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ACTIVIDAD 1: PROGRAMACIÓN LINEAL - SOLUCIÓN CAJAS DE CARTÓN

Una fábrica de planchas de cartón quiere introducir una nueva sección de confección de cajas. Quiere empezar con tres modelos de caja, todas con el mismo tipo de cartón de una capa y cuyo coste es de 0,9€ cada plancha de 1m2. El primer modelo A será de caja pequeña y se venderá en paquetes de 45 unidades. El segundo modelo B será de caja mediana, en paquetes de 9 unidades. El tercer modelo C, de caja grande y se venderá en paquetes unitarios. Se considera que además del precio del cartón, a cada unidad de caja que se confeccione se le pueden atribuir unos costes diversos de mano de obra, de almacén y de funcionamiento de la máquina de cortado y plegado de 0,5€. Cada paquete de 45 cajas del modelo A se venderá a 32€; cada paquete de 9 cajas del modelo B se venderá a 10€ y cada caja del modelo C, se venderá a 1,5€. La siguiente tabla recoge los datos de cada modelo. Nombre del modelo

A - pequeña B - mediana C - grande

Número de unidades por paquete 45 9 1

Número de planchas de cartón por paquete 5 3 1

Costes diversos

PVP

0,5 x 45 0,5 x 9 0,5 x 1

32€/paq 10€/paq 1,5€/u.

Nuestra máquina de cortado y plegado hace 4.970 cajas/hora y está funcionando 5 horas cada día. Nuestra previsión de venta mínima diaria son 100 paquetes del modelo B y 10.000 cajas del modelo C. Sabemos también que se venden al menos el doble de paquetes del modelo A que del modelo B.

Apartado 1) Plantead y resolved el problema de programación lineal que determine qué producción de cada tipo de modelo de caja maximiza el beneficio diario. Definimos como variables de decisión las siguientes: X1: número de paquetes de cajas del modelo A X2: número de paquetes de cajas del modelo B X3: número de paquetes de cajas del modelo C A partir de las que el programa lineal es

Max. 5x + 2,8x +0,1x 1 2 3 s.a: x ≥ 100 2 x ≥ 10.000 3 x ≥ 2x 1 2 45 x + 9 x + x ≤ 24850 1 2 3 x , x ,x ≥0 1 2 3

                      

Fijaos que el cálculo del beneficio obtenido por paquete de lo obtenemos restando del precio los costes asociados a las planchas de cartón necesarias, así como los costes diversos:

B( x , x , x ) = [ 32 − [ (5 × 0,9) + (45 × 0,5) ] x + 1 2 3 1

[

10 − [ (3 × 0,9) + (9 × 0,5) ] x + [ 1,5 − [ (1× 0,9) + (1× 0,5) ] x = 2 3

= 5 x + 2,8 x + 0,1x 1 2 3 Respuesta: 300 paquetes del modelo A; 150 paquetes del modelo B; 10.000 cajas del modelo C. Beneficio: 2920€ Apartado 2) ¿Hasta qué cuantía podríamos subir el precio de cada paquete de cajas del modelo A sin que cambie la producción óptima? A partir del informe de sensibilidad: Celdas de variables Celda

Nombre

Final

Reducido

Objetivo

Permisible

Permisible

Valor

Coste

Coeficiente

Aumentar

Reducir

$B$3

variable x1

300

0

5

9

1,45

$C$3

variable x2

150

0

2,8

1E+30

1,8

$D$3

variable x3

10000

0

0,1 0,029292929

1E+30

Restricciones Final

Sombra

Restricción

Permisible

Permisible

Celda Nombre

Valor

Precio

Lado

Aumentar

Reducir

$E$10 Máquina plegado

24850 0,129292929 24850

1E+30

4950

$E$7

Mínimo B

150

100

50

1E+30

$E$8

Mínimo C

10000 -

10000

4950

10000

$E$9

Doble A que B

0

0

110

3300

0 -

vemos que el coeficiente, beneficio por paquete, de la variable X1 en la función objetivo puede aumentarse en 9 unidades. Como el beneficio es igual a precio menos costes, aumentar el beneficio sin variar costes supone aumentar el precio, por lo que podremos subir el precio de las cajas del modelo A hasta 41€ (=32+9) sin que varíe la producción óptima. Apartado 3) ¿Cuál sería la producción óptima si excediéramos en 2€ la cuantía del apartado anterior? En este supuesto nos estaríamos situando fuera del rango permitido de variación y la producción óptima sí se vería afectada. En este caso, para saber cuál sería esta nueva producción óptima necesitamos incorporar ese cambio en el modelo y volver a calcular el nuevo óptimo. La respuesta en este caso es: Para PVP 43€/paquete A, se obtienen 310 paquetes del modelo A; 100 paquetes del modelo B; 10.000 cajas modelo C, siendo el Beneficio: 6240€ Apartado 4) ¿Cuántas horas adicionales debería trabajar nuestra máquina de cortado y plegado de cajas para aumentar en 1.000€ el beneficio diario? Nota: Redondead las horas por exceso La respuesta es que habría que aumentar en 1,556h al día. Para ver cómo obtener este resultado, fijaos que un aumento en el tiempo de plegado se recogería en un aumento del número de cajas posibles que se pueden procesar en dicha máquina, número que corresponde al término independiente asociado a la restricción 45x + 9x + x ≤ 24850 . Esta restricción,

1

2

3

en el informe de sensibilidad corresponde a la restricción máquina plegado, para la que observamos que el precio sombra es de 0,129292929. Recordad que este valor indica en cuanto aumenta el beneficio (la función objetivo) ante un aumento unitario del término independiente. Miramos así cuánto debería aumentar este término independiente para llegar a los 1000€: 1000/ 0,129292929= 7734 que sería lo que debería aumentar la capacidad (medido en cajas) de la máquina de corte y plegado. Finalmente, como cada hora se hacen 4970 cajas, calculamos las horas necesarias: 7734 /4970 = 1.556 horas.

Apartado 5) ¿Qué pasaría si las cajas de modelo C se vendieran a 1,6€/unidad?

Un aumento del precio a 1,6€ por paquete (o caja) del modelo C implica un aumento de 0,1 unidades en el coeficiente de X3 en la función objetivo. En este caso, y observando en el informe de sensibilidad, en la fila correspondiente a la variable X3, que nos estaríamos saliendo del rango en el que no se modifica la composición de la solución óptima. Por tanto, debemos volver a resolver el problema con las nuevas condiciones. Respuesta: Cambiaría la producción óptima que ahora sería 200 paquetes del modelo A; 100 paquetes del modelo B; 14950 cajas del modelo C; El beneficio en este caso ascendería a 4270€

Se considera otra posibilidad que es la de fabricar un cuarto modelo D, parecido al C pero con una serigrafía impresa y una producción mínima de 2.000 cajas. En este caso, y para el cálculo de los beneficios deberíamos tener en cuenta el coste añadido de la máquina de impresión que es de 356€ diarios. Los costes diversos que atribuiríamos a cada caja impresa sería 0,6 € y la podríamos vender a 1,8€. Por lo tanto, el cuadro resumen sería el siguiente: Nombre modelo

A B C D

Número de unidades por paquete 45 9 1 1

Número de planchas de cartón por paquete

Costes diversos

5 3 1 1

0,5 x 45 0,5 x 9 0,5 x 1 0,6 x 1

Coste diario PVP máquina impresión

356

32€/paq 10€/paq 1,5€/u. 1,8 €/u.

Pedido mínimo

2000 u.

Apartado 6) Determinad qué producción de cada tipo de caja maximiza el beneficio diario. La introducción de un nuevo producto nos obliga a reconstruir el problema añadiendo una nueva variable de decisión, X4, que recogerá el número de paquetes (o cajas al llevar cada paquete una solo caja) del nuevo modelo serigrafiado. Procediendo igual que antes, el problema lineal es ahora:

Max. 5x1 +2,8 x2 +0,1x3 + 0,3 x4 −356 s.a: x 2 ≥ 100 x 3 ≥ 10.000 x1 ≥ 2x 2 45 x1 + 9 x2 + x3 + x4 ≤ 24850 x i ≥ 0, i = 1,.. ., 4

                 

Donde debemos tener cuidado en tanto en cuanto si en la solución óptima no se produjeran unidades de la nueva caja serigrafiada, deberíamos eliminar el coste fijo de 356€. Otra opción es no incluirlo explícitamente en el Excel, y restarlo a posteriori si x4 toma un valor diferente de 0. Volviendo a optimizar obtenemos: Respuesta: 200 paquetes del modelo A; 100 paquetes del modelo B; 10.000 cajas del modelo C; 4950 cajas del modelo D. Beneficio: 3409€ Apartado 7) Interpretad los resultados comparando los beneficios unitarios para cada tipo de caja Calculamos primer los beneficios unitarios que se obtienen por caja de cartón, que además en el caso del modelo hay que tener en cuenta el coste de 356€. Obtenemos

Ben/Capsa

X1>=2X2

X1

0,11111

0,12929

X2

0,31111

X3

0,10000

0,10000

X4

0,23020

0,23020

Podemos observar cómo el modelo B es el más rentable, luego el D, luego el A y finalmente el C. Sin embargo, con esta información, al revisar la solución óptima vemos que del modelo B se hace el mínimo, lo que a priori puede llamar la atención. El motivo de por qué, una vez cumplidas las restricciones de producción mínima, la solución óptima no busca producir el máximo de B es que aunque de forma individual sí sea el más rentable, la restricción que nos obliga a producir como mínimo 2 paquetes de A que de B nos está de facto ligando ambos productos, así como su rentabilidad real (si queremos producir más de B estamos obligados también a producir más de A). Entonces, podemos hacer un cálculo de la rentabilidad conjunta (en la tercera columna de la tabla) y que obtendríamos a partir de (2* 45*0,1111 + 9*0,3111 ) / (2*45 + 9)= 0,12929 y ahora vemos que desde esta perspectiva el modelo D es el más rentable. Este es el motivo por el que una vez cumplidas las restricciones, la solución óptima consist e en producir lo máximo posible de D. Finalmente, podemos ver también que en el problema sin las cajas impresas (modelo D), este valor era precisamente el precio sombra de la restricción asociada a la máquina de plegado. El motivo es que si hubiésemos podido producir una caja más, habría sido de la combinación A con B, y su beneficio unitario es lo que habríamos obtenido....