IF Zusammenfassung - Sommersemester 2019 PDF

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Sommersemester 2019...

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2.1 Statistische Verfahren der Investitionsrechnung Kostenvergleichsverfahren • •

Wahl der Investition mit den geringsten (durchschnittlichen) Kosten keine Berücksichtigung des Zeitwerts des Geldes

Gewinnvergleichsverfahren • •

Wahl der Investition mit dem höchsten (durchschnittlichen) Gewinn auch keine Berücksichtigung des Zeitwertes des Geldes

Amortisationsrechnung (Payback Rule) • • •

Wahl der Investition, die sich am schnellsten amortisiert (die Investitionsauszahlung erwirtschaftet) keine Berücksichtigung der Zahlungen nach dem Amortisationszeitpunkt (die Berücksichtigung des Zeitwertes des Geldes ist möglich)

2.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung Zinsrechnung Da für das Überlassen von Kapital Zinsen für die Nutzung gezahlt werden, müssen näher liegende Zahlungsversprechen höher bewertet werden, als spätere (früher zufließende Zahlungen können zwischenzeitlich wieder angelegt werden). Der Barwert (Present Value) zukünftiger Zahlungen stellt den gegenwärtigen Wert einer Zahlungsreihe dar. Er ergibt sich durch Abzinsung zukünftiger Zahlungen auf den heutigen Zeitpunkt.

Formeln der Zinsrechnung linear: exponentiell: kontinuierlich:

𝑃" = 𝑃$ (1 + 𝑟 ∙ 𝑇)

Endvermögen = Anfangsvermögen,(1 + Zinssatz ∙ Laufzeit)

𝑃" = 𝑃$ ∙ , 𝑒 .,∙,"

Endvermögen = Anfangsvermögen · 𝑒 Zinssatz ∙,Laufzeit

𝑃" = 𝑃$ (1 + 𝑟)"

Endvermögen = Anfangsvermögen,(1 + Zinssatz) Laufzeit

Bei unterjähriger Verzinsung wird die Laufzeit als Jahresbruchteil angegeben.

Umrechnung der Zinssätze 1 + Zinssatzlinear ∙ Laufzeit,,,,, = ,,,, ,2 erfolgt die Berechnung meist über lineare Interpolation.

Kapitalwertmethode Grundlagen der Kapitalwertmethode •

•

Basis zur Beurteilung von Investitionen: Höhe und Zeitpunkte aller Zahlungen 𝑍D o 𝑍D = Summe aller Ein- und Auszahlungen im Zeitpunkt 𝑡 o es werden sichere Zahlungen unterstellt Zeitbezug der Zahlungen wird über den exponentiellen Zinssatz 𝑟 berücksichtigt o Zinssatz für risikofreie Anlagen verwendet o es wird von einem konstanten Zinssatz ausgegangen

„Die Formel“ der Investitionsrechnung Nettobarwert:

𝑡 ,,, = ,,, 𝑧0 +,∑𝑇𝑡=1 , 𝑡 𝑡 ,,,,, = ,,,,, 𝑧0 + Barwert 𝑁𝐵𝑊 = ,∑ 𝑇𝑡=0, (1+𝑟 )𝑡 (1+𝑟 )

𝑍

𝑍

Ergebnis der Kapitalwertmethode Aussagegehalt und Entscheidungskriterium des NBW: • Investition mit einem positiven NBW sollten durchgeführt werden • je höher der NBW, desto besser (à Rangfolgen möglich) • Nutzungsdauer und Art der Finanzierung sind unerheblich • NBW ist „Wert der Investition per 𝑡, = ,0“ (sprich: jetzt) Ausschüttung erfolgt beispielsweise über Dividende oder Wertsteigerung, z.B. als Kurserhöhung der Aktie

Interne Rendite (Effektivverzinsung, Yield) Effektivverzinsung einer Investition = Zinssatz, bei dem der NBW gleich null ist à Wie hoch ist 𝑟, wenn NBW = 0? à Lösung i.d.R. nur über Interpolation möglich Aussagegehalt und Entscheidungskriterium des NBW: • Investitionen mit einer höheren internen Rendite 𝑟,als der Marktzins sollten durchgeführt werden • Probleme: o Rangfolgenentscheidung könnten fehlerhaft sein o mehrere Ergebnisse bei Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe

2.3 Weiterentwicklungen der Kapitalwertmethode Berücksichtigung nicht-flacher Zinsstrukturen Zinsstrukturkurven oder Yield Curves geben den Zusammenhang von Zinssätzen bzw. verzinslichen Wertpapiere und der Restlaufzeit dieser Wertpapiere wieder. Haben Wertpapiere mit einer längeren Laufzeit eine höhere Verzinsung, spricht man von einer „normalen Zinsstruktur“, im umgekehrten Fall von „inverser Zinsstruktur“ und ohne diesen Zusammenhang von einer „flachen“ bzw. „horizontalen Zinsstruktur“ (meist ist sie jedoch nicht flach). Zur Ermittlung des Barwerts bieten sich die Spot Rates an.

Zinssätze •

Bonds und Yields o Bonds (Kupon-Anleihe oder festverzinsliche Wertpapiere) zahlen einen festen Kupon (Normalverzinsung) in der Regel jährlich und haben einen variablen Kurs o die Interne Rendite (Effektivverzinsung), die zu diesem Kurs führt, nennt sich Yield o Yields sind Interne Renditen von Bonds (exponentielle Zinsberechnung)

•

Zerobonds und Spot Rates o Zerobonds (Nullkuponanleihen) haben keinen Kupon und daher einen niedrigeren Kurs o die Interne Rendite von Zerobonds ist die Spot Rates

•

Zerobonds und Forward Rates o Forward Rates sind Interne Renditen von Zerobonds, die heute gekauft, aber erst zu einem später Zeitpunkt geliefert und bezahlt werden

•

Bonds und Forward Yields o Forward Yields sind entsprechend Interne Renditen von Bonds, deren Lieferung und Bezahlung in der Zukunft liegt Was ist der generelle Unterschied zwischen Spot Rates und Forward Rates? o o o

Eine Spot Rate („Kassakurs“) ist ein vertraglich vereinbarter Preis für eine Transaktion, die sofort abgeschlossen wird. Eine Forward Rate („Terminkurs“) ist ein vertraglich vereinbarter Preis für eine Transaktion, die zu einem vereinbarten Termin in der Zukunft abgeschlossen wird. Der Kassakurs wird typischerweise als Ausgangspunkt für die Aushandlung des Terminkurses verwendet. https://www.investopedia.com

Berechnung von Spot Rates Spot Rates werden über das einfach Verfahren der Zinsrechnung aus Kursen von Zerobonds berechnet

Berechnung und Aussage der Forward Rates • •

Forward Rates können aus Kursen für Zerobonds berechnet werden, deren Laufzeit in der Zukunft beginnt Forward Rates 𝑅",D können aus Spot Rates 𝑅" berechnet werden:

t

𝑅",D = , s

•

o

( 1 + 𝑅"ZD ) "FD −1 ( 1 + 𝑅D ) D

o

die Spot Rate 𝑅" gilt für einen Zerobond mit 𝑇 Jahren Laufzeit

die Forward Rate 𝑅",D gilt für einen Zerobond, dessen Laufzeit in 𝑡 beginnt und dann 𝑇 Jahre beträgt

Forward Rates sind heute für die Zukunft antizipierte Zinssätze von Zerobonds und dienen damit auch der Zinsspekulation

Investitionsrechnung mit Spot Rates und Forward Rates Problem: • Abzinsung jeder Zahlung mit einer einheitlichen Yield 𝑟,berücksichtigt keine nicht-flache Zinsstrukturkurve, sondern würde eine Art „Durchschnittsrendite“ für ein Wertpapier („Opportunitätsanlage“) annehmen, das es praktisch nicht gibt. Lösung: Abzinsung jeder Zahlung mit der jeweils laufzeitkongruenten Spot Rate 𝑅D 𝑇

𝑍𝑡

𝑁𝐵𝑊 = , g , ( 1 + 𝑅𝑡 )𝑡 𝑡=0

Dean-Modell Problem: Suche nach dem optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramm • es existieren mehrere Investitionsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Internen Renditen • es existieren mehrere Finanzierungsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Zinssätzen

Diskussion des einfachen Dean-Modells Finanzierung wird teurer mit zunehmendem Investitionsvolumen Einperiodenmodell „Wiederanlegeprämisse“ als Entscheidungskriterium der Internen Rendite

Lösungsansatz: Unterstellung der Sicherheit • Bestimmung der Internen Renditen Investitionen und Finanzierungen schließen sich • Aufstellung von Rangfolgen, dabei nicht gegenseitig aus o Investitionen mit absteigender Internen Rendite o Finanzierungen mit aufsteigender Internen Rendite • Abbruchkriterium: Finanzierungsrendite > Investitionsrendite • Schnittpunkt: kein Problem bei Teilbarkeit von Investition und Finanzierung o wenn nur Finanzierung teilbar ist, werden die Flächen links und rechts vom Schnittpunkt vergleichen

3.1 Grundlagen der Wertpapieranalyse Beispiel für praktische Anwendung der Statistik •

Performancemessung und Prognose o Wie hoch war die durchschnittliche Rendite eines Finanztitels in der Vergangenheit und wie hoch ist die erwartete Rendite in der Zukunft? o In welchen Finanztitel sollte investiert werden?

•

Risiko-Controlling o Wie hoch ist das Risiko, das mit einem Finanztitel, einem Depot oder einem Unternehmen bzw. einer Bank verbunden ist? o Mit welcher Wahrscheinlichkeit sinkt der Kurs eines Finanztitels um mehr als ein Drittel (z.B. Börsencrash)? o Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht das Eigenkapital eines Unternehmens oder einer Bank aus, um die Verluste zu decken? o Was ist der Value at Risk?

•

Kreditkalkulation o Wie kalkulieren Banken auf Basis von Ausfallwahrscheinlichkeiten Kreditkonditionen?

Verteilungsparameter für die Renditen von Finanztiteln Die die bereits in vergangenen Perioden realisierte Renditen eines Finanztitels oder Portfolios werden mit 𝑟uD bezeichnet, wobei hier von diskreten Renditen ausgegangen wird, die sich wie folgt ergeben: 𝑟uD =

𝑃u,D − 𝑃u,DZE 𝑃u,D ,= −1 𝑃u,DZE 𝑃u,DZE

Wenn von der Varianz der realisierten Renditen auf die Varianz der möglichen Renditen geschlossen wird, ist die „korrigierte Varianz („mit T minus 1“) zu berechnen: 𝜎.lw=

"

1 l , g< 𝑟uD −, 𝜇.w@ 𝑇−1 DhE

Eine hohe Kovarianz 𝜎.w ,.y weist darauf hin, dass sich die Kurse zweier Finanztitel tendenziell in die gleiche

Richtung verändern. Bei einer negativen Kovarianz geht die Rendite des einen Finanztitels in die positive und beim anderen in die negative Richtung. Korrelationskoeffizienten geben die Stärke des linearen Zusammenhangs der Renditen im Bereich von -1 bis +1 an. o bei > 0 existiert ein positiver Zusammenhang (beide Renditen steigen) o bei = 0 besteht kein linearer Zusammenhang (unkorreliert, aber nicht zwangsläufig unabhängig)

Empirische Daten – DAX • • •

kapital- und dividendenbereinigte diskrete Renditen berechnet mit dem Total Return Index à Performance unter der Annahme, dass alle Barausschüttungen reinvestiert werden basierend auf den 30 größten und umsatzstärksten (à „Blue Chips“) Unternehmen

Grundlegende univariate Parameter zur Beschreibung der Renditenverteilung "

Mittelwert (Erwartungswert) ,

1 𝜇.u = ,𝑇 ,g 𝑟uD DhE "

1 𝜎.w, = ,g(𝑟uD − 𝜇.w )l 𝑇

Varianz

DhE

𝜎.w = , z𝜎.w

Standardabweichung

1 " { 𝑇 ,∑DhE (𝑟uD − 𝜇.w ) 𝜎,.{w

standardisierte Schiefe

1 " | 𝑇 ,∑DhE (𝑟uD − 𝜇.w ) 𝜎,.|w

standardisierte Kurtosis

Grundlegende bivariate Parameter zur Beschreibung der Renditenverteilung 𝜎.w,,.y

Kovarianz

"

1 = ,g(𝑟uD − 𝜇.w )(𝑟}D − 𝜇} ) 𝑇 DhE

𝜎.w,.y = 𝜌.w,.y ,𝜎.w ,𝜎.y

Korrelationskoeffizient

Bestimmtheitsmaß

𝜎.w,.y 𝜌.w,.y = ,𝜎.w ,𝜎.y 𝜌l,,,.w,.y

Verteilung der Renditen von Finanzmitteln In finanzwirtschaftlichen Modellen wird häufig davon ausgegangen, dass die künftig möglichen Renditen einer Aktie normalverteilt sind. Folgende zwei Verteilungsparameter reichen dann zur Beschreibung: • •

Erwartungswert der Renditen 𝜇.w

Standardabweichung 𝜎.woder Varianz 𝜎.l w

à 𝑟u , = ,N(𝜇.w ,;,𝜎l .)w

Bei mehreren Aktien sind die Renditen entsprechend bivariat bzw. multivariat normalverteilt. Neben den oben genannten Parametern für alle der 𝑁 Aktien wird noch folgendes benötigt: •

𝑁,( 𝑁 − 1),/,,2 Kovarianzen ,𝜎.w ,𝜎.y oder Korrelationskoeffizienten 𝜌.w ,,.y der Renditen à in Matrixschreibweise: 𝑟, = ,N(𝜇.w ,;,𝑽𝒓 )

Normalverteilung der Rendite – Sigma-Regeln Mit Hilfe der Sigma-Regeln lässt sich bestimmen, welche Renditen mit welcher Wahrscheinlichkeit nicht unter- oder überschritten werden. Das Sigma steht, wie bereits erwähnt, für die Standardabweichung. Es gibt die Sigma-Regeln in drei Ausprägungen: Die Ein-Sigma-Regel, die Zwei-Sigma-Regel und die DreiSigma-Regel. Für die Anwendung der drei Sigma-Regeln brauchen wir immer den Erwartungswert und die Volatilität eines Portfolios oder wir müssen anhand der gegebenen Daten in der Lage sein die beiden zu bestimmen. https://studyflix.de/wirtschaftswissenschaften/sigma-regeln-389

Rendite, erwartete Rendite und Risiko von Depots

…

Rendite eines Depots , Erwartungswert der Renditen eines Depots

𝑟ƒD = , g 𝑤u ,𝑟uD = 𝒘𝑻 𝒓, uhE …

𝜇.ˆ = , g 𝑤u ,𝜇.w = 𝒘𝑻 𝝁𝒓 , …

𝜎,,.l ˆ = , g

Varianz der Renditen eines Depots

uhE

…

,g

uhE }hE

𝑤u ,𝑤} ,𝜎.w,,Š = 𝒘𝑻 ,𝑽𝒓 ,𝒘, y

Sonderfall: 2 Wertpapiere 𝑟ƒD = , 𝑤E ,𝑟ED , + 𝑤l ,𝑟lD

Rendite eines Depots Erwartungswert der Renditen eines Depots

𝜇.ˆ = , 𝑤E ,𝜇.‹ , + 𝑤l ,𝜇.Œ

l l l l 𝜎,,. ,𝜎.Œl + 2,𝑤E ,𝑤l ,𝜎.‹,.Œ , ˆ = 𝑤E,𝜎.‹ + , 𝑤l

Varianz der Renditen eines Depots Beispiel mit 2 Wertpapieren Investition Erwartungswert der Renditen Varianz der Renditen Standardabweichung Kovarianz Korrelation

Kauf 100% Aktie 1

Kauf 100% Aktie 2

Kauf 30% Aktie 1 und 70% Aktie 2

15,2%,

25,0%,

0,3l ∙ 0,152 + 0,7l ∙ 0,250 +, , 2 ∙ 0,3 ∙ 0,7 ∙ 0,129,, = 19,0%,

13,8%,

39,0%,

20,1%,

0,3 ∙ 0,138 + 0,7 ∙ 0,201 = 18,2%,

50,0%,

43,6%,

12,9%, 66,0%,

Funktionsweise von Leerverkäufen Eine Aktie wird verkauft, ohne dass man sie besitzt (vgl. Überziehung eines Wertpapierdepots). Man hat dann eine negative Anzahl an Aktien im Depot. Es müssen auch die Zahlungen geleistet werden, die man sonst aus den Aktien erhält (insbesondere Dividendenzahlungen). Irgendwann muss das Depot wieder durch den Kauf eben jener Aktien wieder ausgeglichen werden.

à Beschaffung von liquiden Mitteln durch Verkauf von im Depot nicht vorhandenen Aktien

Beispiel mit CBK-Aktien Zeitpunkt

Vorgang

Stand des Depots

Stand des Girokontos

𝒕=𝟎

Verkauf von 10 im Depot nicht vorhandenen CBK-Aktien (Kurs je 100)

- 10 CBK-Aktien

+ 1.000 €

𝒕=𝟏

Kauf von 10 CBK-Aktien am Kapitelmarkt (Kurs je 90)

0 CBK-Aktien

+ 100 €

Value-at-Risk – Das Risikomesskonzept der Gegenwart Zusammenfassung von Konzepten zur Darstellung und Messung von Risiken auf Finanzmärkten, die Risiken in vergleichbarer Art und Weise (unter Berücksichtigung von Diversifikationseffekten) quantifizieren. Marktpreisrisiken sind das Risiko eines Verlustes, welches aus einer Veränderung der Marktpreise von Finanztiteln (bspw. Zinstitel oder Beteiligungstitel) resultieren.

Definition Der Value at Risk ist der maximal erwartete Verlust des Marktwertes eines Portfolios, der mit einer Wahrscheinlichkeit 1 − 𝛼 innerhalb eines festgelegten Zeitraums 𝐻 nicht überschritten wird. „Der Value at Risk eines Portfolios beträgt EUR 1 Mio. für einen Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %.“ Diese Aussage lässt sich wie folgt interpretieren: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ist der Verlust am Ende des nächsten Tages nicht größer als EUR 1 Mio. Mondello (2015), Portfoliomanagement: Theorie und Anwendungsbeispiele, S. 22

Im Portfoliozusammenhang reduziert sich das Gesamtrisiko durch die Mischung von nicht vollständig positiv korrelierten Einzelrisiken.

Gründe für die Popularität •

geänderte Rahmenbedingungen: o Globalisierung der Finanzmärkte o teilweise hohe Volatilitäten auf Finanzmärkten o Entwicklung neuartiger Finanztitel (insbesondere Derivate)

•

Erfolgsrisiken stellen einen erheblichen Teil des Gesamtrisikos von Unternehmen dar o der Anteil an Finanzinvestoren an der Bilanzsumme ist häufig über 50% o Bedeutung des Eigenhandels in Banken und anderen Unternehmen nimmt zu

•

Stakeholder fordern mehr Informationen über Risiken der Unternehmen o Risikostatus im Anhang des Geschäftsberichts

•

wesentliche Grenzen „klassischer“ Risikomesssysteme: o Korrelation und Diversifikationseffekte werden nicht berücksichtigt o unterschiedliche Methoden für verschiedene Risiken und Risikooptionen

Spektakuläre Finanzkrisen Jérôme Kerviel Seit 2008 nennen sie ihn nur noch den "Milliardenzocker". Nach einem Milliardengewinn im Jahr 2007 wurde Kerviel plötzlich vom Glück verlassen. Bei Spekulationen auf die Entwicklung von europäischen Aktienindizes verbuchte der damals 30-Jährige immer höhere Verluste, die er mit noch höheren Einsätzen wettzumachen versuchte. Insgesamt verzockte er bei der Société Générale rund 4,9 Milliarden Euro. Die Bank wickelte die Geschäfte mehrere Tage lang ab, konnte am Ende aber 4,9 Milliarden nicht mehr retten. Als der Skandal 2008 aufflog, hatte Kerviel eigenmächtig die unglaubliche Summe von 50 Milliarden Euro aufs Spiel gesetzt. Mehr Geld, als seine Bank, die Société Générale, damals als Eigenkapital veranschlagte. Damit brachte Kerviel die SocGen in Existenzschwierigkeiten und gefährdete zugleich die Stabilität des internationalen Finanzsystems. https://boerse.ard.de

Faktormodelle und Regressionsanalysen als Grundlage der Wertpapieranalyse Für die lineare Regressionsanalyse ist eine lineare Abhängigkeit zwischen den Renditen eines Finanztitels und den Renditen eines Indexes ( 𝑀) erforderlich:

𝑟uD = , 𝛼.w + 𝛽.w ,𝑟›D + 𝜖uD

Die Regressionskoeffizienten 𝛼.w (Konstante) und 𝛽.w (Steigung) werden meist nach der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt. Der Anteil der systematischen Varianz einzelner Finanztitel an der Gesamtvarianz wird über das Bestimmtheitsmaß quantifiziert: 𝜌.l w ,.•= Umformungen:

l 𝜎,,,.l w −, 𝜎,,,ž w

𝜎,,,.l w

=

systematische,Varianz,eines,Finanztitels erklärte,Varianz = Gesamtvarianz,eines,Finanztitels Gesamtvarianz

à 𝜌.lw ,.•= 1 −,

Œ ,¤,,,¥

w

Œ ¤,,,Š

w

l l = < 1 − 𝜌.l w ,. •@,,𝜎,,,. à 𝜎,,,ž w w

Parameter verbundener Verteilungen (Regressionsanalyse) Ausgangs- und Schätzfunktion Residuen Gesamtvarianz = erklärte Varianz + nicht erklärte Varianz

𝑟uD = 𝛼.w + 𝛽.w ,𝑟›D + , 𝜖uD , 𝜖uD = 𝑟uD − 𝛼.w − 𝛽.w ,𝑟›D l l = 𝛽𝑟 ,𝜎,,,. 𝜎,,,. +, 𝜎,,,žl w w •

2 𝑖

3.2 Ein pragmatischer Ansatz als Basis für Entscheidungen unter Unsicherheit: -Prinzip 𝜇/𝜎

Bei diesem Ansatz werden neben der Höhe der jeweiligen Auszahlungen auch die Wahrscheinlichkeiten einbezogen, mit der die jeweiligen Aufzahlungen in einer gegeben Höhe eintreten. Es lassen sich damit dann die Erwartungswerte der Auszahlungen aus den verschiedenen Investitionsprojekten ermitteln. Zudem wird das Risiko der Investition berücksichtigt (Standardabweichung als Streuungsmaß).

Zentrale Begriffe zur Beschreibung der „Unsicherheit“ Ungewissheit Entscheider hat keine Vorstellung über die möglichen Szenarien à rationale Entscheidung unmöglich Unsicherheit (Risiko im weiteren Sinne) Risiko im engeren Sinne Entscheider liegen Wahrscheinlichkeiten für bekannte Szenarien vor

objektive Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Roulette subjektive Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Fußballtoto

mögliche Definitionen des Risikos • • •

negative Abweichung von einer Zielgröße jede Abweichung von einer Zielgröße à Risiko umfasst Chance mittlere quadratische Abweichung vom erwarteten Wert einer Zielgröße à Varianz

Investition auf Basis von Wahrscheinlichkeiten Idee des 𝜇/𝜎-Prinzips: • Abwägung zwischen 𝜇 und 𝜎 über Risiko-Präferenzfunktionen • Veranschaulichung mittels Indifferenzkurve à Risikonutzen = 𝜇 − 𝜃,𝜎 l typisch: Risikoscheu (𝜽 > 𝟎) z.B. Risikonutzen = 𝜇 − 1,𝜎 l

Risikoindifferenz (𝜽 = 𝟎) Risikonutzen = 𝜇

Risikofreude (𝜽𝒚𝟎) z.B. Nutzen = 𝜇 − (−0,5),𝜎 l

Diskussion des Prinzips • • •

Konzept relativ einfach anzuwenden à hohe Praxisrelevanz (z.B. Beurteilung von Aktien) setzt voraus, dass lediglich 𝜇 und 𝜎 relevant sind kann mit Vorleigen einer Notmalverteilung der Zielgröße (oder einer quadratischen Nutzenfunktion des Entscheiders) begründet werden

3.3 Investitionsentscheidungen...