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Universität Osnabrück

Entscheidungstheorie Zusammenfassung

Robin Schwarze Wintersemester 2015/2016

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Entscheidungstheorie

Inhalt Risikoneutralität ................................................................................................................. 2 Risikoaversion ................................................................................................................... 2 Risikofreude....................................................................................................................... 2 Absolute Dominanz............................................................................................................ 2 Zustandsdominanz ............................................................................................................ 2 Wahrscheinlichkeitsdominanz ............................................................................................ 2 Stochastische Dominanz (1. Ordnung)............................................................................... 3 Ordnungsaxiom ................................................................................................................. 3 Transitivitätsaxiom ............................................................................................................. 3 Stetigkeitsaxiom................................................................................................................. 3 Substitutionsaxiom............................................................................................................. 3 Reduktionsaxiom ............................................................................................................... 3 Monotonieaxiom ................................................................................................................ 3 Unabhängigkeitsaxiom....................................................................................................... 3 µ-Regel .............................................................................................................................. 4 (µ, σ) – Prinzip ................................................................................................................... 4 Indifferenzkurve ................................................................................................................. 4 Arrow-Pratt Maß ................................................................................................................ 4 Sicherheitsäquivalent ......................................................................................................... 5 Risikoabschlag................................................................................................................... 6 Verlustaversion .................................................................................................................. 6 Besitztumseffekt ................................................................................................................ 6 Verstoß gegen die Erwartungsnutzentheorie ..................................................................... 6 Isolationseffekt ................................................................................................................... 6 Spiegeleffekt ...................................................................................................................... 6 Sicherheitseffekt ................................................................................................................ 6 Effekt kleiner Wahrscheinlichkeiten.................................................................................... 6 Framingeffekt ..................................................................................................................... 7 Prospect Theorie ............................................................................................................... 7 Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion ........................................................................... 7 Bayes Theorem ................................................................................................................. 8

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Entscheidungstheorie

Ss

= Situation (Umweltzustand)

w(Ss) = Wahrscheinlichkeit der Situation (Umweltzustand) xAaSs

= Ergebnis einer Situation aus einer Alternative

µ

= E(x)Aa = Der Erwartungswert einer Alternative

σ

= Standardabweichung des Erwartungswertes einer Alternative

σ2

= Var(x) = Varianz eines Erwartungswertes einer Alternative

Risikoneutralität Ein Entscheider ist risikoneutral, wenn er bei der Wahl zwischen einem unsicheren Ergebnis x und einem sicheren Ergebnis in Höhe von E(x), indifferent ist.

Risikoaversion Ein Entscheider ist risikoavers, wenn er bei der Wahl zwischen einem unsicheren Ergebnis x und einem sicheren Ergebnis in Höhe von E(x), das sichere Ergebnis vorzieht.

Risikofreude Ein Entscheider ist risikofreudig, wenn er bei der Wahl zwischen einem unsicheren Ergebnis x und einem sicheren Ergebnis in Höhe von E(x), das riskante Ergebnis vorzieht.

Absolute Dominanz Eine Alternative (A1) dominiert eine Alternative (A2) absolut, wenn das schlechteste Ergebnis der dominierenden A1 nicht schlechter ist als das beste Ergebnis der dominierten A2 und mindestens ein Ergebnis der dominierenden A1 strikt besser ist. 

Absolute Dominanz impliziert Zustandsdominanz aber nicht umgekehrt.

Zustandsdominanz Eine Alternative (A1) dominiert eine Alternative (A2) in ihrem Zustand, wenn das Ergebnis der dominierenden A1 in jedem einzelnen Umweltzustand nicht schlechter ist als das Ergebnis der dominierten A2 in diesem Zustand und mindestens in einem Zustand ist das Ergebnis der dominierenden A1 strikt besser.

Wahrscheinlichkeitsdominanz Die nach Wahrscheinlichkeitsdominanz dominierende Alternative hat stets den größeren Erwartungswert.

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Entscheidungstheorie

Stochastische Dominanz (1. Ordnung) 1. Der Entscheider sortiert seine Werte von xmin nach xmax. 2. Die Wahrscheinlichkeiten für gleiche x-Werte werden addiert. 3. Die Alternative, die auf, und mindestens an einer Stelle unterhalb der anderen Alternative verläuft, dominiert. 4. Verläuft eine Alternative (A1) oberhalb der Alternative (A2) und im späteren Verlauf unterhalb von A1, besteht keine stochastische Dominanz zwischen den Alternativen.

Ordnungsaxiom Ein Entscheider kann für ein beliebiges Ergebnispaar x1 und x2 angeben, ob x1 > x2 oder x1 ~ x2 oder x1 < x2 gilt.

Transitivitätsaxiom Die Präferenzen des Entscheiders sind in dem Sinne konsistent, dass bezüglich beliebiger Ergebnisse x1, x2 und x3 gilt: Gilt x1 > x2 und x2 > x3, dann ist x1 > x3 Gilt x1 < x2 und x2 < x3, dann ist x1 < x3 Gilt x1 ~ x2 und x2 ~ x3, dann ist x1 ~ x3.

Stetigkeitsaxiom Ein Entscheider ist stets in der Lage eine Indifferenzwahrscheinlichkeit zwischen einer Lotterie und einem sicheren Ergebnis anzugeben.

Substitutionsaxiom Ist ein Entscheider zwischen einer einfachen Lotterie und einem sicheren Ergebnis indifferent, so kann er die Lotterie durch das sichere Ergebnis ersetzen und umgekehrt.

Reduktionsaxiom Ein Entscheider kann mehrstufige Lotterien mittels durchmultiplizieren und addieren auf einstufige Lotterien reduzieren.

Monotonieaxiom Wenn zwei Lotterien die gleichen Xmax und Xmin Werten aufweisen, so wählt der Entscheider die Lotterie mit der höheren Wahrscheinlichkeit für Xmax.

Unabhängigkeitsaxiom Die Entscheidung ist unabhängig, egal ob die Alternativen isoliert / einzeln betrachtet werden oder in einer komplexen Wahlsituation.

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Entscheidungstheorie

µ-Regel Gewählt wird diejenige Alternative mit dem höchsten Erwartungswert E(xa) = µ = ∑ w(Ss) ∙ xas 

Kann keine Risikoeinstellung des Entscheiders ableiten.

(µ, σ) – Prinzip

Gewählt wird diejenige Alternative mit dem höchsten Präferenzwert 𝛟(Aa) = 𝛟(µa, σa) 

Präferenzfunktion und Entscheidungsregel.

Indifferenzkurve Ist der geometrische Ort aller (x1, x2) – Kombinationen, die zu derselben Zielgrößenausprägung (demselben Nutzen) Z(x1, x2) führen.

Arrow-Pratt Maß r(x) < 0 risikofreudig

Absolute Risikoaversion: r(x)= -

r(x) = 0 risikoneutral r(x) > 0 risikoavers

∙x

Relative Risikoaversion: r x = r x ∙ x = -

r´(x) < 0 sinkend r´(x) = 0 konstant r´(x) > 0 steigend

=

=

=

=

=

=

=√

=

=

=

=

=

=

=

=

∙

∙

∙

∙ ∙

5

Entscheidungstheorie

Sicherheitsäquivalent Das Sicherheitsäquivalent einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße bzw. ein Ergebnis x, SÄ(x), ist dasjenige sichere Ergebnis, welches der Wahrscheinlichkeitsverteilung gleichwertig ist: U[SÄ(x)] = E[U(x)]

=

√

√[ ] =

=

=

(

∙

√

= ∙

)=

∙

SÄ(x) < E(x) risikoavers SÄ(x) = E(x) risikoneutral SÄ(x) > E(x) risikofreudig

= | -1 ∙

∙

∙

[ ]=

=

=

[ ]

=

∙

= ∙ ∙

=

∙ =

∙

∙

∙

=

∙

=

=

√

∙ √

∙

∙

[ ]

√

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Entscheidungstheorie

Risikoabschlag Der Risikoabschlag für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über ein Ergebnis x, RA(x), entspricht der Differenz zwischen dem Erwartungswert und dem Sicherheitsäquivalent: RA(x) = E(x) – SÄ(x)

Verlustaversion 

Verlustaversion bezeichnet einen überproportionalen Nutzenverlust bei einem Ergebnis, welches für den Entscheider einen Wechsel vom „Gewinnbereich“ in den „Verlustbereich“ mit sich bringt.



„Knick“ der Nutzen- bzw. Wertfunktion an der Schwelle von Gewinnen zu Verlusten.



Relevanter Referenzpunkt (aktuelles Vermögen, bisher erreichter Gewinn).

Besitztumseffekt 

Güter werden von Entscheidern höher bewertet werden, wenn sie sie besitzen, als wenn dies nicht der Fall ist.



Enger Bezug zur Verlustaversion.

Verstoß gegen die Erwartungsnutzentheorie Die Erwartungsnutzentheorie beinhaltet grundsätzlich eine Orientierung am gesamten Einkommen, nicht an Gewinnen und Verlusten gegenüber einer Referenzsituation. Grund: Bei nichtlinearen Nutzenfunktionen würden Entscheidungen davon abhängen, wie der Referenzpunkt gewählt würde. 

Verlustaversion und der Besitztumseffekt implizieren deshalb einen Verstoß gegen die Erwartungsnutzentheorie, weil die Präferenzen abhängig von einem Referenzpunkt sind.

Isolationseffekt Der Isolationseffekt bezeichnet den Einfluss von identischen Bestandteilen einzelner Alternativen auf die Alternativenwahl. Entscheider ignorieren häufig identische Bestandteile, was zu Verletzungen des Bernoulli-Prinzips führen kann.

Spiegeleffekt Entscheider sind zwar bei der Beurteilung von Gewinnen risikoavers, jedoch bei der Beurteilung von Verlusten risikofreudig.

Sicherheitseffekt Der Sicherheitseffekt bezeichnet die relative Überwertung eines (nahezu) sicheren Ergebnisses.

Effekt kleiner Wahrscheinlichkeiten Der Effekt kleiner Wahrscheinlichkeiten bezeichnet die Wahl des höheren, unsicheren Ergebnisses einer Lotterie, gegenüber einem sicheren Ergebnisses, wenn die Wahrscheinlichkeiten für das unsichere Ergebnis sehr gering sind.

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Entscheidungstheorie

Framingeffekt Der Framingeffekt bezeichnet das Phänomen, dass unterschiedliche Formulierungen einer Botschaft, bei gleichem Inhalt, das Verhalten des Empfängers unterschiedlich beeinflussen.

Prospect Theorie Editing Phase 1. Coding: Ein Entscheider wählt seinen Referenzpunkt in der Regel nach seinem aktuellen Vermögen gegenüber dem Verluste und Gewinne festgemacht werden können. 2. Combination: Wahrscheinlichkeiten identischer Bestandteile können addiert werden. 3. Segregation: Sichere Gewinne bzw. Verluste werden von der Lotterie abgetrennt bzw. isoliert. 4. Cancellation: Identische Bestandteile zu vergleichender Alternativen werden ignoriert. 5. Simplification: Ab- bzw. Aufrunden von Wahrscheinlichkeiten. 6. Detection of Dominance: Stochastisch dominierte Alternativen werden identifiziert und von der weiteren Betrachtung aussgeschlossen.

Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion 

Übergewichtung geringer Wahrscheinlichkeiten π(w) > w für sehr kleine w.



Sicherheitseffekt: Die Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion ist Wahrscheinlichkeiten nahe 0 und nahe 1 nicht definiert. Gewichtete Wahrscheinlichkeit

v(x)

Objektive Wahrscheinlichkeit

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Entscheidungstheorie

Bayes Theorem Nach dem Satz von Bayes gilt, dass ein Entscheider sein anfängliches Wahrscheinlichkeitsurteil revidiert, nach dem Zugang einer Information und bildet ein neues Wahrscheinlichkeitsurteil....