Gruppenarbeit - Zusammenfassung und Übungsblatt 1 PDF

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Vorkurs Mathe an der TU...

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Dr. S. Recksiegel

Mathematischer Vorkurs f¨ ur Physiker 2015 Das Physik-Modul des Vorkurses unterscheidet sich grundlegend von dem Basis-Modul. Bisher ging es darum, mathematische Konzepte, die Sie — wenn vielleicht auch in etwas anderer Form — aus der Schule kannten, zu wiederholen. In diesem Modul werden wir Konzepte behandeln, die f¨ ur Sie grundlegend neu sind. Es ist in den folgenden 10 Vorlesungen nicht m¨oglich, alles so umfassend und ausf¨ u hrlich zu behandeln, dass Ihnen die Inhalte anschließend so vertraut sind wie (hoffentlich) jene des Basismoduls. Es geht vielmehr darum, Ihnen Konzepte wie z.B. das L¨osen von Differentialgleichungen schon einmal nahezubringen, so dass es Ihnen leichter f¨ allt, wenn diese dann in den Physikvorlesungen verwendet und in den regul¨aren Mathematikvorlesungen ausf¨ uhrlich erkl¨ art werden. Wundern Sie sich also bitte nicht, wenn die Stoffmenge und der Schwierigkeitsgrad vielleicht etwas anders sind als bisher gewohnt, alles was wir hier machen, wird im Physikstudium noch einmal ausf¨ uhrlich behandelt! Auch falls Sie einmal nicht mehr mitkommen sollten, verlieren Sie bitte nicht den Mut: Die Vorlesungen sind gr¨oßtenteils in sich abgeschlossen, Sie k¨onnen sp¨atestens in der n¨achsten Vorlesung wieder einsteigen.

Vorlesung 1: Komplexe Zahlen, Schwingungen Komplexe Zahlen Das Auffinden aller Nullstellen von algebraischen Gleichungen ist ein Grundproblem, das in der Physik immer wieder vorkommt. Es erfordert eine Erweiterung des Zahlenraums u ¨ber die reelle Algebra hinaus. Die Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen vereinfacht die L¨osung vieler Probleme in der Physik dramatisch. Eine komplexe Zahl ist ein Gebilde der Form z = a + ib mit a, b ∈ R und i ist die ”imagin¨ are Einheit”. Komplexe Zahlen erf¨ ullen die Rechenregeln Addition: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d ) Multiplikation: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) Diese Regeln folgen direkt aus den u ¨blichen Regeln der Algebra (Kommutativit¨at, Assoziativit¨at, Distributivit¨at) — mit dem einzigen und entscheidenden Zusatz, dass i2 = −1 ist. Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + ib ist definiert als p |z| := a2 + b2 . Zu jeder komplexen Zahl z = a + ib gibt es eine komplex-konjugierte Zahl z ∗ , die definiert ist durch z ∗ = a − ib. Daher gilt mit den obigen Multiplikationsregeln zz ∗ = (a + ib)(a − ib) = a2 − i2 b2 = a2 + b2 = |z|2 Der Quotient zweier komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl, bc − ad ac + bd a + ib +i 2 = 2 2 c +d c + id c + d2 Beweis: Erweitern des Bruchs mit c − id ergibt: bc − ad ac + bd a + ib c − id ac − iad + ibc − i2 bd +i 2 = 2 = c + d2 c2 + d 2 c + d2 c + id c − id

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x heißt Realteil und y heißt Imagin¨ arteil von z = x + iy. Man schreibt auch x = Re (z) bzw. y = Im (z). Es gilt: Re (z) = Im (z) =

1 (z + z ∗ ), 2 1 (z − z ∗ ) 2i

Eine komplexe Zahl z = x + iy hat eine geometrische Interpretation. Sie kann durch einen Punkt P der Ebene mit den Koordinaten (x, y) dargestellt werden. Es gilt x = |z| cos θ, y = |z| sin θ wobei θ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke OP ist. Man kann also z = x + iy auch in der Form z = |z|(cos θ + i sin θ) schreiben (siehe Abbildung). Betrachten wir den Ausdruck cos θ + i sin θ genauer. Wir behaupten, dass diese Funktion die Verallgemeinerung der Exponentialfunktion f¨ ur imagin¨are Argumente ist, wir also definieren k¨onnen eiθ := cos θ + i sin θ. Um diese sog. Eulersche Formel plausibel zu machen, berechnen wir unter Benutzung des Additionstheorems f¨ ur trigonometrische Funktionen, die wir weiter unten herleiten werden: ei(θ1 +θ2 )

= cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 ) =

(cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 )

=

eiθ1 eiθ2

d.h. wir finden tats¨achlich die charakteristische Eigenschaft der Exponentialfunktion f (a+b) = f (a)f (b). Damit kann man eine beliebige komplexe Zahl nun in der Form z = |z|eiθ schreiben (Polarform komplexer Zahlen). Aus dieser Darstellung ergibt sich eine einfache geometrische Interpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: z1 = |z1 |eiθ1 , z2 = |z2 |eiθ2

⇒

z1 z2 = |z1 ||z2 |ei(θ1 +θ2 )

Das Produkt zweier komplexer Zahlen bildet man, indem man die Betr¨age multipliziert und die Winkel addiert. Die Transformation zwischen den Winkelfunktionen und der e-Funktion lautet also   cos θ = 12 (eiθ + e−iθ ) eiθ = cos θ + i sin θ ⇒ 1 −iθ (eiθ − e−iθ ) sin θ = 2i e = cos θ − i sin θ Beispiele: ei2π = cos 2π + i sin 2π = 1,

eiπ = cos π + i sin π = −1,

eiπ/2 = cos π2 + i sin π2 = i.

Additionstheoreme trigonometrischer Funktionen Mit Hilfe der Eulerschen Formel lassen sich die sog. Additionstheoreme sehr einfach herleiten: 1. sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β Beweis: sin(α + β) = 1 [ei(α+β) − e−i(α+β) ] 2i 1 [(cos α + i sin α)(cos β + i sin β) − (cos α − i sin α)(cos β − i sin β)] = 2i 2i [sin α cos β + cos α sin β ] = 2i 2

2. sin α cos β = 12 [sin(α + β) + sin(α − β )] Beweis:

sin(α + β) =

sin α cos β + cos α sin β,

sin(α − β) =

sin α cos β − cos α sin β,

sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β 3. cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β 4. sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos2 α − sin2 α q q 5. sin α2 = 12 (1 − cos α) , cos α2 = 21 (1 + cos α)

Komplexe Darstellung von Schwingungen Eine harmonische Schwingung ist z.B. x(t) = cos ωt wobei t die Zeit und ω die (Kreis-)Frequenz ist. Dies beschreibt z.B. die Auslenkung der Masse eines einfachen Pendels. (Auch eine Lichtwelle l¨aßt sich mit diesem Ausdruck beschreiben, wobei dabei die Beziehung gilt ω = cλ . Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit und λ die Wellenl¨ange.) Gem¨aß der Eulerschen Formel kann man dies als Linearkombination von zwei komplexen Exponentialfunktionen schreiben: x(t) =

1 iωt (e + e−iωt ). 2

Die allgemeine reelle harmonische Schwingung ist mit Konstanten C, D x(t) = C cos ωt + D sin ωt und diese l¨aßt sich nach dem Additionstheorem immer schreiben x(t) = A cos(ωt + θ) (A = Amplitude, θ = Phasenverschiebung), denn A cos(ωt + θ) = A(cos ωt cos θ − sin ωt sin θ) = [A cos θ] cos ωt + [−A sin θ] sin ωt. Mit der Eulerschen Formel kann man alternativ den cos durch die Exponentialfunktion ersetzen und erh¨alt: x(t) =

α∗ −iωt α A iθ iωt A −iθ −iωt = eiωt + e e + e e e , 2 2 2 2

wobei α = Aeiθ . Man kann also jede harmonische Schwingung als Linearkombination zweier komplexer Exponentialfunktionen schreiben. Diese komplexe Darstellung von Schwingungen hat gegen¨ u ber der Darstellung mit Winkelfunktionen erhebliche Vorteile, weil man zum Addieren von Frequenzen keine trigonometrischen Additionstheoreme ben¨otigt, sondern nur Produkte von Exponentialfunktionen. Graphische Darstellung Die Kombination von Schwingungen zweier verschiedener Frequenzen bzw. Wellenl¨angen liefert eine Schwebung. Wir betrachten den Ausdruck S = cos ω1 t + a cos ω2 t und w¨ahlen nahe beieinander liegende Werte f¨ ur die beiden Frequenzen, ω1 = 2 und ω2 = 2.2. Die Amplitude der zweiten Schwingung sei zun¨ achst Null und dann ebenfalls 1. Im ersten Fall sehen wir eine Schwingung mit konstanter Amplitude 1. Wenn wir die beiden Schwingungen linear u ¨berlagern, erhalten wir wieder eine Schwingung. Diese Eigenschaft nennt man generell Superpositionsprinzip. Im Gegensatz zur naiven Erwartung wird aber die Amplitude nicht konstant doppelt so groß wie im ersten Fall, sondern es kommt zu Verst¨arkungen und Abschw¨achungen, die man modulierte Schwingung nennt. Wenn ω1 /ω2 = n1 /n2 (mit n1 , n2 ∈ N) rational ist, dann ist die modulierte Schwingung wieder periodisch mit der Periode T = 2πn1 /ω1 = 2πn2 /ω2 . Diesen Effekt nennt man Schwebung.

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Im Beispiel ist ω1 /ω2 = 10/11, d.h. T = 2π ∗ 10/2 ≈ 30. Zum Beweis betrachten wir die komplex geschriebenen Schwingungen: Wir zeigen, dass beide Terme periodisch mit T sind: eiω1 t ω1 T ei2πn1

?

?

eiω1 (t+T ) , eiω2 t = eiω2 (t+T ) , 2πn1 2πn2 = ω1 , ω2 T = ω2 , ω1 ω2 = 1 = ei2πn2 . =

ja, denn

∗ Wellenpakete Die Kombination von Schwingungen vieler Wellenl¨angen, die nahe beieinander liegen, liefert ein sogenanntes Wellenpaket, das in der klassischen Physik einen Lichtpuls und in der Quantenmechanik die Bewegung von mikroskopischen Teilchen beschreibt.

2 ¨ von 11 Wellen e−4k eikx (geplotted: Realteil) mit k = {−1, −0.8, −0.6, . . . , 1}, Die Figur zeigt die Uberlagerung die d¨ unneren Linien stellen die einzelnen Wellen dar, die dickere Linie ihre Summe. (Wegen der endlichen Anzahl von Summanden gibt es ausserhalb des gezeigten Ausschnitts weitere Peaks, f¨ ur die gew¨ahlten Parameter liegen die n¨achsten bei ±10π. Wenn wir die Anzahl der Summanden erh¨ohen, wandern die zus¨atzlichen Peaks nach außen, z.B. nach ±20π, wenn wir als Schrittweite f¨ ur k 0.1 (statt wie oben 0.2) nehmen.)

∗ Der Stern soll bedeuten, dass es sich hier um ein weiterf¨ uhrendes Thema handelt.

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Dr. S. Recksiegel

Mathematischer Vorkurs f¨ ur Physiker 2015 ¨ Ubungsblatt 1 Bemerkung: Basisaufgaben sind einfache Aufgaben, die Erg¨anzungsaufgaben sind etwas schwieriger.

Wichtige Formeln aus der Vorlesung: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) z = x + iy, x = |z| cos θ, y = |z| sin θ e±iθ = cos θ ± i sin θ 1 1 cos θ = (eiθ + e−iθ ), sin θ = (eiθ − e−iθ ) 2 2i

Basisaufgaben Beispiel 1: (a) Bestimmen Sie Real- und Imagin¨arteil: (1 − i)3 ,

1+i 2 − 4i 1 5 , , , 3 − 4i 4 + 2i i 1 − (1 + i)2

(b) Schreiben Sie in Standardform (x + iy): 6eiπ/4 , eiπ , 2e−3iπ/2 (c) Schreiben Sie in Polarform (|z|eiφ ): −2 − 2i, 5, −5i

Beispiel 2: Best¨atigen Sie folgende Relationen: cos(α ± β) = sin 2α

=

cos α cos β ∓ sin α sin β 2 sin α cos α,

cos 2α = cos2 α − sin2 α r α 1 (1 − cos α) sin = 2 2 r α 1 (1 + cos α) cos = 2 2

Beispiel 3: Best¨atigen Sie die Relation sin 4α = 8 cos3 α sin α − 4 cos α sin α

Beispiel 4: Bestimmen Sie nach Umformung f¨ ur die Gleichung sin 2x − cos 2x = 1 im Intervall 0 ≤ x ≤ 2π 4 L¨osungen.

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Beispiel 5: Die 3 elektrischen Spannungen in einer Drehstromleitung sind   2π R = U sin ωt, S = U sin ωt + , 3

  4π T = U sin ωt + . 3

Zeigen Sie durch Umwandlung in komplexe Darstellung, dass stets gilt R+S+T =0

Beispiel 6: Sie sitzen auf einem Surfbrett und lassen sich von den Wellen hoch und runter schaukeln. Wir nehmen an, dass das Surfbrett immer horizontal bleibt. Die Zeit von einem Wellenkamm zum n¨achsten betr¨agt 12.6 s. Sie schauen zum Horizont und k¨onnen diesen auf Ihrem Brett sitzend (H¨ohe 1 m) die H¨alfte der Zeit u ¨ber den n¨achsten Wellenberg schauend sehen. Stellen Sie die Gleichung f¨ ur diese Schwingung auf.

Beispiel 7: Diesmal sitzen Sie mit Ihrem Surfbrett in der N¨ahe der Kaimauer. Die Bedingungen sind die selben wie bei der vorherigen Aufgabe. Nur diesmal werden Sie nicht nur von der Welle vom Meer aus bewegt, sondern Sie bekommen auch die reflektierte Welle von der Kaimauer ab. Wir nehmen an, dass die Kaimauer parallel zu den Wellenz¨ ugen liegt. Die reflektierte Welle ist gegen¨ uber der einlaufenden Welle um eine Phase φ verschoben aber sie ist immer noch genauso hoch und hat auch dieselbe Frequenz wie die einlaufende Welle. Bestimmen Sie die Gleichung, die Ihre Schwingung beschreibt. Wie hoch kann die Schwingung werden? Hilfe: Benutzen Sie das Additionstheorem.

Erg¨ anzungsaufgaben Beispiel 8: Sie m¨ochten ihr Instrument anhand des Kammertons a stimmen (Frequenz f = 440 Hz, Kreisfrequenz ω = 2πf ). Wenn Sie ihr eigenes Instrument spielen h¨ oren Sie ca. 3 mal pro Sekunde ein lauter und leiser werden des Tons. Wieviel Hertz liegen Sie daneben? Was ist die Frequenz des Tons (nicht der Lautst¨arkemodulation), die Sie ¨ (Summe) der beiden T¨one. h¨oren? Hilfe: Betrachten Sie die Uberlagerung

Beispiel 9: Die Sinusfunktion ist u ¨ber dem Grundintervall −π/2 ≤ x ≤ π/2 strikt monoton wachsend; die zugeh¨orige Umkehrfunktion, definiert auf [−1, 1] mit Werten in [−π/2, π/2], heißt Arcussinus-Funktion arcsin. Sie ist definiert durch h π πi arcsin : [−1, 1] → − , 2 2 π π y = arcsin x ⇔ sin y = x und − ≤y≤ 2 2 Skizzieren Sie den Graph von arcsin x im Bereich [−1, 1]. Wie groß ist die Steigung nahe x = −1 und x = 1? Wie groß ist die Steigung nahe x = 0?

Beispiel 10: (a) Wie lautet die komplexe Darstellung der harmonischen Schwingung x(t) = 5 cos(ωt − π/4)? (b) Stellen Sie die harmonische Schwingung y(t) = 3 cos ωt + sin ωt komplex dar. Welche Amplitude hat diese Schwingung? (c) Betrachten Sie die beiden harmonischen Schwingungen x(t) = 4 cos(ωt − π/3). und y(t) = 3 sin(ωt + 9π/4). Welche Amplitude hat ihre ¨Uberlagerung z(t) = x(t) + y(t)?

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Beispiel 11: Legt man an die Hintereinanderschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C dieWechselspannung 1 1 U (t) = U0 eiωt + U0∗e−iωt 2 2 an, dann fließt als Reaktion darauf der Wechselstrom I(t) =

1 1 I0 eiωt + I 0∗ e−iωt 2 2

mit I0 =

U0 i R − ωC

Wie groß ist f¨ ur U0 = 1V, R = 1 kΩ, C = 2µF, ω = 1500 Hz die Amplitude der Spannung und der Stromst¨arke? Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung?

Beispiel 12: Gegeben eine komplexe Zahl z = x + iy = reiφ . Wie lautet der Kehrwert der komplexen Zahl und was bedeutet er geometrisch?

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