Función de probabilidad o Cuantía PDF

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Profesor: Rosa Montaño. Apuntes y formulas...

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Autora: Srta. Rosa Montaño

Variables Aleatorias Discretas Función de Probabilidad o Cuantía Definición: Dada una variable aleatoria discreta X que toma los valores ( x1 , x 2 , ......, xn , ......) se denomina función de probabilidad o función de masa a la función:

P : R → [0,1] P( x) = P( X = x) = P({ω ∈ Ω : X (ω ) = x})

Que verifica que: 1. P ( X = x ) = 0 2.

∑

∀x ∉ Rec ( X ) P ( X = x ) =1

Re c ( x )

En el ejemplo correspondiente al lanzamiento de la moneda:

P (0 ) = P ( X = 0 ) = P ({ s , s }) =

1 4

P(1) = P ( X = 1) = P ({ c, s}) + P ({ s, c}) = P (2 ) = P ( X = 2 ) = P ({c , c }) =

P ( X = x) = 0

∀x ∉{0,1, 2}

1 2

1 4

Función de Distribución Definición:

Dada

una

variable

aleatoria

discreta que toma los valores

( x1 , x 2 , ...., xn , ....) tal que x1 ≤ x2 ≤ .... ≤ xn ≤ .... se define la función de distribución asociada a X como: F : R → [0,1]

FX ( x) = P( X ≤ x) =

∑ P( x ) x i ≤x

i

Ejemplo: Para la función de distribución de la variable aleatoria X : Número de caras, cuyo Rec(X)={0,1,2} la función de distribución es:

⎧ 0 ⎪1 4 ⎪ / FX (x ) = ⎨ ⎪3/ 4 ⎪⎩ 1

x< 0 si 0 ≤ x < 1 si 0 ≤ x < 2 si 2 ≤ x si

Propiedades: Si F X ( x) es la función de distribución de una variable aleatoria discreta X , esta debe satisfacer (1) FX ( x ) es escalonada y los puntos de salto son los xi (2) lim FX ( x) = 0 ; lim FX ( x) = 0 x →−∞

x →∞

(3) F X ( x) es no decreciente, es decir, si x ≤ y ⇒ FX ( x ) ≤ FY ( y) (4) F X ( x) es contínua por la derecha

Ejemplo: Dado un experimento que consiste lanzar un dado cargado 100 veces se obtiene la siguiente función de Probabilidad: ⎧ 0 .1 si x =1,3 ⎪ 0 4 si x= 2 ⎪ . ⎪0 .2 si x = 4 PX ( x ) = ⎨ ⎪0.05 si x = 5 ⎪0.15 si x = 6 ⎪ en otro caso ⎪⎩0

Determine la función de distribución. Solución: De acuerdo a la definición debemos ir acumulando las probabilidades tal que: si x < 1 ⎧ 0 ⎪ 0 1 si 1 ≤ < 2 x ⎪ . ⎪0.5 si 2 ≤ x < 3 ⎪ FX ( x) = ⎨ 0.6 si 3 ≤ x < 4 ⎪ 0.8 si 4 ≤ x < 5 ⎪ ⎪ 0.85 si 5 ≤ x < 6 ⎪1 si 6 ≤ x ⎩ Representaciones gráficas: Función de Cuantía

Función de Distribución 1

0,50

P r o b a b ilid a d

0,40 0,30 Probabilidad

0,20 0,10 0,00 1

2

3

4

5

6

Probabilidad Acumulada

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Valores de la variable

0

1

2

3

4

5

6

7

Valor de la variable

8

9

Esperanza Matemática Definición:

Si X es una variable aleatoria discreta ( x1 , x 2 , ...., xn , ....) se define la esperanza de X como:

E(X ) =

∑

que toma los valores

xi ⋅ P ( X = x i )

Rec ( x )

Es decir como la suma de cada uno de los valores que puede tomar la variable multiplicado por su probabilidad. Propiedades : (a) Si X es una variable aleatoria y h( X ) una función de dicha variable, se

E [h ( X ) ] =

define la esperanza de h( X ) como:

∑

h( x i ) ⋅ P ( X = x i )

Rec ( x )

(b) E ( aX + b ) = aE ( X ) + b (c)

E [ h( X ) + g( X) ] = E[ h( x) ] + E [ g( x) ]

(d)

E [ aX + bY ] = aE[ X ] + bE[ Y ]

(e)

E [ a] = a

∀a ∈ R

Ejemplo: Sea X una variable discreta cuya función de probabilidad esta dada por ⎧ 0.2 si x = 1 ⎪ 0 3 si x= 2 ⎪ . PX ( x) = ⎨ ⎪ 0. 5 si x = 3 ⎪⎩ 0 en otro caso Determine la esperanza o el valor esperado de X . Solución: Paso 1: Aplicando la definición se tiene: E( X ) = ∑ xi ⋅ P( X = xi ) =1 ⋅0 , 2 + 2 ⋅0 , 3 + 3 ⋅ 0, 5 = 2, 3 Re c ( x )

Varianza Definici ón: Se define la Varianza de una variable aleatoria discreta X como:

V ( X ) = E ⎡⎣ ( X − μ) 2 ⎤⎦ = ∑ ( xi − μ) 2 ⋅ P( X = xi ) Re ( ) c x

Desarrollando, se tiene que V ( X ) = E ⎡( X ) ⎣ A la Raiz cuadrada positiva de la varianza de y se denota por σX

2

⎤⎦ − μ 2 .Tambien se denota V ( X ) = σ X2 . X se le denomina desviación estándar

Propiedades : (a) V (X + b) = V ( X ) (b) V (a X + b) = a V ( X ) 2

(c)

V [ a] = 0 ∀a ∈ R , Cte.

Definición: Se definen los momentos centrales de orden r como E ⎡⎣ ( X − denotan por

μ X )r ⎤⎦ y se

μr .

Como casos particulares se tiene:

μ0 = 1

μ1 = 0

μ2 =V ( X )

r Definición: Se definen los momentos respecto del origen de r como E ⎡⎣ ( X ) ⎤⎦ y se

denotan por m r . Como casos particulares se tiene: m1 = μ = E ( X ) Definición:

Se

definen la

moda

de

una

variable

X

como

M 0 = xk

P ( X = xk ) = ma ′xP ( X = xi ) Definición: Se definen la mediana a de una variable X r como M e = xk si

F ( xk − 1) <

1 1 y F ( xk ) ≥ 2 2

si...