HA05 - hasuafugaben balt 5 PDF

Preview

Summary

hasuafugaben balt 5...

Description

Übungsblatt 4 – Tutorien in der 22. Kalenderwoche Name

Matrikelnr.

Studiengang

Aufgabe 4.1 (Hausaufgabe, 6 Punkte) Kreuzen Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr (w) oder falsch (f ) sind. Für jedes richtig gesetzte Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsch gesetzte Kreuz wird ein Punkt abgezogen. Eine negative Gesamtpunktzahl wird als 0 Punkte gewertet. w a) b) c) d) e) f)

f

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat. Es gibt eine unbeschränkte reelle Zahlenfolge mit genau drei Häufungspunkten. Eine unbeschränkte Folge kann keinen Häufungspunkt haben. Eine monotone reelle Zahlenfolge ist entweder konvergent oder unbeschränkt. Eine divergente Folge kann keinen Häufungspunkt haben. Eine divergente Folge hat mindestens zwei Häufungspunkte.

Klärung zur Umgangssprache: Mit Formulierungen der Art »Ein x kann kein y haben« ist gemeint: »Für jedes x gilt, dass x kein y hat.« Ähnlich ist mit »Ein x ist y« gemeint, dass jedes x notwendigerweise ein y ist. Beispiel: »ein Wal ist ein Säugetier«. Aufgabe 4.2

(Hausaufgabe, 8 Punkte)

»Grenzwert einer rekursiv definierten Folge«

Es sei sn rekursiv durch s1 := 2 und

∀ n ∈ N : s n +1 : =

  2 1 sn + 2 sn

definiert. a) ∀n ∈ N :

1 ≤ sn ≤ 2.

b) ∀n ∈ N :

sn2 ≥ 2.

c) sn fällt monoton. d) Die Folge sn konvergiert, und für ihren Grenzwert s∞ gilt s∞2 = 2.

Aufgabe 4.3 (Tutorium – keine Abgabe)

»Grenzwert noch einer rekursiv definierten Folge«

Es sei a k ∈ RN rekursiv definiert durch a1 := 2 und

∀k ∈ N :

a k +1 : =

a2k + 1 2a k

.

a) Zeigen Sie, dass a k konvergiert. b) Bestimmen Sie den Grenzwert von a k . Aufgabe 4.4

(Tutorium – keine Abgabe)

»Kreisfläche«

Wir betrachten einen Kreis mit Radius r = 1, der in ein Quadrat der Seitenlänge a0 = 2 einbeschrieben ist. Für n ∈ N unterteilen wir dieses Quadrat in 4n Quadrate mit Seitenlänge a n = 2 · 2−n , das heißt, wir halbieren sukzessive die Seiten. Für n ∈ N bezeichnen wir die Gesamtfläche derjenigen Quadrate mit Seitenlänge a n , die vollständig im Kreis enthalten sind, mit Fn . In der Abbildung ist die Situation für n = 3 skizziert:

a) Ist die Folge Fn beschränkt? Geben Sie gegebenenfalls Schranken an. b) Erläutern Sie: Ist die Folge Fn konvergent? Aufgabe 4.5 (Tutorium – keine Abgabe)

»Häufungspunkte & Teilfolgen«

a) Eine Folge a k ∈ V N in einem normierten Raum V konvergiert genau dann, wenn die drei Teilfolgen ( a2k )k∞=1 , ( a2k−1 )k∞=1 und ( a3k )∞ k=1 konvergieren. b) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge a k ∈ RN mit a k :=

k + (−1)k (2k + 1) . k

c) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge bk ∈ RN mit  k k + 1 + (−1)k . bk = 1 + (−1) k...