Examen 11 Octubre 2017, preguntas y respuestas PDF

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Pauta Primera Prueba de Cátedra DAMA410-DAMA389 11 de octubre de 2017 Nombre.............................................................................. 1. Sean P = (2; 0) y Q = (0; 2) : i) [3 puntos] Parametrice el segmento de recta dirigido que comienza en el punto P y termina en el punto Q; pre...

Description

Pauta Primera Prueba de Cátedra DAMA410-DAMA389 11 de octubre de 2017 Nombre..............................................................RUT................. 1. Sean P

= (2; 0)

i) [3 puntos]

y Q

= (0; 2) :

Parametrice el segmento de recta dirigido que comienza

en el punto P

y termina en el punto Q; precisando el dominio del

parametro utilizado.

Solución:

El segmento se puede parametrizar por:

(x; y ) = (1

 t) (2; 0) + t (0; 2) ; t 2 [0; 1] =2

x

con t

ii) [7 puntos]

 2t

= 2t

y

2 [0; 1]

Parametrice el arco  del círculo de radio

2

y centro

(0; 0);

orientado de P a Q: Precisar el dominio del parametro utilizado.

Solución: :



con t

iii) [5 puntos] Solución:

x

= 2 cos t

y

= 2 sin t

h

2

0;



i

2

Calcular la longitud de arco de 

La longitud l está dada por

Z l

Z

Entonces: l

=

0

=

t1

q

t0

=2 q (

2 2 (x0 ) + (y 0 ) dt

2 sin t)2 + (2 cos t)2 dt Z

l

=

2dt

0 l

1

=2

=



2. Considere el plano 

i) [9 puntos] Solución:

:

x

+ y + 2z = 12

y la recta L

:

x1 = y1 = 3 2

z

+ 2:

Determine el punto intersección entre el plano y la recta L:

La intersección 

\ L está dada por el sitema

 x1 = y1 3 2 x

=

z

+2

+ y + 2z = 12

Para resolver el sitema, usamos las ecuaciones parametricas de la recta

x

=

3t + 1

y

=

2t + 1

z

=

t

2

Entonces reemplazando en la ecuación del plano obtenemos:

t

+ 1 + 2t + 1 + 2t

 4 = 12

De donde

=2

t

Entonces el punto de intersección es

(7; 5; 0)

ii) [6 puntos] Solución:

Hallar la distancia del plano  al origen.

La distancia d del plano al origen está dada por

d

=

j1  0 + 1  0 + 2  0  12j p2 2 2 1 +1 +2

d

=

2

12

p

6

=2

p

6

3. Sean S1 y S2 las super…cies de…nidas por las ecuaciones:

i) [8 puntos] Solución:

p 

x2

S1

:

z

=

S2

:

z

=1

+ y2

y

Haga un bosquejo de la grá…ca de cada super…cie.

S1 representa la rama superior del cono de dos hojas z

2 2 x +y

2 =

S2 representa un plano que se proyecta en la dirección del eje x

6 4

z 4

0 -2-4 02 0-2 -4 4

2

x

y

5

z

0 -4 -22 0 4

4

x ii) [12 puntos]

y

Parametrice la curva  determinada por la intersección

de las super…cies S1 y S2 . Haga un bosquejo de la grá…ca de :

Solución:

De la ecuación de S1 obtenemos que z

Entonces

(1



y)

2

=

2

x

=

2

3

2

+y

Entonces y

x

=

1

+y

2

,   2

1

x

2

2

2y =

x

2

Podemos entoces parametrizar la curva x y

z



por

= 2 = 1 2 = 1  = 1  1 2 2 = 1 +2 t

t

y

2

t

t

La curva abajo:



es una parábola en el plano

;

5 0 -4 -22 0 4

x

4

4

y

como se ve en la …gura de

4. Considere la función vectorial

r(t) = 2 cos(t) i+2sen(t) j+3t k i) [6 puntos]

Calcular la componente tangencial

aT (t) de la aceleración.

Solución: Primera forma de resolución:

r (t) = 2 sin t i+2 cos t j+3 k 0

r (t) = 2 cos t i2 sin t j 00

kr0 (t)k

p

=

p

=

(

2 sin t)2 +(2 cos t)2 +32

13

Entonces

aT (t) = 1

aT (t) = p

17

r (t)  r (t) kr (t)k 0

00

0

(2 cos t i2 sin t j)  (2 sin t i+2 cos t j+3 k) 1

aT (t) = p

13

(4 cos t sin t  4 sin t cos t)

aT (t) = 0 Segunda forma de resolución:

T (t)

r (t) kr (t)k 0

= =

0

1

p

13

(2 sin t i+2 cos t j+3 k)

aT (t) = r (t)  T (t) 00

1

aT (t) = (2 cos t i2 sin t j)  p

13

aT (t)

ii) [6 puntos]

1

=

p

=

0

13

(2 sin t i+2 cos t j+3 k)

(4 cos t sin t  4 sin t cos t)

Calcular la componente normal

Solución:

5

aN (t) de la aceleración.

Primera forma de resolución:

N

a

q

(t) =

2

kr00(t)k  (aT t())2

N (t)

p

40

=

a

=

2

Segunda forma de resolución: T

0

1

p

(t) =

(2 cos t i2 sin t j)

13

2

kT 0 (t)k = p

13

Entonces N (t)

0

T

=

(t)

kT 0 (t)k

= ( cos t i sin t j)

N (t) = r

a

00

(t)

 N (t)

N (t) = (2 cos t i2 sin t j)  ( cos t i sin t j) aN (t) = 2

a

Tercera forma de resolución: kr0 (t)t  r00 (t)k kr0 (t)k

N (t) =

a

N (t) =

a

   

1

p

17

N (t) =

a

1

p

i

2 sin t

j

k

2 cos t

3

2 sin t

2 cos t

0

  

k(6 sin t; 6 cos t; 4)k

13

1

N (t) = p

a

p

13

52

N (t) = 2

a

iii) [8 puntos] Obtener la ecuación del plano osculador en el punto Solución: El plano osculador en n n

t

=

=0

r

0

(0)

= (0; 2; 3)

6

tiene vector normal  r00(0)  (2; 0; 0)

t

= 0:

n=

i

j

0

2

3

0

0

2 n = 6

j

k

+ 4k

Entonces la ecuación del plano es

(x

 2  0  0)  n = 0 ;y

es decir,

;z

6

y

+ 4z = 0

CALCULO DE LA NOTA. Si P respresenta el punta je obtenido, entonces la nota N se obtiene de la siguiente manera:



N

=

1 14 P + 1; 3 1 2; 28 P



7

si si

0

  42   70

42

P

P...