Esercizi su strutture e introduzione alle funzioni - Matematica 1 a.a. 2013/2014 PDF

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Esercizi 1 – Strutture, introduzione alle funzioni Quesiti a risposta multipla 1) Si considerino i due intervalli A = [ 0,3] , B = (3, 7 ) ; allora A ∪ B

[ a] è l’unione di due intervalli, quindi non è un intervallo [b] è un intervallo, ma non è né aperto né chiuso [ c ] è un intervallo aperto [ d] è un intervallo chiuso ⎡ t2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎢ ⎥ 2) Consideriamo, al variare di t , s ∈ R , i vettori x = ⎢ 2 ⎥ , y = ⎢ s ⎥ . Allora x  y per: ⎢ ⎥ ⎢t + 1⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣ ⎦ [b] t > 2, ∀s [d ] t ≥ 2, s ≤ 2 [ a] t > 2, s < 2 [c ] t ≥ 2, s < 2

⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3) Consideriamo i vettori x = 2 , y = 2 , z = ⎢ 1 ⎥ . Allora risulta: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎣⎢ −1⎦⎥ ⎣⎢ −1⎦⎥ [a ] x  y, x  z [b] x  y, x > z [d ] nessuna delle precedenti [ c ] x > y, x  z

⎡3 ⎤ ⎡2 ⎤ 4) Siano x = ⎢ ⎥ , y = ⎢ ⎥ . La relazione d ( x, y ) = d ( x, z) + d ( y , z ) è: ⎣5 ⎦ ⎣3 ⎦ 2 [a ] vera ∀ z∈ R [b] falsa ∀z ∈ R 2 [ c ] vera se e solo se i punti x, y , z sono allineati

[d ] vera se e solo se il punto z

appartiene al segmento di estremi x, y

5) Consideriamo i punti P (2, 2), Q (2,3) del piano. Allora: [a ] P appartiene all’intorno di Q di raggio 1 [b] P appartiene all’intorno di Q di raggio 2 [ c ] Q appartiene all’intorno di P di raggio 0.5

[d ] nessuna delle precedenti

6) Consideriamo l’insieme di numeri reali A = (−2,5 ) ∪ {7 } . Per l’insieme A, x0 = 7 è un punto:

[a ] di accumulazione

[b] interno

[c ] esterno

[d ] nessuna delle precedenti

7) Consideriamo l’insieme A = {( x, y ) ∈ R2 : y = x } . Per l’insieme A, x = (2, 2 ) è un punto:

[a ] di accumulazione

[b] interno

[c ] esterno

[d ] nessuna delle precedenti

8) Siano dati gli insiemi A = (1,10 ] , B = [ 3,12 ) . Quale tra i seguenti insiemi è compatto?

[a ]

A∩B

[b] A ∪ B

[c ]

[d ]

A

B

2 9) Consideriamo l’insieme A = {( x, y ) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 2, y ≥ x } . L’insieme A è:

[a ] aperto e illimitato [ c ] chiuso e limitato

[b] chiuso e illimitato [d ] nessuna delle precedenti

10) Consideriamo gli insiemi A = {( x, y ) ∈ R 2 : y ≤ − x } , B = {( x, y ) ∈ R2 : y ≥ ln x} . L’insieme

A ∩ B è:

[a ] aperto e illimitato [ c ] chiuso e limitato

[b] chiuso e illimitato [d ] nessuna delle precedenti

11) Sia f ( x) = 2( 1 − x) , definita sul dominio ( 0,1) . L’insieme immagine di f ( x ) è:

[a ] ( −2, 0 )

[b] (0,1)

[d ] nessuna delle precedenti

[c ] ( 0, 2 )

12) Si considerino le funzioni f ( x) = x , g ( x) =

[a ] lo stesso grafico [ c ] lo stesso insieme immagine

( x ) . Allora le funzioni 2

f ( x), g( x) hanno:

[b] lo stesso dominio naturale [d ] nessuna delle precedenti

Quesiti a risposta aperta 1) L’intorno di raggio

1 2

del punto x0 =

3 2

è:

⎡ −1 ⎤ ⎡ −3⎤ ⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2) Dati i vettori x = −2 , y = −2 , z = ⎢ 2 ⎥ , il vettore 2 x − y + 2 z è: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ ⎣⎢ 0⎦⎥ ⎣⎢ −4⎥⎦

⎡ 2 ⎤ ⎡α −1 ⎤ ,y =⎢ 3) Siano dati i vettori x = ⎢ ⎥ , con α ∈ R . Per quali valori di α si ha x > y ? ⎥ ⎣2 − α ⎦ ⎣ 3 ⎦

⎡ − 1⎤ ⎡ t −1⎤ ⎢ ⎥ 4) Consideriamo, al variare di t ∈ R , i vettori x = 2 , y = ⎢ 2 ⎥ . I valori del parametro t per cui ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2⎦⎥ si ha x > y sono:

{

5) Consideriamo l’insieme A ⊆ R4 definito da A = x ∈ R 4 : x < 5

(

)

} e i punti P (−1, −1, 0, 2 ),

Q −1, 2,0, 2 . Si dica se i punti P, Q sono interni, esterni, di frontiera, di accumulazione per A.

6) Consideriamo l’insieme A ⊆ R , A = (1, 2 )∪ [5, +∞ ). Si dica se l’insieme A è aperto, chiuso, limitato, compatto. 7) Il dominio naturale della funzione f ( x ) = ln ( x − 4x ) + ln (x − 3 ) è: 2

8) Si considerino le funzioni f ( x) = x , g ( x ) = x −1 . Sia A il dominio naturale della funzione h (x ) =

g ( x) . Si dica se l’insieme A è aperto, chiuso, limitato, compatto. f ( x)...