Entscheidungstheorie Zusammenfassung Teil 7 - multiattributive Wertfunktionen PDF

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ET ZF07 - multiattributive Wertfunktionen Wintersemester 2016/17...

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ET#Zusammenfassung#Teil#7:!! Entscheidung!bei!Sicherheit!und!mehreren!Zielen! ! 1.!Additives!Modell! 2.!Gewichte! 3.!Bandbreiteneffekt! !

1.!Additives!Modell! a.#Multiattributive#Wertfunktionen# Def:#Eine!multiattributive+Wertfunktion+drück!die!Präferenzstärke!für!Alternativen!unter! Berücksichtigung!von!mehreren!Zielen!bzw.!Attributen!aus.! ! Alternative!𝑎 ∈ 𝐴!sei!durch!den!Vektor!𝑎 = (𝑎! , … , 𝑎! )!charakterisiert! ! 𝑎! :!Ausprägung!des!Attributs!𝑋! !bei!Alternative!𝑎! ! Zu!jedem!Attribut!𝑋! !gibt!es!eine!auf! 0; 1 !normierte!Einzelwertfunktion!𝑣! (𝑥! )! ! ! Wert!einer!Alternative!a:!𝑣 𝑎 = ! !!! 𝑤! 𝑣! (𝑎! )!mit!𝑤! > 0,! !!! 𝑤! = 1 ! ! ! 𝑤! !ist!der!Wertzuwachs!aufgrund!Veränderung!von!𝑋! !von!𝑥! !auf!𝑥!! !während! alle!anderen!Attribute!konstant!bleiben!

b.#Anwendungsvoraussetzungen# Additive,!multiattributive!Werfunktionen!dürfen!nur!eingesetzt!werden,!wenn! Präferenzunabhängigkeit!gegeben!ist.! NichtLmessbare!WF:!Wechselseitige!Präferenzunabhängigkeit! Messbare!WF:!Differenzunabhängigkeit!

i.+einfache+Präferenzunabhängigkeit+ ! ! 𝑎 = (𝑎! , … , 𝑎!!! , 𝑎! , 𝑎!!! , … , 𝑎! )!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!𝑎′ = (𝑎! !, … , 𝑎!!! , … , 𝑎!!)! , 𝑎! , 𝑎!!! ! ! , 𝑏! , 𝑎!!!!, … , 𝑎! )! 𝑏 = (𝑎! , … , 𝑎!!! , 𝑏! , 𝑎!!! , … , 𝑎! )!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!𝑏′ = (𝑎! !, … , 𝑎!!! !

⇒ (𝑎 ≻ 𝑏 ⇔ 𝑎′ ≻ 𝑏′)!!

ii.+Wechselseitige+Präferenzunabhängigkeit+ Die!Attribute!𝑋! , … , 𝑋! !sind!wechselseitig!präferenzunabhängig,!wenn!jede!Teilmenge! dieser!Attribute!präferenzunabhängig!von!der!jeweiligen!Komplementärmenge!ist.!

iii.+Differenzunabhängigkeit+ Wenn!𝑎, 𝑏, 𝑎! , 𝑏′!wie!oben!definiert!sind,!dann!ist!𝑋! !differenzunabhängig,!wenn!für! beliebige!Attributsausprägungen!gilt:! 𝑎 → 𝑏 !~!(𝑎! → 𝑏 ! )! !!impliziert!wechselseitige!Präferenzunabhängigkeit!

c.#Herbeiführung#von#Präferenzunabhängigkeit# Additives!Modell!ist!einfach,!kann!aber!nicht!immer!angewendet!werden.! " UnterL!und!Obergrenzen!der!Attribute!dichter!zusammenlegen! " Zielsystem!umstrukturieren! Es!gibt!aber!auch!Fälle,!wo!das!additive!Modell!grundsätzlich!nicht!anwendbar!ist.!

ET#Zusammenfassung#Teil#7# 1# !

2.!Gewichte! a.#Ermittlung# Gewichte!müssen!aus!subjektiven!Präferenzaussagen!des!Entscheiders!entnommen! werden!

i.+Direct:Ratio:Verfahren+ " " " !

𝑚!Attribute!werden!vom!Entscheider!ihrer!„Wichtigkeit“!nach!geordnet! Ausgehend!vom!unwichtigsten!Attribut!wird!paarweise!abgefragt!(𝑤! = 1,2𝑤! )! Mit!der!Gleichung! ! !!! 𝑤! = 1 !können!die!Gewichte!einfach!berechnet!werden! Große!Konsistenzprobleme!!

ii.+Trade:Off:Verfahren+ "

Es!werden!2!Alternativen!𝑓!und!𝑔!mit!𝑚!Attributen!gesucht,!die!sich!nur!in!den!2! Attributen!𝑋! !und!𝑋! !unterscheiden!und!bei!denen!der!Entscheider!indifferent!ist.! " Es!gilt!(bei!Präferenzunabhängigkeit):!𝑤! 𝑣! 𝑓! + 𝑤! 𝑣! 𝑓! = 𝑤! 𝑣! 𝑔! + 𝑤! 𝑣! (𝑔! )! " Mit!der!Gleichung! ! !!! 𝑤! = 1 !können!die!Gewichte!einfach!berechnet!werden! ! Schwäche!bei!diskreten!Variablen!!

iii.+Swing:Verfahren+ " " "

! Definition!der!schlechtesten!möglichen!Alternative:!𝑎! = (𝑥!! , 𝑥!! , … , 𝑥! )! ! ! ! ! ! ! Alternativenmenge!{𝑏 = 𝑥! , … , 𝑥!!! , 𝑥! , 𝑥!!!, … , 𝑥! !|!𝑟 = 1, … , 𝑚!}! ! Wird!nach!Präferenz!sortiert! ! Wird!bewertet,!wobei!𝑎! !0!Punkte!und!das!meistpräf.!𝑏 ! !100!Punkte!erhält! Gewichte!werden!durch!Normierung!der!Punkte!berechnet!

b.#Unvollständige#Informationen# i.+Fehlerminimierung+(zu+viele+Informationen)+ " " " " !

Es!liegen!𝑛!Indifferenzaussagen!der!Form!𝑓! 𝑤! , 𝑤! , … , 𝑤! = 0!vor.! 𝑛 ≥ 𝑚!!!Das!Gleichungssystem!ist!überbestimmt! Einführung!einer!Fehlervariable!𝜀! !für!jede!Gleichung:!𝑓! 𝑤! , 𝑤! , … , 𝑤! = 𝜀! ! Ermittlung!derjenigen!𝑤! !mit!den!kleinsten!Werten!für!𝜀! ! Lineare!Programmierung!! o Minimiere!∑(𝜀!! + 𝜀!! )! " Positiver!und!negativer!Teil!von!𝜀! ! o Nebenbedingungen:! " Indifferenzaussagen! " 𝜀!! , 𝜀!! ,!𝑤! ≥ 0!! " 𝑤! + 𝑤! + ⋯ + 𝑤! = 1!

ii.+Dominanzprüfung+(zu+wenige+Informationen)+ 𝑎 ≼! ! 𝑏 ⇔ 𝑣 𝑎 ≥ 𝑣 𝑏 !für!alle!𝑣 ∈ 𝑉(𝐼)! Minimiere!𝑣 𝑎 − 𝑣 𝑏 !unter!NB:!𝑣 ∈ 𝑉(𝐼):! ! Positiver!Zielfunktionswert:!a!dominiert!b! ! Kein!positiver!Zielfunktionswert!bedeutet!nicht!b!dominiert!a!! ! Paarweiser!Vergleich!bis!Rangordnung!der!Alternativen!feststeht!

iii.+Sensitivitätsanalyse+(ungenaue+Informationen)+ !! ET#Zusammenfassung#Teil#7# 2# !

3.!Bandbreiteneffekt! Gewichte!𝑤! !hängen!immer!vom!Intervall![𝑥!! , 𝑥!! ]!ab,!über!das!die!Einzelwertfunktionen! definiert!sind! ! Kleineres!Intervall!führt!zu!geringerem!Gewicht! ! Zentrale!Schwäche!der!DirectLRatioLMethode! ! Korrektur:# " Gewichte!müssen!geändert!werden! " Neues!Intervall!𝐵!! = [𝑥!! , 𝑥!! ]! ! " Korrekturfaktor!𝑀 = 𝛥𝑣! 𝐵!! = 𝑣! 𝑥!! − 𝑣! (𝑥!!! )! !⋅!! " Gewicht!des!Attributs!mit!veränderter!Bandbreite!𝑤!! = !⋅! ! !!! ! !

"

Gewichte!der!Attribute!mit!unveränderter!Bandbreite!𝑤!!

=

!

!!

!⋅!! ! !!!!

!

ET#Zusammenfassung#Teil#7# 3# !...