los doce pasos a las ecuaciones de navier stokes PDF

Preview

Summary

los doce pasos a las ecuaciones de navier stokes Wuilson Adolfo Estacio Rojasδ 1 Elasticidad y Fluidos. 1 Departamento de Fı́sica. Universidad Nacional de Colombia. Sede Bogotá. 31 de Noviembre de 2017 Resumen En el presente informe se encontrara un resumen de los doce pasos a la ecuación de Navie...

Description

los doce pasos a las ecuaciones de navier stokes Wuilson Adolfo Estacio Rojasδ 1 Elasticidad y Fluidos. 1 Departamento de F´ısica. Universidad Nacional de Colombia. Sede Bogot´a. 31 de Noviembre de 2017

Resumen En el presente informe se encontrara un resumen de los doce pasos a la ecuaci´ on de Navier Stokes de la profesora Lorena A Barba [lbb(2017)], el cual es un modulo practico para clases de fluidos computacional. En este informe todas las gr´ aficas fueron hechas en el programa jupyter, anaconda e igual mente se programo en ellos, en este resumen observara que se empieza por describir los pasos en una dimensi´ on, luego en 2 dimensiones y por ultimo en tres dimensiones que serian los pasos 11 y 12

1.

Introducci´ on

η y ν son constantes y ya con dichas suposiciones se puede demostrar que el tensor de esfuerzos se La ecuaci´ on de Cauchy en su forma alternativa reduce a el tensor de esfuerzo viscoso que para un es, fluido newtoniano incompresible cte →

ρ[

→

→ → ∂v η →→ → + ( v ∗ ∇)∇] = ∇P +η∇2 +(ξ + ) ∇∗ v (1) ∂t 3

pero no es Muy u ´til como se encuentra porque el tensor de esfuerzo contiene nueve componentes, seis de los cuales son independientes (por simetr´ıa). En consecuencia, adem´ as de la densidad y de las tres componentes de velocidad, existen seis inc´ ognitas adicionales, para un total de 10 inc´ognitas (en coordenadas cartesianas Las inc´ ognitas son ρ, u, v, w, σxx , σyy , σzz , σxy , σxz σyz . por lo que tomaremos las siguientes condiciones para llegar a la ecuaci´ on de Navier stokes, primero nos limitaremos a fluidos newtonianos, fluidos incompresibles, tambi´en se supondr´ a que el flujo es aproximadamente isot´ermico a saber que los cambios locales en la temperatura son peque˜ nos o inexistentes u donde

tij = 2νεij donde εij es el tensor de deformaci´on o de stress, que en coordenadas cartesianas es 1 [y John Cimbala(2012)]

Figura 1: Condiciones iniciales y adem´as con las suposiciones anteriores la ecuaci´on de Navier stokes queda descrita de forma geδ

[email protected]

TALLER DE ELASTICIDAD y FLUIDOS

2

MODELOS Y DETALLES

neral como: →

ρ[

2. 2.1.

→

→ → ∂v → + ( v ∗ ∇)∇] = ∇P + η∇2 v ∂t

(2)

Modelos y Detalles Paso 1 : convecci´ on lineal

En este primer paso de la ecuaci´ on de Navier Stokes tenemos una ecuaci´ on lineal con condiciones iniciales en la cual se da una ecuaci´ on de convenci´on 3 y se habla de como se comporta una funci´on en forma de onda cuando se le superpone a esa ecuaci´ on y pues si se hecha una vistazo a la gr´afica de las condiciones iniciales de la velocidad utilizando un diagrama de maplitlib podemos ver que tiene forma de sombrero 2 ∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x

Figura 3: gr´afica perfil de velocidad con nx=60

(3)

Figura 4: gr´afica perfil de velocidad con nx=100

1 pero cambiando c que es constante por una soluci´on u y dando una convenci´on no lineal de la forma

∂u ∂u +u =0 ∂t ∂x

Figura 2: Condiciones iniciales y su gr´ afica va variando, entonces si variamos nx, el cual nos indica que entre mas puntos tomemos en un rango de 41 a 81 mejor sera la gr´ afica ya que para nx=81 sera mayor la pendiente de la funci´on, al aumentar de nx = 41 a nx = 60 tenemos la gr´ afica, 3 y para un nx = 100 tenemos la gr´afica, 4 . esto quiere decir que nx = 100 la malla que se esta calculando es muy grande y empiezan ha haber fluctuaciones es decir con mayor errores ya que para matrices tan grandes no funciona el programa y no puede iterar tantos puntos.

(4)

y luego discretizando la ecuaci´on como se hizo en el paso uno, se vera la diferencia de avance en el tiempo y diferencia de retroceso en el espacio. Haciendo esto que la gr´afica de la funci´on sombrero del paso uno queda de la siguiente forma.5 que tiene forma gaussiana y en este caso que seria un perfil de velocidad pero entre mas valores se tomen empezara a tomar de nuevo la forma de la funci´on sombrero. y la cual en 3 dimensiones se vera como 6 la cual inicialmente se supone que tiene forma gaussiana y entre mas transcurre el tiempo va tomando la forma de funci´on sombrero y que es al an´alogo bidimen2.2. Paso 2: Convecci´ on no lineal sional de la funci´on sinc que usa con frecuencia en En el paso dos se trabajara la convenci´ on no li- el procesamiento de im´agenes y Se puede definir a neal utilizando los mismos m´etodos que en el paso trav´es de la funci´on de Bessel del primer tipo. 2

FLUIDOS.

TALLER DE ELASTICIDAD y FLUIDOS

2

MODELOS Y DETALLES

y la gr´afica de la funci´on que representa el perfil de velocidades tiene forma gaussiana pero entre mas valores de o nx o partes este dividido el intervalo de o a 2 mas se parecer´a a la gr´afica de la funci´on sombrero o barrera de potencial.

2.4.

Paso 4: Ecuaci´ on de Burgers

Aqu´ı se presenta la ecuaci´on de Burgers ∂u ∂2u ∂u +u =ν 2 ∂t ∂x ∂x Figura 5: soluci´ on a la ecuaci´ on de difusi´on

(6)

que es una ecuaci´on diferencial parcial parecida a la ecuaci´on de kardar parisi pero a diferencia de esta la ecuaci´on de Burger solo se aplica a una dimensi´on espacial mientras que la de kardar generaliza m´ ultiples dimensiones, cuando el termino de difusi´on de la ecuaci´on de Burgers es igual a cero osea ν = 0 la ecuaci´on se convierte en la ecuaci´on de hamburgesas invisibles. ∂u ∂u +u =0 ∂t ∂x

(7)

que es prototipo para una ecuaci´on de conservaci´on que puede desarrollar discontinuidades (ondas de choque). igualmente la ecuaci´on de Burgers se discretiza y su utilizan condiciones iniciales y de frontera que para este caso utilizamos Figura 6: funci´ on sombrero en 3D u=

2.3.

−2ν∂ϕ +4 ϕ∂x

(8)

Paso 3: Difusi´ on

−2x2 −(x − 2π)2 Aqu´ı se observa que la que se presenta es una exp + exp (9) 4ν 4ν ecuaci´ on de difusi´ on dada como se muestra en la ecuaci´ on 5 y con condici´on inicial ∂u ∂2u +ν 2 =0 (5) ∂t ∂x u(0) = u(2π) (10) esta ecuaci´ on se puede solucionar por 3 m´etodos uno de ellos es el de separaci´ on de variables pero despu´es de tener las condiciones iniciales estace necesitaran 2 condiciones de frontera y 1 con- blecidas se continua con el problema, al mirar la dici´ on inicial, por el m´etodo de transformada de gr´afica 7observamos que la funci´on sombrero ya no fourier solo se necesita una condici´ on inicial para aparece pero en cambio de ella se encuentra una −∞ < x < ∞ y por el m´etodo num´erico en este funci´on a la que llamaremos funci´on dientes de siecaso de programar se tiene que discretizar la deriva- rra. ahora si aumentamos el tiempo de simulaci´on da de segundo orden y se considera la expansi´on en notamos que la onda se seguir´a moviendo en la diseries de taylor. aqu´ı se asume que el flujo newto- recci´on x positiva hasta un punto que parece volver niano por lo tanto la viscosidad se asume constante a empezar. 3

FLUIDOS.

TALLER DE ELASTICIDAD y FLUIDOS

2

Figura 7: gr´ afica funci´ on dientes de sierra

2.5.

Figura 9: tiene forma de una ola

Paso 5: Convecci´ on Lineal 2D

2.6.

En este paso quinto se extender´ a el paso uno de la ecuaci´ on de convecci´ on para a dos dimensiones ∂u ∂u ∂u +c +c =0 ∂t ∂x ∂y

MODELOS Y DETALLES

Paso 6: Convecci´ on no lineal 2D

En este paso se resuelve la convecci´on en dos dimensiones representadas por el par de ecuaciones y donde u y ν son las componentes de la velocidad en cada una de las direcciones x e y → u(x, y, t) = u(x, y, t)ˆi + νu(x, y, t)ˆj

(11)

y el paso de tiempo se discretear´ a nuevamente y se dar´ an condiciones iniciales y de frontera CI u(x, t) = 2 para 0,5...