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La géométrie pratique : source méconnue de Philibert De l’Orme Dominique Raynaud Résumé · Philibert de l’Orme (ca. 1510–1570) est l’un des maillons de la transformation de l’art du trait en stéréotomie. On a dit que cette transformation était le développement d’une tradition médiévale ou qu’elle ava...

Description

La géométrie pratique : source méconnue de Philibert De l’Orme Dominique Raynaud Résumé · Philibert de l’Orme (ca. 1510–1570) est l’un des maillons de la transformation de l’art du trait en stéréotomie. On a dit que cette transformation était le développement d’une tradition médiévale ou qu’elle avait bénéficié des apports de la géométrie savante. L’étude des constructions géométriques décrites dans le traité de Philibert de l’Orme révèle une source inédite, distincte tant de la géométrie savante que des routines de chantier. Ces constructions géométriques, en particulier la méthode de division d’un segment en n parties égales, dérivent de la géometrie pratique, « science fossile » florissante à l’époque classique, mais disparue depuis. Le déclin de cette discipline explique pourquoi cette source n’a pas été identifiée jusqu’à présent. Mots-clefs · constructions géométriques · géométrie pratique · architecture · stéréotomie

À la Renaissance, les premières évolutions de l’art du trait en stéréotomie trouvent leurs racines dans la géométrie pratique, et non dans la géométrie savante ou les routines de chantier. Joël Sakarovitch a consacré une partie de son oeuvre à l’histoire de la stéréotomie, née de l’art du trait, transformée en coupe des pierres, rationalisée enfin en géométrie descriptive par Gaspard Monge1. L’architecte français Philibert De l’Orme (ca. 1510–1570) occupe une place singulière dans cette histoire. Maillon de la transformation de l’art du trait médiéval en stéréotomie, De l’Orme prépare les travaux ultérieurs de Girard Desargues, Mathurin Jousse, François Derand, Philippe de La Hire, Jean-Baptiste de la Rue ou Amédée-François Frézier. Cette transformation pouvant être décrite comme la mathématisation de routines de chantier, on peut supposer qu’elle aurait bénéficié d’un apport mathématique extérieur. Notre architecte témoigne lui-même en ce sens: « Pour conclusion, toutes sortes de voûtes se peuvent faire, ainsi que nous avons dit, par le moyen des traits géométriques; la source et origine desquels est en Euclide, naguère doctement interprété, commenté, illustré et mis en lumière par monsieur François de Candale, et publiquement lu et exposé, par les professeurs du roi, en cette docte université de Paris, messieurs de La Ramée, Charpentier, et Forcadel, comme aussi tous autres bons livres et auteurs qui traitent et enseignent les mathématiques. De sorte que ceux qui désireront les savoir et entendre, signamment les architectes, maîtres maçons et ouvriers, n’auront aucune excuse, même pour l’arithmétique, géométrie et autres disciplines, lesquelles familièrement lit en langage français, et doctement les interprète ledit seigneur Forcadel. Qui est la cause que je prie ceux qui font ou veulent faire profession d’architecture, et n’ont appris lesdites arithmétique et géométrie, d’y vouloir employer quelques heures, afin d’avoir facile entrée, je ne dirai en la pratique d’architecture, mais aussi en sa théorique, et toutes ses inventions et démonstrations. »2 1

Joël Sakarovitch, Épures d’architecture. De la coupe des pierres à la géométrie descriptive. XVIe-XIXe siècles, Bâle, Birkhaüser, 1998. 2 De l’Orme, Le Premier Tome de l’architecture, Paris, 1567, fol. 116r [souligné par l’auteur].

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De l’Orme affirme que le trait tire « sa source et origine » d’Euclide, qu’il connaît dans l’édition3 de François Foix de Candalle, l’une des meilleures en son temps, utilisée notamment par François Viète. Il dit aussi avoir fréquenté les cours de mathématiques de Pierre de La Ramée (1515–1572)4, Jacques Charpentier (1524–1574)5 et Pierre Forcadel (1519–1576)6, tous trois professeurs au Collège de France. De l’Orme exhorte les architectes, maîtres maçons et ouvriers à suivre son exemple en préparant leur apprentissage par les mathématiques, recommandation qu’ils peuvent suivre sans délai Forcadel donnant ses leçons en français. Ailleurs dans son traité, De l’Orme cite d’autres géomètres illustres tels que Platon, Euclide ou Archimède7. Tout dans ces références respire l’érudition mathématique, suggérant ainsi que la géométrie savante aurait contribué à tracer le chemin de la stéréotomie scientifique8. On a cependant rappelé que, « à la Renaissance, le tracé de l’épure est disputé par deux traditions: corporative et médiévale, scientifique et mathématique »9, position qui admet une plus grande continuité entre l’art du trait et la stéréotomie que ne le laisse penser la thèse d’une origine savante de ces procédés. Comme il existe des avis différents, la question des sources de Philibert de l’Orme mérite d’être étudiée en profondeur. Pour ce faire, on dispose de deux corpus constitués. 1° Pour tester l’hypothèse pratique, on comparera le savoir géométrique de Philibert de 3

Euclidis Megarensis mathematici clarissimi Elementa, Libris XV. ad germanam geometriæ intelligentiam è diuersis lapsibus temporis iniuria contractis restituta… Paris, 1578. 4 1515-1572, lecteur du Roy en l’Université de Paris, professeur de philosophie au Collège Royal de 1551 à 1572. 5 1524-1574, recteur de l’Université de Paris, professeur de mathématiques au Collège Royal de 1566 à 1574. 6 1519-1576, lecteur ordinaire du Roi ès Mathématiques en l’Université de Paris, professeur de mathématiques au Collège Royal de 1560 à 1574. 7 « L’inuention de faire l’equarre par le moyen d’vn triangle est venuë de Pytagoras […] A ce propos Platon trouua vne inuention […] mesme figure que celle de Pythagoras […] Ne se peut trouuer telle racine, autrement que par la figure de Pithagoras ou de Platon […] cognoissance de la nature de six sortes de traicts ou figures Geometriques, extraictes de Euclide & Archimedes » Philibert de l’Orme, Premier Tome de l’architecture, fol. 35r, 36v, 38r-v et 128v [souligné par l’auteur]. 8 « Il a eu connaissance des commentaires de François de Candale sur Euclide par les exposés de Pierre de la Ramée, dit Ramus, Jacques Charpentier et Pierre Forcadel, qu’il a pu suivre “en cette docte université de Paris” ou au Collège de France. C’est par l’usage de la géométrie que l’architecture a pris progressivement rang parmi les arts libéraux. Les plus savants devanciers de De l’Orme auraient pris à leur compte cette déclaration: “ceux qui n’entendront les traicts de Géométrie, desquelz doivent estre muniz ceux qui veulent faire profession d'Architecture, […] tout ce qu'ilz feront et entreprendront sera à l’adventure », Jean-Marie Pérouse de Montclos, Philibert de l’Orme: architecte du roi, 1514-1570, Paris, Mengès, 2000, p. 99; « De l’Orme lui-même se contente de dire que sa géométrie vient d’Euclide doctement interprété, commenté illustré et mis en lumière par Monsieur François de Candale », Jean-Marie Pérouse de Montclos, L’Architecture à la française du milieu du XVe siècle à la fin du XVIIIe siècle, Paris, Picard, 2001 [1984], p. 184. 9 Philippe Potié, Philibert de l’Orme. La théorie du projet architectural à la Renaissance, thèse de doctorat, Paris, EHESS, 1983, p. 142; voir aussi Id., Philibert de l’Orome, Figures de la pensée constructive, Marseille, Parenthèses, 1986.

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l’Orme à celui qui apparaît dans les carnets et traités d’architecture antérieurs à la parution du Premier Tome de l’architecture. 2° Pour tester l’hypothèse théorique, on comparera les connaissances géométriques de notre architecte à celles qui apparaissent dans les traités suivants: •

François Foix de Candalle, Euclidis Megarensis mathematici clarissimi Elementa, Libris XV, Paris, 1578.

•

Pierre de la Ramée, dit Ramus, Arithmeticae libri duo, Geometriae septem et viginti, Bâle, 1555, et Scholarum mathematicarum libri unus et triginta, Paris, 1569.

•

Jacques Charpentier [aucune oeuvre publiée en mathématique].

•

Pierre Forcadel, Les six premiers livres des elemens d’Euclide, Paris, 1564, Les septieme, huictieme & neufieme livres des elemens, Paris, 1565, et La practique de la géométrie d’Oronce, Paris, 1570. Pour conduire ce test, on peut restreindre le savoir géométrique de Philibert de l’Orme

aux constructions géométriques: élever une perpendiculaire à une droite en un point donné, tracer une parallèle à une droite en un point donné, trouver le centre perdu d’un cercle, etc. En effet un problème géométrique pouvant être résolu de plusieurs manières, chaque méthode reste attachée à son origine. Les constructions géométriques constituent donc de bons traceurs des voies de transmission historique. Plus les solutions géométriques sont nombreuses, plus elles permettent d’identifier la source avec précision. Testons les deux hypothèses (procédés des théoriciens vs. des praticiens) en étudiant les constructions décrites par Philibert de l’Orme: Prologue en forme d’aduertissement (fol. 31r-32v): tracer un cercle, tracer deux diamètres perpendiculaires, circonscrire un carré au cercle donné. Chap. 1. Comme on peut trasser les fondemens d’vn bastiment par le moyen d’vn perpendicule au bout d’vne ligne droicte (fol. 33r-35v). Chap. 2. La maniere d’examiner & amender vne équierre (fol. 36r-38v). Chap. 3. Comme deux lignes perpendiculaires estant tirées sur les bouts d’vne droicte […] monstrent à diuiser toute ligne de longueur, en tant de parties égales que vous voudrez, par nombres impairs (fol. 38r-39v). Chap. 4. La forme d’vn niueau, sur la figure d’vn triangle équilateral, & comme il s’en faut ayder pour dresser les plans des édifices (fol. 39v-40r). Chap. 5. L’vsage pratique dudit niueau triangulaire, auec l’explication de ses parties (fol. 40r-41r). Chap. 6. La composition & vsage d’vn triangle équilatéral, duquel on se peut ayder pour

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prendre tout destours, & toutes sortes d’angles… Comme aussi pour mesurer iustement vne Ville, Chateau ou autre place… (fol. 41v-49v). L’étude préalable montre que le problème le mieux à même de discriminer les sources est la division d’un segment10 en parties égales, qui peut être réalisée d’au moins treize manières différentes, proposées (dans l’ordre chronologique) par Euclide, Héron d’Alexandrie, alNayrīzī, Jean de Murs (2 méthodes), Nicolas Chuquet, Albrecht Dürer, Niccolo Fontana Tartaglia, Giovanni Battista Benedetti, Lorenzo Mascheroni (3 méthodes) et François-Joseph Servois. Considérons la méthode décrite par Philibert de l’Orme pour diviser une droite donnée en n parties égales (Figure 1).

Figure 1 « Soit doncques la ligne assignée AB laquelle ie veux diuiser en cinq parties égales […] Ie fais doncques sur les deux bouts d’icelle ligne, sçauoir est AB deux angles droicts en contraire partie, l’vn en haut CAB l’autre en bas ABD par les deux lignes AC & BD égales l’vne à l’autre. Puis ie diuise chacune d’icelles en quatre parties également, & par chacune diuision ie produis quatre lignes diametrales & obliques, comme CF, GH, IK, LD. Ie concluds que par lesdictes quatre lignes, celle de AB sera diuisee également en cinq parties, comme il appert en la presente figure. Si vous voulez diuiser ladicte ligne en sept parties, il faut diuiser les deux perpendiculaires AC, BD en six parties, & faire comme deuant; si vous la desirez diuiser en trois, il faut partir lesdictes deux perpendiculaires chacune en deux, & ainsi des autres. »11

De l’Orme prend prétexte qu’Euclide n’aurait mentionné aucune solution12 pour présenter 10

Nous maintiendrons l’usage ancien consistant à parler de « division de la droite ». De l’Orme, Premier Tome de l’architecture, fol. 38v-39r. 12 Ibid., fol. 38v: « Euclide n’a faict, comme aussi tous les anciens Geometres, aucune mention du moyen de pouuoir diuiser vne ligne droicte en tant de parties égales qu’on voudra ». 11

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une construction de substitution. La vérité est pourtant qu’Euclide propose une construction commode et bien connue pour diviser une droite en n parties égales: « Ex linea data quam voluimus partem abscidere »13. Philibert de l’Orme présente quant à lui une construction différente, qu’il emprunte à Charles de Bovelles (Figure 2).

Figure 2 « Diviser vne ligne droicte en tant de parties que l’on vouldra. Pour diuiser une ligne droicte en tant de parties esgalles que l’on vouldra, Euclide ne les anciens Geometriens n’en ont faict aucune mention, iacoit que la chose soit fort necessaire & assez facile à trouuer. Soit la ligne assignee AB. Ie la veul diuiser en cinq parties, car il est plus difficile de diuiser vne ligne selon le nombre non per, que selon le nombre per. Il est trop facile de la diuiser en deux, par deux cercles soy entrecoppans sur elle. Puis est aussi facile la diuiser en quatre. Ie fais doncques sur les deux bouts d’icelle, comme sur A, & sur B, deux angles droicts en contraires parties, l’un en hault CAB, l’autre en bas ABD, par les deux lignes AC & BD. Ie fais ces deux lignes c’est a scauoir AC & BD, esgalles l’une a l’autre. Puis ie diuise chascune d’icelles en quatre parties esgallement. Et par chascune diuision produis quatre lignes diametralles & obliques, CE, FG, HI, & KD. Ie di que par lesdictes quatre lignes, la premiere AB, sera diuisee esgallement en cinq parties: comme il appert par la figure. Et se tu la veuls diuiser en sept parties: il te fault diuiser les deux perpendicualires AC, & BD, en six parties, & faire comme deuant. Si tu la veuls diuiser en trois, il fault partir les deux perpendiculaires chascunes en deux, & ainsi des autres. »14

Charles de Bovelles n’est ni le seul ni le premier à exposer ce procédé que l’on trouve dans plusieurs traités de l’époque. En Italie, il apparaît dans l’édition posthume de la Geometria prattica de Giovanni Pomodoro15. En France, il est connu de Jacques Peletier qui l’expose dans son Usage de geometrie16. À une date un peu antérieure, il apparaît dans le Petit traicté 13

Éléments VI, 9. Paris, 1547, fol. 12r-v. 15 Rome, 1624, p. 13, Tavola IIII, 16ª. 16 Paris, 1573, pp. 22-23. 14

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de la pratique de geometrie de Nicolas Chuquet. La partie intitulée « Commant aulcunes lineacions et figuracions geometriques sont faictes » (prop. 202-224) expose les constructions géométriques usuelles au nombre desquelles la méthode de n-section de la droite (Figure 3). D

A

B

C

Figure 3 « Pour diviser une ligne droicte en plusieurs et en tant de parties egales que l’on vouldra, l’on peult ainsi faire: soit la ligne que l’on veult diviser AB. Après faiz une ligne orthogonale de quantité indeterminee, c’est assavoir a ton plaisir dessoubz A, laquelle soit AC. En après faiz une aultre semblable ligne dessus B, laquelle soit BD. Puis divise BD en autant et ytelles parties egales que vouldras, et semblablement la ligne AC. En outre tyre une ligne de chacun point a aultre tranchant la ligne AB et la divisant en parties egales comme il appert en la figure. »17

À des dates antérieures, cette construction géométrique a été décrite par Roger Bacon, Nulla linea nisi tantum una residuo coniungi potest (Florence, Biblioteca Nazionale Centrale, MS Conv. Soppr. J. IX. 26, fol. 46r-55r)18; Gérard de Crémone, dans la traduction latine du commentaire d’al-Nayrīzī, In decem libros priores Elementorum Euclidis commentarii (Madrid, Biblioteca nacional de España, MS 10010; Vatican, Biblioteca apostolica vaticana, MS Reginensis 1268; Krakow, Biblioteka Jagiellonska, MS 569)19; Abū al-Wafāʾ al-Buzjānī, Kitāb fī mā yaḥtāju al-ṣāni ʿmin al-aʿmāl al-handasiyya [Livre des constructions géomé17

Nicolas Chuquet, Petit traicté de la pratique de geometrie, fol. 45r; le procédé est repris dans la version de 1484: Commant aulcunes lineacions et figuracions geometriques sont faictes, fol. 256v; La Géométrie. Première géométrie algébrique en langue française (1484), ed. H. L’Huillier, Paris, Vrin, 1979, p. 389. 18 Hubert L. L. Busard, “Ein mittelalterlicher Euklid-Kommentar, der Roger Bacon zugeschrieben werden kann,” Archives Internationales d'Histoire des Sciences 24 (1974): 199-218, p. 214. 19 Maximilian Curze, Anaritii in decem libros priores Elementorum Euclidis commentarii ex interpretatione Gherardi Cremonensis, Leipzig, B.G. Teubner, 1899, p. 74; Anthony Lo Bello, ed., Gerard of Cremona’s Translation of the Commentary of Al-Nayrizi on Book I of Euclid's Elements of Geometry, Leiden, Brill, 2003, pp. 92-93.

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triques nécessaires à l’artisan] (Istanbul, MS Ayasofya 2753; Uppsala, Universitetbibliotek, MS Tornberg 324; Milan, Biblioteca ambrosiana, MS &68 sup; Paris, Bibliothèque nationale de France, MS Persan 169), oeuvre qui ne semble pas avoir été connue dans l’Europe latine.20 Conclusion L’histoire de la méthode permettant de diviser une droite en n parties égales produit des résultats qui informent directement le problème des sources de Philibert de l’Orme: 1° La méthode de n-section d’une droite décrite par Philibert de l’Orme appartient à une tradition bien constituée. En attestent les occurrences qu’on trouve chez Abū al-Wafāʾ, alNayrīzī, Gérard de Crémone, Roger Bacon, Nicolas Chuquet, Leonardo da Vinci, Benvenuto della Volpaia, Jacques Peletier, Giovanni Pomodoro et Charles de Bovelles. 2° La construction géométrique reproduite par Philibert de l’Orme n’appartient pas à la géométrie savante. Elle n’apparaît pas dans les écrits de François Foix de Candalle, Pierre de La Ramée, Jacques Charpentier et Pierre Forcadel. 3° Cette construction géométrique n’a pas été transmise par les praticiens. Le carnet de Villard de Honnecourt, les instructions géométriques de Hans Hösch, Matthäus Roriczer21, Lorenz Lechler ou Albrecht Dürer, les traités d’architecture de Mariano Taccola, Giovanni Fontana, Antonio di Pietro Averlino, dit Filarete, Francesco di Giorgio, Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio, Antonio Labacco, Pietro Cataneo, Jacopo Barozzi da Vignola ou Andrea Palladio n’en font pas mention. Cette méthode n’est attestée que dans les taccuini de Benvenuto della Volpaia et Leonardo da Vinci22. 4° Cette construction géométrique appartient à la géométrie pratique. En atteste le titre 20

François Woepcke, “Analyse et extrait d’un recueil de constructions géométriques par Aboûl Wafâ”, Journal asiatique 5 (1855): 218-256, 309-359, p. 322-323; Svetlana Krasnova, “Abu-l-Vafa al-Buzdjani, Kniga o tom, chto neobhodimo remeslenniku iz geometricheskih postroenij”, Fiziko-matematicheskie Nauki v stranah Vostoka 1 (1966): 42-140, p. 62; Dominique Raynaud, “Abū al-Wafāʾ Latinus? A Study of Method”, Historia Mathematica 39 (2012): 34-83. 21 On trouve chez Matthäus Rorizcer, Büchlein von der Fialen Gerechtigkeit (1486), fol. 15v, ed. Lon R. Shelby, Gothic Design Techniques, pp. 97-98, un dessin présentant des similitudes avec les précédents, mais, n’étant pas accompagné par un texte, rien ne permet d’affirmer qu’il dérive de la méthode de n-section de la droite. 22 La méthode est décrite par l’ingénieur Benvenuto della Volpaia: « A diuidere una linea in quante parte vuoi », Carlo Pedretti, Studi vinciani, Genève, Droz, 1957, p. 28. Dans le ms. 5363 de la Biblioteca nazionale di San Marco, fol. 39r, ce texte est précédé par la mention « Di Lionardo da uinci » une autre main ayant ajouté « non e vero ». Il est exact cependant que Leonardo da Vinci a consigné l’existence de ce procédé, tantôt par une figure isolée, tantôt par une figure accompagnée d’un texte court comme « Con una data apritura di seste si divida una linia in un numero dato, pari o dispari, di parte equali », Paris, Institut de France, ms. E, fol. 30r (1490-1492), Les Manuscrits de Léonard de Vinci, t. 3. Manuscrits C, E, K de l’Institut de France, ed. C. Ravaisson-Mollien, Paris, Quantin, 1888, fol. 30r. Voir aussi ms. B, fol. 51v (ca. 1490); ms. A, fol. 15v, 17r (1492); Codex Atlanticus, fol. 551r (ca. 1500) et 830v (ca. 1513-1514).

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des oeuvres qui exposent la méthode de division d’une droite en n parties égales: Geometrie practique (Bovelles), Geometria prattica (Pomodoro), Usage de geometrie (Peletier) ou Pratique de geometrie (Chuquet). Les éléments que nous venons ...