Examen 2015, preguntas y respuestas PDF

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EJERCICIO 1 DE DUALIDAD Y Una florista sabe hacer solo 2 tipos distintos de arreglos florales (x1 y x2) para los cuales dispone de 3 tipos distintos de flores: rozas, tulipanes e ibizcos. Los requerimientos de flores para cada arreglo, la disponibilidad de flores y los precios de cada arreglo vienen...

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EJERCICIO 1 ANÁLISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD-EJERCICIOS Una florista sabe hacer solo 2 tipos distintos de arreglos florales ( x1 y x2) para los cuales dispone de 3 tipos distintos de flores: rozas, tulipanes e ibizcos. Los requerimientos de flores para cada arreglo, la disponibilidad de flores y los precios de cada arreglo vienen dados por: FLORES Rozas Tulipanes Ibizcos PRECIO

x1 x2 DISPONIBILIDAD 3 1 300 1 1 140 1 3 300 2000 1000 -

1. Formule un PPL que resuelva el problema de maximización de ingresos por ventas sujeto a la disponibilidad de recursos. 2. ¿Cuál es el problema dual asociado? ¿Qué situación podría estar optimizando? 3. Usando el teorema de holgura complementaria, encuentre el ´optimo del problema dual sabiendo que el óptimo primal viene dado por (x1 = 80, x2 = 60). 4. Suponga que retorna frustrado después que una bella dama le cerrara la puerta cuando usted le llevaba amablemente una rosa, un tulipán y un ibizco 1. Si se encuentra con la florista, ¿Cuánto cree que estaría dispuesta a pagar ella por sus flores? Solución 1. A estas alturas del curso, todos debieran de poder modelar un problema tan sencillo como este por lo que ahorrare comentarios: Max z = 2000x1 + 1000x2 s. a

3x1 + x2

≤

x1 + x2 ≤

x1 + 3x2

≤

3 0 0 1 4 0 3

1 Dependiendo el caso, puede alternativamente imaginar que es usted una bella dama quien cerró la puerta a un apuesto varón sin antes haberse quedado con las flores :)

x1,x2

0 0 0

≥

2. Para encontrar el dual, procedemos como se describió en la introducción teórica de esta clase aplicando las relaciones de dualidad: Min w = 300y1 + 140y2 + 300y3 s. 3y1 + y2 + y3 a y1 + y2 + 3y3 y1,y2,y 3

≥

20 00 ≥ 10 00 ≥ 0

Esta formulación resuelve el problema de un agente externo que quiere saber qué precio unitario ofrecer por cada una de las flores si quiere comprarle todas las flores a la florista. Así, y1, y2 e y3 son los precios asociados a las rozas, tulipanes e ibizcos. 3. La florista ha encontrado su combinación ´optima (¯x1 = 80, x¯2 = 60). Sabemos que en el ´optimo se cumple el teorema de holgura complementaria. Entonces, podemos aplicarlo: a) (3¯x1 + ¯x2 − 300) · y¯1 = 0 b) (¯x1 + ¯x2 − 140) · y¯2 = 0 c) (¯x1 + 3¯x2 − 300) · y¯3 = 0 d) (2000 − 3¯y1 − y¯2 − y¯3) · x¯1 = 0 e) (1000 − y¯1 − y¯2 − 3¯y3) · x¯2 = 0 Como ¯x1 = 80 y ¯x2 = 60, se tiene que: a) ⇒ y¯1 ∈ R b) ⇒ y¯2 ∈ R c) ⇒ y¯3 = 0 d) ⇒ 3¯y1 + ¯y2 = 2000 e) ⇒ y¯1 + ¯y2 = 1000 Resolviendo el sistema: y¯1 = 500

y¯2 = 500

y¯3 = 0

Notar que z (¯x) = w (¯y) = 220000

¿Cómo se interpreta esto? La florista venderá rosas y tulipanes a un precio de $500 cada una y entregará como oferta los ibizcos gratis, pero esto solo si se vende todo como un paquete. Esto toma sentido pues si vende todas las rosas y tulipanes (dado que solo sabe hacer los arreglos florales descritos) no podrá sacarle provecho alguno a los ibizcos. 4. Asumiendo los paradigmas de competencia perfecta2, la florista ofrecerá por las flores una cantidad idéntica a lo que ella ganaría por ellas. Este valor viene dado nuevamente por los ´óptimos duales o precios sombras: y¯1 = 500

y¯2 = 500

y¯3 = 0

En efecto y para reforzar lo dicho, en el ´optimo se tendría que: z = ∗ =

cBB∗−1b − X c¯RxR no básica π∗b − X c¯R · xR

No básica

2 Es decir, que el precio de transacción de un bien es tal todos los agentes quedan indiferentes

Entonces

Para problemas de programación lineal, el valor de doble asociado con una restricción también se conoce como el precio dual (o el precio sombra). Este último se interpreta generalmente económicamente como la velocidad a la que los cambios en el valor óptimo con respecto a un cambio en algún lado derecho que representa un suministro de recursos o requisito de la demanda.

EJERCICIO 2 Una compañía transportadora tiene 10 camiones con capacidad de 40.000 libras y 5 camiones de 30.000 libras de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operación de 0,30 centavos por milla, y los más pequeños de 0,25 centavos por milla. En la próxima semana la compañía debe transportar 400.000 libras de malta para un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos significa que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar la malta? (Ignorar el hecho de que la respuesta debe darse en forma de números enteros) Z= Minimizar movilización transporte malta X 1= Camiones grandes X 2= Camiones pequeños

CAMIONES DESCRIPCION

X1 C. Grandes de 40000

Capacidad transporte Camiones en 2 reserva Nº de camiones 1 grandes Nº de camiones pequeños COSTO DE 240,00 OPERACION

X2 C. Pequeños 30000

≥ 400000 libras

-1

≤ 15 ≤ 10 ≤5

1 200,00

Z (min)=240X1+200X2 » Sujeto a: 40000X1 + 30000X2 ≥ 400000 2X1 +

X2

X1

≤ 10

X2

≤5

≤ 15

MODELO MATEMÁTICO 1.- Programa

$

MILL AS 0,3 800,00 0 0,2 800,00 5

RESTRICCIONE S

$/MILL AS 240,00 200,00

INTERPRETACIÓN El numero óptimo de camiones grandes es de 10 y camiones pequeños es 5 cada uno como capacidad de transportación de la malta, debemos tener reserva por lo menos 10 camiones pequeños y 5 grandes, el número de camiones grandes que debemos tener de reserva debe no mayor a 10 camiones y el número de camiones de reserva pequeños no debe ser mayor a 5 camiones

EJERCICIO 3 Un productor de combustible elabora dos tipos de mezclas de gasolina. El primer combustible C1 requiere las siguientes proporciones de tres tipos de gasolina: 20% de la A, 50% de la B y 30% la C. El segundo combustible C2 requiere un 40% de la B y un 60% de la C. Los costos de las gasolinas A, B y C son respectivamente 0.50, 0.80 y 1.50 dólares por galón. El precio de venta del primer combustible es de 1.20 dólares y de 1.52 dólares el segundo. Asumiendo que se vende cualquier producción y que semanalmente puede obtener 6 mil galones de gasolina tipo A, 20 mil galones de tipo B y 18 mil galones de tipo C, programar la producción óptima. Z= Maximizar las utilidades X1= Galones combustible C1 X2= Galones combustible C2

TIPOS DE COMBUSTIBLES DESCRIPCIONES

Combustible C1 X1

Combustible C2 X2

RESTRICCIONES

Gasolina A

0.20

Gasolina B

0.50

0.40

≤ 20000 galones

Gasolina C

0.30

0.60

≤ 18000 galones

COSTOS

$ 0.25

$ 0.30

≤ 6000 galones

Combustible C1

Combustible C2

0.50 × 20%= 0.10

0.80 × 40%= 0.32

0.80 × 50%= 0.40

1.50 × 60%= 0.90

1.50 × 30%= 0.45 Costo

Costo

0.95

Precio de Venta Combustible C1 = $ 1.20 Precio de Venta Combustible C2 = $ 1.52 PRECIO DE VENTA – COSTO = UTILIDAD 1.20 – 0.95 = 0.25

X1

1.52 – 1.22 = 0.30

X2

Z (Max) = 0.25 X1 + 0.30 X2 SUJETO A: 0.20 X1

≤ 6000

1.22

0.50 X1 +0.40 X2 ≤ 20000 0.30 X1 + 0.60 X2 ≤ 18000 MODELO MATEMÁTICO 1.- Programa

INTERPRETACIÓN Para obtener semanalmente 6 mil galones de gasolina tipo A, 20 mil galones de tipo B y 18 mil galones de tipo C, se debe producir 26667 de combustible C1 y de combustible C2 16667.

EJERCICIO Nº 4 Una empresa planea una campaña de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320000 individuos-audiencia (AI), de los cuales al menos 120000 tengan un ingreso mínimo anual de 30000 dólares, y al menos 80000 sean solteros. Se desea utilizar únicamente la radio y la televisión como medios de publicidad. Un anuncio de televisión cuesta 400 dólares y se estima que llega a un promedio de 40000 individuos-audiencia (AI), de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 30000 dólares anuales y un 20% son solteros. un anuncio por radio FM cuesta 200 dólares llega a un auditorio promedio de 10000 oyentes de los cuales 80% tienen ingresos superiores a los 30000 dólares anuales y 4000 son solteros. Hallar el número de anuncios por cada medio para minimizar el costo.

Z= Minimizar el costo de publicidad X1= anuncios por TV X2= anuncios por radio FM Descripción

Medios

X1 anuncios TV Individuos Audiencia general 40000 Individuos Audiencia altos 10000 ingresos Individuos Audiencia solteros 8000 COSTO ANUNCIOS $400

Restricción X2 anuncios radio 10000

≥ 320000

8000

≥ 120000

4000

≥ 80000

$200

Z (min)= 400X1 + 200X2 Sujeto a: 40000X1 + 10000X2 ≥ 320000 10000X1 + 8000X2 ≥

120000

8000X1 + 4000X2 ≥ 80000 ≥ 0

X 1,

X2

INTERPRETACIÓN Para que una empresa minimice sus costos de publicidad debería destinar $400 en anuncios de TV y $200 en anuncios por radio. Se esperaba 320000 individuos-audiencia (AI), estos llegan en su totalidad al número esperado, de los cuales al menos se estimaba que 120000 tengan un ingreso mínimo anual de 30000 dólares, para el ejercicio se cumple igual con la cifra estimada, y al menos 8000 son solteros, cumpliéndose así lo planteado.

EJERCICIO Nº 5 EJERCICIO POR MÉTODO DE TRANSPORTE Hatcher Enterprises utiliza un producto químico llamado Rbase en las operaciones de producción en cinco divisiones. Sólo seis proveedores de las normas de control de calidad de Rbase encuentran Hatcher. Todos los seis proveedores pueden producir Rbase en cantidades suficientes para satisfacer las necesidades de cada división. La cantidad de Rbase necesita cada división Hatcher y el precio por galón cobrado por cada proveedor son los siguientes:

El costo por galón (en dólares) para el envío de cada proveedor para cada división se presenta en la siguiente tabla:

Hatcher cree en la difusión de su negocio entre los proveedores para que la empresa se ve menos afectada por los problemas de los proveedores (por ejemplo, huelgas laborales o la disponibilidad de recursos). Política de la Compañía requiere que cada división tiene un proveedor independiente. a. Para cada combinación de proveedor-división, calcular el costo total del suministro de la demanda de la división. b. Determine la asignación óptima de los proveedores a las divisiones.

REPRESENTACIÓN DE RED

2,75 0,80 4,70 2,60 3,40

PROVEEDO R1 DIVISIÓN 1

PROVEEDO R2 DIVISIÓN 2

2,50 0,20 2,60 1,80 0,40

PROVEEDO R3

3,15 5,40 5,30 4,4 0 5,00

DIVISIÓN 3

PROVEEDO R4 DIVISIÓN 4

PROVEEDO R5 DIVISIÓN 5

PROVEEDO R6

2,80 1,20 2,80 2,40 1,20

2,75 3,40 6,00 5,00 2,60

2,75 1,00 5,60 2,80 3,60

a. Para cada combinación de proveedor-división, calcular el costo total del suministro de la demanda de la división. DIVISIÓ N 1 2 3 4 5

1 2,75 0,80 4,70 2,60 3,40

2 2,50 0,20 2,60 1,80 0,40

PROVEEDORES 3 4 3,15 2,80 5,40 1,20 5,30 2,80 4,40 2,40 5,00 1,20

6 2,75 1,00 5,60 2,80 3,60

CT. DIVISIÓN

PROVEEDORES

DIVISIÓN 1 2 3 4 5 CT. PROVEEDORES

5 2,75 3,40 6,00 5,00 2,60

DEMAND A 40,00 45,00 50,00 35,00 45,00

1 42,75 36,00 235,00 91,00 153,00

2 42,50 9,00 130,00 63,00 18,00

3 43,15 243,00 265,00 154,00 225,00

4 42,80 54,00 140,00 84,00 54,00

5 42,75 153,00 300,00 175,00 117,00

6 42,75 45,00 280,00 98,00 162,00

558,75

264,50

933,15

378,80

792,75

633,75

b. Determine la asignación óptima de los proveedores a las divisiones.

257,70 542,00 1353,00 669,00 734,00

ANÁLISIS: La compañía Hatcher Interprise para optimizar sus costos debe adquirir de cada proveedor lo siguiente:  Hatcher debe comprar al proveedor 1, únicamente para la división 2; 12.6 galones a un costo de $10,08.  Al proveedor dos, también deberá proveer solo a la división 2; 14 galones a un costo $2,80 dólares.  Proveedor 3, este proveerá solamente a la división uno; 10,2 galones a un costo de $32,13 dólares.  Pero el proveedor 4, deberá vender y proporcionar a dos divisiones; a la división 2 debe proporcionar 5,4 galones a un costo de $6,48 y este mismo debe entregar a la división 5; 8 galones a un costo de $10,56 dólares.  Mientras el proveedor 5, venderá sus productos solamente a la división 5; 12 galones a un costo de $31,20 dólares.  Y el proveedor 6, proveerá a la división 2 la cantidad de 13 galones a un costo de $13 dólares.  De esa manera la empresa estará optimizando sus costos y así evitando el gasto innecesario de dinero que solo perjudicaban las ganancias de la misma.

EJERCICIO Nº 6 EJERCICIO POR MÉTODO DE TRANSPORTE  TRI-COUNTY UTILIDADES INC., suministra gas natural a los clientes en un área de tres condados. La empresa compra gas natural a partir de dos empresas: Gas del Sur y Gas del Noroeste. Demanda pronosticada para la temporada de invierno son:  CONDADO HAMILTON -400 unidades,  CONDADO BUTLER-200 unidades y  CONDADO CLERMONT 300 unidades.  Los contratos se presentarán en las siguientes cantidades: gas del Sur 500 unidades; y gas del Noroeste 400 unidades  Los costos de distribución para los condados varían, dependiendo de la ubicación de los proveedores. Los costos de distribución por unidad (en miles de dólares) son los siguientes: DESDE GAS DEL SUR GAS DEL NOROESTE

HAMILON 10

A BUTLER 20

CLERMENT 15

12

15

18

a) Desarrollar una representación de red de este problema. b) Desarrollar un modelo de programación lineal que se puede utilizar para determinar el plan que minimice el costo total de distribución. c) Describir el plan de distribución y mostrar el coste de distribución d) Reciente crecimiento residencial e industrial en el condado de Butler tiene el potencial de aumento de la demanda en hasta 100 unidades. ¿Qué proveedor debería Tri-County contratar para proporcionar la capacidad adicional.

REPRESENTACIÓN DE RED

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Función Objetivo: Minimizar Costos de Distribución Z= 10X11+20 X12+15X13+12X12+15X22+18X23 Restricciones:  X11+X12+X13...