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Factores lineales diferentes y repetidos. Explicación paso a paso de la solución...

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09-junio-2020 Factores lineales Las técnicas algebraicas para la determinación de las constantes en los numeradores de una descomposición en fracciones parciales con factores lineales o repetidos se muestran en los ejemplos 37 y 38. Ejemplo 37 Factores lineales diferentes Escriba la descomposición en fracciones parciales para: 1 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 Solución: Como 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) podría incluir una fracción parcial por cada factor y escribir: 𝑥2

1 𝐴 𝐵 = + − 5𝑥 + 6 𝑥 − 3 𝑥 − 2

Donde deben determinarse 𝐴 y 𝐵. Multiplicando esta ecuación por el mínimo común denominador (𝑥 – 3)(𝑥 – 2) obtiene la ecuación básica: 1 = 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 3)

Ecuación básica

Debido a que esta ecuación es verdadera para todas las 𝑥 , puede sustituir los valores convenientes para 𝑥 para obtener ecuaciones en 𝐴 y 𝐵. Los valores más convenientes son los que hacen que determinados factores sean iguales a 0. Para resolver para 𝐴, sea 𝑥 = 3: 1 = 𝐴(3 − 2) + 𝐵(3 − 3) 1 = 𝐴(1) + 𝐵(0)

Haga 𝑥 = 3 en la ecuación básica

1=𝐴

Para resolver para 𝐵, sea 𝑥 = 2: 1 = 𝐴(2 − 2) + 𝐵(2 − 3) 1 = 𝐴(0) + 𝐵(−1)

Haga 𝑥 = 2 en la ecuación básica

−1 = 𝐵

Por tanto, la descomposición es: 𝑥2

1 1 1 = − − 5𝑥 + 6 𝑥 − 3 𝑥 − 2

09-junio-2020 Ejemplo 38 Factores lineales repetidos Encuentre: ∫

5𝑥 2 + 20𝑥 + 6 𝑑𝑥 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥

Solución: Como 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 = 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) = 𝑥 (𝑥 + 1)2

Debe incluir una fracción para cada potencia de 𝑥 y (𝑥 + 1) y escribir: 5𝑥 2 + 20𝑥 + 6 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 𝑥(𝑥 + 1)2 𝑥 𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2

Multiplicando por el mínimo común denominador 𝑥(𝑥 + 1) 2 obtiene la ecuación básica: 5𝑥 2 + 20𝑥 + 6 = 𝐴(𝑥 + 1)2 + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥

Ecuación básica

Para despejar a 𝐴, se hace 𝑥 = 0. Esto elimina los términos 𝐵 y 𝐶 y produce: 6 = 𝐴 (1) + 0 + 0 6=𝐴

Para despejar a 𝐶 , se hace 𝑥 =– 1. Esto elimina los términos 𝐴 y 𝐵 y produce: 5 − 20 + 6 = 0 + 0 + 𝐶 9=𝐶

Se han utilizado las opciones más convenientes para 𝑥 , por lo que para encontrar el valor de 𝐵 puede utilizar cualquier otro valor de 𝑥, junto con los valores calculados de 𝐴 y 𝐶 . Utilizando 𝑥 = 1, 𝐴 = 6 y 𝐶 = 9 produce: 5 + 20 + 6 = 𝐴(4) + 𝐵(2) + 𝐶 31 = 6(4) + 2𝐵 + 9 −2 = 2𝐵 −1 = 𝐵

Por tanto, tiene que: ∫

5𝑥 2 + 20𝑥 + 6 6 1 9 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ( − + 3 2 (𝑥 + 1)2 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥+1

09-junio-2020 = 6 𝑙𝑛 |𝑥| − 𝑙𝑛 |𝑥 + 1| + 9 = 𝑙𝑛 |

(𝑥 + 1)−1+ 𝐶 −1

𝑥6 9 +𝐶 |− 𝑥+1 𝑥+1...