elemente des ID sind untersch. Abbildung einer Elementen des IW zugeordnet Funktion → höchstens 1 Zuordnung

Wenn beides vorliegt, also injektiv und surjektiv Bijektive Abbildung einer → genau 1 Zuordnung Funktion

Darstellungsformen: 

Tabellarische Darstellung Preis p Menge x

 



12 1

13 5

… …

Analytische Darstellung Funktionsgleichung: y = f(x) mit x ∈ ID (f) → Menge wird bestimmt Darstellung im Koordinatensystem y-Achse = Ordinate x-Achse = Abszisse Wertepaar: P (x/y) → ein Element einer best. Funktion Ursprung = Nullpunkt Grafische Darstellung

Funktionstypen → Unterschied zu Funktionsklassen wichtig!!!

→ Nennen, nicht definieren können Mittelbare/ zusammengesetzte Funktion f = 3x2 g = 2x5 f ± g = 3x2 ± 2x5 Kontinuierliche & Diskrete Funktion

Eindeutige und Eineindeutige Funktion

Durchgehe nd Unterbrochen Umkehrfunktion/ Inverse ID (f) = IW (f-1) und ID (f-1) = IW (f)

Abschnittweise definierte Funktion

Funktionsklassen 







Konstante Funktion f(x) = a (eine Zahl) f(x) = 3 Lineare Funktion f(x) = ax + b f(x) = 5x + 3 Quadratische Funktion f(x) = ax2 + bx + c (c → Additive Konstante, z.B. Fixkosten) f(x) = 5x2 + 3x +1 Ganzrationale Funktion/ Polynome f(x) = an xn + … + a1x + a0 f(x) = 3x3 + 2x2 -1



Gebrochenrationale Funktion f(x) = f(x) =

   

g (x) h(x ) x 3− x 2 2 x−1

Exponentialfunktion f(x) = ex f1 = ax f2 = caf(x) Wurzelfunktion/ Potenzfunktion f(x) = xn f(x) = n√ an Logarithmusfunktion f(x) = loga x = f(y) = ax Treppenfunktion

Funktionseigenschaften a) Nullstellen f(x) = 0 → Anzahl erkennbar am Exponenten b) Extrema globales Maximum auf gesamten Funktion Höhepunkt relatives Maximum Innerhalb eines Intervalls der höchste Pukt globales Minimum Auf der gesamten Funktion Tiefpunkt relatives Minimum Innerhalb eines Intervalls der tiefste Punkt c) Steigung/ Monotonieverhalten (streng monoton steigend, monoton steigend, …) d) Beschränktheit/ Grenzverhalten (obere und untere Schranke) e) Krümmung (konkav von unten, konvex von oben*)

f) Symmetrie (punktsymmetrisch, achsensymmetrisch)

g) Eindeutigkeit/ Eineindeutigkeit h) Stetigkeit

Nullstellen a) Ausklammern b) Polynomdivision → nicht relevant c) Substitution! d) Binomische Formeln: 1. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a−b)2 = a2 − 2ab + b2 3. (a+b) (a−b) = a2 − b2 e) pq-Formel: pq-Formel

(x+2)2 = x2 + 4x + 4 (x−3)2 = x2 – 6x +9 (2+3y) × (2−3y) = 4−9y2 x2 + px +q = 0 x2 → muss immer alleine stehen Bsp. wenn: ax2 + px + q = 0 │ :a

→ Theoriefragen: jeweils ca. 4 nennen & erklären können

Merkzettel: Ableitungsregeln

Rechnen mit Potenzen und Logarithmen ax × ay = ax+y (ax)y = a x*y (

a x x x ) =a :b b

1 : a-x = ax

ax : ay = ax-y (a × b)x = ax × bx a0 = 1

a0,5 = √a ax:y = y√ a x log (a*b) = loga + logb

a-x = 1 : ax

log(a:b) = loga − logb log ab = b*loga

Extrema Schema: ErlösMAX / GewinnMAX / KostenMAX Gegeben ist eine Funktion f(x) 1. Schrit 2. Schrit 3. Schrit

2 Ableitungen bilden f‘ = 0 setzen & auflösen x-Wert einsetzen in f‘‘(x) →wenn < 0, dann MAXIMUM (HP) →wenn < 0, dann MINIMUM (TP)

4. Schrit

x-Wert einsetzen in Ursprungsfunktion f(x)

Notwendige Bedingung Hinreichende Bedingung f‘‘(x) ≠ 0

Um insg. Wert zu bestimmen

Preisbildung auf vollkommenen Märkten   

Nachfragefunktion: Eine Funktion, die jedem Preis p eine nachgefragte Menge x zuordnet Angebotsfunktion: Eine Funktion, die jedem Preis p eine angebotene Menge x zuordnet Marktgleichgewicht: Der Schnitpunkt S (p*/x*) der Graphen der Nachfrage- und Angebotsfunktion → p* = Gleichgewichtspreis

→ x* = Gleichgewichtsmenge



Vollständige Konkurrenz/ Marktabhängige Preisbildung

Nachfrage-bzw. Preis-Absatz-Funktion   

Preis-Absatz-Funktion p(x) eines Monopolisten = Umkehrfunktion der Nachfragefunktion x(p) → Form: p(x) = -ax + b Prohibitivpreis ph → Höchstpreis, zu dem gerade kein Stück mehr verkauft werden kann → ph = p(0) (Schnitpunkt y-Achse) Sättigungsmenge xs → Markt gesättigt, es kann nicht mehr verkauft werden → p(xs) = 0 (Schnitpunkt x-Achse)

Der Preis-Absatz-Funktion bei vollständiger Konkurrenz ist i.d.R. konstant.

Erlösfunktion E(x)   

E(x) = p*x Erlös = Preis * (Absatz-)Menge Auch Ertrags-/ Umsatzfunktion Grenzerlös E‘(x) → Steigung des Erlöses, wenn eine weitere ME produziert wird

Gesamtkostenfunktion K(x)   

K(x) = Kv(x) + KF Kosten = variable Kosten + Fixkosten (x = produzierte Menge) Grenzkosten K‘(x) → Steigung der Kosten bei der Produktion von einer weiteren ME

Stückkostenfunktion K (x) x



k(x) =

 

Betriebsoptimum xopt = Minimum der Stückkostenfunktion Funktionswert k(xopt) = langfristige Preisuntergrenze (da beim Verkauf des Gutes var. + fixen Kosten gedeckt sind)

Variable Stückkostenfunktion 

kv(x) =

Kv (x) x

Variable Stückkosten =   

variable Kostenfunktion produzierte Menge

Betriebsminimum xmin = Minimum der variablen Stückkostenfunktion: Grenzkosten = variablen Stückkosten Betriebsoptimum xmax: Grenzkosten = gesamten Stückkosten Funktionswert kv(xmin) = kurzfristige Preisuntergrenze, da beim Verkauf des Gutes nur var. Kosten gedeckt

Gewinnfunktion G(x)  

G(x) = E(x) – K(x) Gewinnfunktion = Erlösfunktion – Kostenfunktion Gewinnbereich: G(x) = 0

Cournotscher Punkt CP (x in GMAX/p) 

CP (xMAX / p (xMAX) )

 

Ziel des Monopolisten: Gewinnmaximierung Spezialpunkt auf der Preis-Absatz-Funktion zeigt den Zsmhang zw. Preis & Menge, bei der der Gewinn = maximal

2. Funktionen der Kosten- und Preistheorie Überblick ökonomischer Funktionen

Allg. Beziehungen ökonomischer Funktionen der Kosten- & Preistheorie

Ökonomische Funktionen: Notation Produktionsfunktion x(r)

Gibt an… (Definition) Output in Abh. von r

Qualitätsfunktion Q(x) Nachfragefunktion pN(x)

Qualität eines Gutes/ Produktes an Preis bei x Stück

Erlösfunktion E(x) Grenzerlös E‘(x) Erlösmaximum Kostenfunktion K(x)

Gesamterlös bei x Stück Steigung von E(x) Maximum von E(x) Gesamtkosten bei x Stück

Grenzkosten K‘(x) Stückkostenfunktion (Durchschnittskosten) ´ (x) K Betriebsoptimum xopt

Steigung von K(x) Durchschnitliche Kosten einer Einheit

Betriebsminimum xmin +

Merkmale (Definition) Output/ Ertrag/ Produktivität PF = eingesetzten Mitel Qualitätseinheiten = unterschiedlich skaliert + produktbezogen

E(x) = x * pN(x) E‘(x) = 0 & E‘‘(x) < 0 K(x) = Kv(x) + Kfix

K(x) 3. Grades → „ertragsgesetzlich“ bei zusätzlich produzierten Einheit

´ (x) = K

K (x) x

Menge, bei d. d. Stückkostenfunktion = minimal

Minimum der

Minimum von

kurzfristige Preisuntergrenze

durchschnitlichen variablen Kosten

var . Kosten x

=

3. Typische wirtschaftliche Fragestellungen Analysis – Ökonomische Anwendung Kostenminimierung Gesucht: x in KMIN &/ KMIN (x in Kostenminimum/ Kostenminimum) 1. 2. 3.

4. 5.

Gesamtkostenfunktion definieren 2 Ableitungen 1. Ableitung = 0 → nach x auflösen, um Menge x zu bestimmen → neg. Werte = ökonomisch nicht relevant 2. Ableitung ≠ 0 (auf Extremwerte prüfen) 2. Ableitung > 0, Minimum x-Wert in K(x) einsetzen = Kostenminimum Gesamtkosten K(x) = Kv(x) + Kf(x)

Grenzkosten Gesucht: x in K’MIN/ K’MIN (x in Grenzkostenminimum/ Grenzkostenminimum) 1. 2. 3.

4. 5.

Kostenfunktion ableiten 2 Ableitungen der GKF 1. Ableitung → nach x auflösen, um Menge x zu bestimmen → neg. Werte = keine ökonomische Anwendung 2. Ableitung ≠ 0 (auf Extremwerte prüfen) 2. Ableitung > 0, Minimum x-Wert in K‘(x)/ GK(x) = Grenzkostenminimum Grenzkosten K‘(x) = GK(x)

Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze Gesucht: x in kMIN/ kMIN (x in Stückkostenminimum/ Stückkostenminimum) 1. 2. 3.

4. 5.

Stückkostenfunktion/ Durchschnitskostenfunktion bestimmen 2 Ableitungen 1. Ableitung = 0 → nach x auflösen, um Menge x zu bestimmen → Menge x = Betriebsoptimum → neg. Werte = keine ökonomische Anwendung 2. Ableitung auf Extremwerte prüfen 2. Ableitung > 0, Minimum x-Wert in k(x) einsetzen = minimale Stückkosten

Kv (x) x

Stückkosten k(x) =

K (x) x

Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze Gesucht: x in kvMIN/ kvMIN (x in minimale variable Stückkosten/ variables Stückkostenminimum) Rechnung: gleich wie langfristige Preisuntergrenze nur mit kv

Gewinnbereich/ Gewinnzone Gesucht: xs und xg 1. 2.

3.

Gesamtgewinnfunktion = Erlösfunktion - Kostenfunktion Nullstellen berechnen → nach x auflösen → neg. Werte, keine ökonomische Anwendung → kleinere Zahl = Gewinnschwelle xs → größere Zahl = Gewinngrenze xg x-Werte definieren den Gewinnbereich → Menge, bei der d. Erlöse die Kosten decken, kein Gewinn Gesamtgewinn G(x) = E(x) – K(x)

Gewinnmaximierung Gesucht: x in GMAX &/ GMAX (x in Gewinnmaximum &/ Gewinnmaximum) 1. 2. 3.

4.

1. 2. 3. 4.

Gesamtgewinnfunktion = Erlöse - Kosten 2 Ableitungen 1. Ableitung = 0 → nach x auflösen → neg. Werte, keine ökonomische Anwendung 2. Ableitung auf Extremwerte überprüfen → x-Wert in G(x) = Gewinnmaximum → x-Wert in p(x) = Preis Gesamtgewinn G(x) = E(x) – K(x) Gewinnmaximum: Grenzkosten = Grenzerlös Gleichung nach x auflösen → neg. Werte, keine ökonomische Anwendung x-Wert in G(x) = Gewinnmaximum x-Wert in p(x) = Preis Gewinnmaximum: K‘(x) = E‘(x)

Erlösmaximierung Gesucht: x in EMAX/ EMAX (x in Erlösmaximum/ Erlösmaximum) 1. 2.

Gesamterlösfunktion = Preis × Menge 2 Ableitungen

3.

4. 5.

1. Ableitung = 0 → nach x auflösen → neg. Werte, keine ökonomische Anwendung 2. Ableitung auf Extremwert überprüfen 2. Ableitung < 0, Maximum x-Wert in E(x) = Erlösmaximum Gesamterlös E(x) = p(x) × x

Erlösgrenzen und Grenzerlös Gesucht: Nullstellen der Erlösfunktion 1. 2. 3.

Gesamterlösfunktion = Preis × Menge Nullstellen berechnen Nach x auflösen → x-Wert definiert die Erlösgrenze

E(x) = p × m E(x) = 0

Gesucht: Wert der 1. Ableitung der Erlösfunktion 1. 2. 3.

Gesamterlösfunktion = Preis × Menge 1. Ableitung x-Wert einsetzen + Ergebnis interpretieren Erlösgrenze E(x) = 0 &

E(x) = p × m E‘(x) Grenzerlös = E‘(x)

Überblick ökonomischer Zusammenhänge zwischen Erlösen, Kosten und Gewinn Kosten > Erlös → negativer Gewinn K(x) > E(x) → G(x) < 0 Erlös > Kosten → positiver Gewinn E(x) > K(x) → G(x) > 0 Erlös = Kosten → Gewinn = 0 E(x) = K(x) → G(x) = 0 untere Gewinnschwelle: die Nullstelle von G(x), bei d. d. Erlös zum 1. Mal > Kosten Maximale Gewinn: maximale Differenz zwischen Erlös & Kosten

Kostentheorie Polypol

Monopol

x-Wert (Ergebnis) mit Kapazitätsgrenze vergleichen  überhaupt möglich? D │ = [0, xKAP]

Preis-Absatz-Funktion

Erlös = Menge × Preis E=p×x

P(x) = -mx + b Kosten = variable Kosten + Fixkosten K(x) = Kv(x) + Kf(x)

Gewinn = Erlöse – Kosten G(x) = E(x) – ( K(x) ) Klammern wichtig!

Elastizitäten

-∞

∞

Εf,x = 1. 2. 3. 4. 5.

f '(x )∗x f ( x)

Funktionen definieren 1. Ableitung bilden Formel aufstellen Zahlen einsetzen Ergebnis interpretieren

Funktionen mit mehreren Variablen → mehrdimensionaler Raum Hesse-Determinante Maximierung Minimierung Optimierung Bei 2 Produkten

Hesse-Determinante Vorgehensweise

Lagrange-Verfahren Maximierung Minimierung Optimierung mit Beschränkung

1. Ableitungen bilden (5 Stück) 2. f’x=0 und f’y=0 → mit Additionsverfahren lösen: 1. Variable bestimmen, dann in f’ x/ f’y einsetzen (2. Variable) 3. Prüfen, ob Minimum/ Maximum (f‘‘(x)≠0) 4. Hesse-Determinante prüfen f‘‘xx • f‘‘yy – (f‘‘xy)2 > 0 x und y in f(x) einsetzen 5. Interpretation Bsp. Produktivität des Betriebes   

abhängig von Einsatz von Naturdünger (x in t) + von Spritzmitel (y in hl) dargestellt durch die Funktion: P(x,y) = -0,2x2 + 0,3xy – 0,4y2 + 200x +310y berechne unter Verwendung der Hesse-D. die Menge x und y, bei denen die Produktivität maximal wird

1. Ableitungen: P’x = -0,4x + 0,3y P’y = 0,3x – 0,8y + + 200 310 P‘‘xx und P‘‘yy < 0, also MAX (man muss nichts einsetzen, direkt erkennbar) I‘: 0 = -1,2x + 0,9y + 600 II‘: 0 = 1,2x – 3,2y +1.240 I‘ + II‘: 0 = -2,3y + 1.840 y = 800

Vorgehensweise:

3. (-0,4) × (-0,8) – (0,3)2 > 0 0,23 > 0

→ Bedingung erfüllt │+2,3y

y einsetzen in I oder II: 0 = -0,4x + 0,3 × 800 + 200 │+0,4x │:0,4 → x = 1.100

Lagrange-Verfahren

2. P‘‘xx und P‘‘yy < 0

4. P = 234.000 5. Die maximale Produktivität wird in der Höhe von 234.000 PE erreicht.

1. Funktionen definieren → Zielfunktion Z(x,y) → Nebenbedingung → L (x,y,λ) = ZF + λ • (NB) 2. Alle 1. Ableitungen 3. L’x = 0 und L’y = 0 → beide Ableitungen nach λ auflösen und gleichsetzen → λ = λ 4. Optimum und λ bestimmen 5. Interpretation

Partielle Elastizitäten E=

Ableitung •Variable Funktion Eigenpreiselastizität → Wie reagiert die Nachfrage eines Produktes (X) auf die Änderung des Preises (1) → 2 Produkte Kreuzpreiselastizität → Wie reagiert die Nachfrage des einen Produktes (Y) auf Preisänderung des anderen Produktes (1) und umgekehrt

Beispiel Kostüme: Gegeben: Kostüm A: x1 = 10 – 0,8p1 + 0,3p2 → p1 = 20 € Kostüm B: x2 = 15 + 0,5p1 – 0,6p2 → p2 = 30 € 1. Eigenpreiselastizität: x 1' p 1∗p 1 Ex1, p1 = = x1 Ex2, p2 =

x 2 ' p 2∗p 2 x2

−0,8∗20 10 −0,8∗20 + 0,3∗30 −0,6∗30 15 + 0,5∗20 −0,6∗30

=

= -5,33 = │5,33│ → elastisch

= -2,57 = │2,57│ → elastisch

→ Beide Nachfragen reagieren (an den Stellen p1=20 und p2=30) jeweils elastisch auf die Änderung des jeweiligen Preises um 1%. 2. Kreuzpreiselastizität: x 1' p 2∗p 2 Ex1, p2 = = x1 Ex2, p1 =

x 2' p 1∗p 1 x2

=

0,3∗30 10 −0,8∗20 + 0,3∗30

= 3 → elastisch

0,5∗20 15 + 0,5∗20−0,6∗30

= -2,57 = 1,428 → elastisch

→ Beide Nachfragen reagieren jeweils elastisch auf die Änderung des jeweiligen Preises um 1%.

2. Lineare Algebra Vektor    

= Zusammenfassung mehrer Zahlen/ Komponenten/ Koordination zu einer Sinneinheit Schreibweise: als Zeile / Spalte Bsp. Zeilenvektor: a = (30 40 100 20)

Bsp. Spaltenvektor: a

() 30 40 100 20

→ einzelnen Zahlen = Dimensionen Rechenarten am Bsp. Kiosk

C F Kios verkauft Cola, Fanta, Wasser, Bier : B W    

() 30 40 100 20

Addition Multiplikation Linearkombination Skalarprodukt → Zeilenvektor • Spaltenvektor

→ Bsp.

M

(100C

)

F B W • 150 200 80

¿ P C ¿ F ¿ 12 ¿ B (¿ 10 ¿ W ¿ 8¿ )

= 100 × 12 + 150 × 12 + 200 × 10 +

80 ×8

Matrix   

= rechteckiges Zahlenschema eingeteilt in Zeilen & Spalten Matrix mit m Zeilen & n Spalten → m × n -Matrix (m Kreuz n)



¿ J F M C 80 100 ¿ F ¿ 150 ¿ = A → 4×3-Matrix 120 ¿ 100 ¿ B ¿ 150 ( ¿ 80¿ 100 ¿ W ¿ 50 ¿ 50 ¿ 60¿ )



Addition/ Subtraktion



Multiplikation (Matrix • Matrix) Beispiel: ZP= Zwischenprodukte, EP= Endprodukte, R= Rohstoffe

¿ ZP 1 ZP 2 ZP3 ZP 4 R1 2 3 4 ¿ R2 ¿ 1 A= B= ¿ 2 ¿ 3 ¿ 4 (¿ R 3 ¿ 1 ¿ 1 ¿ 1 ¿ 2 ¿¿ ) ( EP 1 EP 2 EP 3 ¿ ZP 1 1 2 3 ¿ ZP 2 3 2 2 ¿ ZP 3 2 1 4 ¿ ZP 4 1 2 1 → Rohstoffe je Endprodukt → Also geht nur A • B

Lineare Gleichungssysteme

 

Lineare Gleichungen: 3 Verfahren Lineare Gleichungssysteme (LGS): 1. Gauß-Verfahren 2. Vollständige Elimination 3. Inverse Matrix

Lineare Gleichung a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

   

n

b=

aj xj ∑ j=1

b und j = Konstanten x1, … , xn = Variablen a1, … , an = Koeffizienten b = absolutes Glied

→ Zsmfassung meherer lineaerer Gleichungen = Gleichungssytem mit m Gleichungen und n Variablen

a1 1 x1 + a1 2 x2 + … + a1 n xn = b1 a2 1 x1 + a2 2 x2 + … + a2 n xn = b2 … … …. am1 x1 + am 2 x2 + … + am n xn = bm

n

bi =

∑ aj xj j=1

→ i = 1, …, m

Unterschiedliche Darstellungsformen:  

Koeffizientenmatrix (A) erweiterte Koeffizientenmatrix (A │ B)

Formen des LGS:  

homogen: wenn A • x = b → mit b = 0 inhomogen: b ≠ 0

Lösungsmöglichkeiten: keine Lösung  nicht lösbares LGS  enthalten in den Gleichungen einen Widerspruch  x + 2y = 5 x + 2y = 4

Zeilenoperationen!:

eine Lösung  eindeutig lösbares LGS  es gibt genau 1 Lösung  Bsp. Paul

mehrere Lösungen  mehrdeutig lösbares LGS  durch Kombi entstehen bis zu ∞ viele Lösungsmöglichkeiten  es muss mind. 1 Variable vorgegeben werden, um Lösungswerte der übrigen eindeutig bestimmen zu können  2x + 4y -2z = 10 x - 2y + 7z = 17 → x = -4 / 14, y = 7 / -5 , z = 5 / -1

  

Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einer Zahl (≠0) Addition einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile Vertauschen von Zeilen

1. Gauß‘ scher Algorithmus 

Ensteheung der oberen Dreiecksmatrix:



Variablen durch Einsetzen in die Gleichungen nacheinander bestimmen

2. Vollständige Elimination   

Erweiterung des Gauß-Verfahrens Je Zeile und je Spalte darf die „1“ nur einmal stehen und der Rest wird zu „0“ Entstehung einer Einheitsmatrix:

3. Inverse Matrix  

Bildet die Einheitsmatrix von oben rechts nach unten links ab Einheitsmatrix E ist das gleiche wie „1“

Ökonomie Produktionsmengenbestimmung Verfahren: 1. Gleichungssystem aufstellen 2. ...