Examen 11 2017, preguntas y respuestas PDF

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Certamen calculo diferencial...

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Prueba Sumativo 2-Módulo 1 Cálculo I. (220164-220166-220130) 12 d ril 6 Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rut:..................Sección:....... P1(20 ptos)

P2(30 ptos)

P3 (30 ptos)

P4 (20 ptos)

Total ptos

Nota (1-7)

1. (20 ptos) Completar: a) Una función f es sobreyectiva, si y solo si: su recorrido es igual al codominio

b) El dominio de la función f (x) =

Dom(f) =] − ∞,

2 3]

(4 puntos)

√ 4 − 6x es:

(4 puntos)

c) El dominio de la funcion compuesta gof , para f y g funciones se define como:

Dom(f) = {x ∈ R/x ∈ dom(f ) ∧ f(x) ∈ dom(g)} (4 puntos)

d ) La relación R = {(−1, 2), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (2, 3)} es o no función (Justifique): R no es función, ya que x = 0 tiene dos imagenes. (4 puntos)

e) Si f(x + 3) = x2 − 2x + 5, entonces f(x) = x2 − 8x + 20 Solución: Sea z = x + 3, x = z − 3 Así, f(z) = (z − 3)2 − 2(z − 3) + 5 = z 2 − 8z + 20 Luego, f (x) = x2 − 8x + 20 (4 puntos) 1

2. (30 ptos) Dada la función f definida por: f (x) =

√

3−x x+1 .

a) Determinar el dominio D de definición de f . Solución: 3−x ≥ 0} dom(f) = {x ∈ R/ x+1 = {x ∈ R/[(3 − x) ≥ 0 ∧ (x + 1) ≥ 0] ∨ [(3 − x) ≤ 0 ∧ (x + 1) ≤ 0]} =] − 1, 3] (10puntos)

b) Demostrar que f es inyectiva sobre D. Solución: Sean a, b ∈ dom(f ) √f (a) = f√/(b) 3−a a+1 3−a a+1

(3 − a)(b + 1) 3b + 3 − ab − a 4b a Por lo tanto, f es

=

3−b b+1 3−b b+1

= = (3 − b)(a + 1) = 3a + 3 − ab − b = 4a = b (10puntos) una función inyectiva

c) Defina f −1 , haciendo las restricciones que sean necesarias, indicando claramente su dominio y codominio. Solución: Calculemos el recorrido de f Sea y ∈ rec(f), si y solo si, √ x ∈ dom(f),

y=

⇔ x ∈] − 1, 3], x =

⇔ ⇔ ⇔ Asi,

3−y 2 y 2 +1

3−x x+1

3−y 2 y 2 +1

,

y≥0

−1 < ≤ 3, y ≥ 0 −1 < 3 ≤ 4y2 + 3, y ≥ 0 y ≥ 0 (5puntos) recf = [0, +∞[

Se tiene que f es inyectiva en su dominio, pero no sobreyectiva, para que los sea, restringiremos su codominio al recorrido, esto es: Cod(f ) = [0, +∞[

Por lo tanto, f es una función inyectiva y sobreyectiva, luego admite inversa y es:

f −1 : [0, +∞[→] − 1, 3], tal que f −1 (x) =

2

3−x2 x2 +1

(5 puntos)

3. (30 ptos) Sean las funciones f y g definidas sobre R, dadas por : f (x) = 5−3x y g(x) = 5−4x−x2 . a) Determine el recorrido de g Solución: Calculemos el recorrido de g Sea y ∈ rec(g), si y solo si,

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x ∈ dom(g), y = 5 − 4x − x2 x ∈ R, (x + 2)2 = 9√− y x ∈ R, x = −2 ± 9 − y 9−y ≥0 y ≤ 9 (10puntos)

Luego, Rec(g) =] − ∞, 9]

b) Justifique porque g no es inyectiva.

En efecto, para x = −5 y x = 1, g(−5) = g(1) = 0. Así g no es inyectiva.

(5 puntos)

c) Defina la compuesta entre g y f. Solución:

Se tiene que el dominio de g ◦ f es R (5 puntos) Así, (g ◦f) : R → R, tal que (g ◦f)(x) = g(f(x)) = g (5 − 3x) = −40+42x− 9x2 (5 puntos)

d ) Calcule y simplifique la expresión

f (x+h)−f (x) h

=

f (x+h)−f (x) h

(5−3(x+h)−(5−3x) h = 5−3x−3h−5+3x h = −3h h

= −3

(5puntos)

3

,

h = 0

4. (20 ptos) Se estima que el número de horas-trabajador requeridas para distribuir nuevas guías telefónicas al x % de las familias en cierta comunidad rural está dado por la función f (x) = 600x 300−x a) ¿Cuál es el dominio de f ? dom(f ) = R − {300} (5puntos)

b) ¿Para qué valores de x tiene f(x) una interpretación practica para este contexto? Para este problema, x ∈ [0, 100] (3 puntos)

c) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir las nuevas guías telefónicas al primer 50 % de las familias? Solución:

60050 f (50) = 300 −50 = 30000 250 = 120

Luego, se necesitan 120 horas-trabajador para repartir las nuevas guías telefónicas al primer 50 % de las familias. (6 puntos) d ) ¿Qué porcentaje de familias había recibido nuevas guías telefónicas cuando se completaron 150 horas trabajador? Solución:

f (x) = 150 600x 300−x = 150 600x = 45000 − 150x 750x = 45000 x = 60

El 60 % de familias había recibido nuevas guías telefónicas cuando se completaron 150 horas trabajador. (6 puntos)

4...