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Física apuntes...

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Modellus Modelización matemática de problemas y procesos PID_00221748

Albert Gras i Martí Teresa Sancho Vinuesa

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Albert Gras i Martí Doctor en Física y profesor de la Universidad de Alicante. Miembro del Institut d'Estudis Catalans (IEC). Investiga en la enseñanza de la física, y en los usos didácticos de las tecnologías de la información y la comunicación. Colaborador de la Universitat Oberta de Catalunya (UOC).

Modellus

Teresa Sancho Vinuesa Doctora ingeniera en Electrónica y licenciada en Matemáticas. Profesora y directora de investigación de la Universitat Oberta de Catalunya (UOC). Investiga en la enseñanza y aprendizaje de matemáticas en línea en educación superior.

Sexta edición: febrero 2019  Albert Gras i Martí, Teresa Sancho Vinuesa Todos los derechos reservados © de esta edición, FUOC, 2019 Av. Tibidabo, 39-43, 08035 Barcelona Diseño: Manel Andreu Realización editorial: Oberta UOC Publishing, SL

Los textos e imágenes publicados en esta obra están sujetos -excepto que se indique lo contrario- a una licencia de Reconocimiento-Compartir igual (BY-SA) v.3.0 España de Creative Commons. Se puede modificar la obra, reproducirla, distribuirla o comunicarla públicamente siempre que se cite el autor y la fuente (FUOC. Fundació per a la Universitat Oberta de Catalunya), y siempre que la obra derivada quede sujeta a la misma licencia que el material original. La licencia completa se puede consultar en: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/legalcode.es

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Índice

Sobre estos materiales de trabajo ....................................................

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1. Introducción ....................................................................................

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2. El programa Modellus ................................................................... 2.1. Descargar e instalar el programa Modellus ..................................

8 8

2.2. Abrir un ejemplo ..........................................................................

9

2.3. Explorar algunos ejemplos ...........................................................

10

2.4. Cálculos con Modellus .................................................................

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2.5. Animaciones con Modellus ..........................................................

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Resolución de actividades ..................................................................

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Sobre estos materiales de trabajo

El aprendizaje de las matemáticas, de las ciencias y de la ingeniería requiere un equilibrio entre teoría, experimentación y computación. En este módulo nos centraremos en las herramientas computacionales interactivas de modelización de procesos, que permiten abordar problemas cientificotecnológicos. Usaremos Modellus para la realización de algunas actividades de aprendizaje. Modellus es una herramienta informática gratuita, creada en Java y que funciona con varios sistemas operativos. La herramienta permite trabajar con las múltiples representaciones que pueden tener los modelos matemáticos: tablas de datos, fórmulas, gráficas, lenguaje verbal, lenguaje icónico, animaciones, etc.

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1. Introducción

La simulación de fenómenos tiene aplicaciones importantes en todas las ramas del saber. En física, por ejemplo, mediante simulaciones podemos hacer el análisis de movimientos (estudio cinemático y dinámico), el dibujo de trayectorias y de partículas, la formación de imágenes en óptica geométrica, el estudio de fenómenos ondulatorios y de sistemas eléctricos y electrónicos, el análisis de procesos atómicos y nucleares, etc. Básicamente, hay tres maneras de simular procesos físicos con el ordenador: a) Programas que permiten elaborar simulaciones personalizadas. b) Miniaplicaciones interactivas (applets) o aplicaciones hechas con Flash y que tratan problemas concretos. c) Paquetes de simulación específicos que abordan áreas concretas, como por ejemplo la mecánica o la óptica. Nos centraremos en un programa del primer tipo.

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2. El programa Modellus

Con el programa Modellus (modelización interactiva con matemáticas, o experimentación con modelos matemáticos) es posible modelar fenómenos físicos de muchos tipos y explorarlos de manera interactiva. El programa Modellus, desarrollado por el profesor Vitor Duarte Teodoro, de la Universidade Nova de Lisboa, es de disposición libre. Su uso en algunos países y entornos educativos hace que esta herramienta se encuentre en desarrollo constante y que haya multitud de ejemplos de aplicaciones en el aula colgados en la Red. Empezaremos por descargar el programa gratuito Modellus.

2.1. Descargar e instalar el programa Modellus Entrad en el sitio web de Modellus: http://modellus.fct.unl.pt/ Os tenéis que registrar. Id al apartado de descarga: Download Modellus Version 4.01 (Please sign-in or log-in first) Id a la carpeta correspondiente a vuestro sistema operativo: Setup files for Modellus 4.01 (Windows) Jar files for Linux with examples (also Run on Windows and 64 bits Intel Macs) Jar files for Mac Users WITHOUT Java 1.6 Descargad los archivos. Por ejemplo, para la versión Windows hay tres archivos: •

JAVA_jre-6u7-windows-i586-p-s.exe 15.2MB

•

Modellus_4.01_Setup_file.exe 18.5MB

•

Modellus_4_A_visual_introduction_for_teachers.pdf

El primero quizá no lo necesitaréis si ya tenéis instalado Java. El segundo archivo es el programa. El tercer archivo, en PDF, da una visión general de lo que se puede hacer con el programa, pero no es necesario que lo descarguéis.

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Instalad el programa Modellus. Para esto, haced clic sobre el archivo siguiente: Modellus_4.01_Setup_file.exe Abrid el programa Modellus. Está, probablemente, en la carpeta Modellus.

2.2. Abrir un ejemplo Abrid un ejemplo de simulación de la carpeta Inicio/Abrir/examples. Tenéis ejemplos de matemáticas, física, etc.

Tened en cuenta que para activar una simulación o pausarla tenéis que hacer clic en el botón de inicio (pausa,

) que tenéis en el extremo inferior izquierdo de la pantalla:

Para reiniciar la simulación, haced clic en el icono rojo

de la derecha de la figura anterior.

La pantalla de trabajo es el lugar donde se muestra la animación:

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Además de la pantalla de trabajo, tenéis cuatro ventanas donde es posible detallar el modelo matemático, los gráficos, las tablas y las anotaciones correspondientes.

Las ventanas auxiliares anteriores se pueden ocultar con el icono anterior. Los otros dos iconos,

, de la derecha de la línea inferior

, permiten activar y desactivar los menús superiores o los mar-

cadores de la pantalla de trabajo.

2.3. Explorar algunos ejemplos

Para empezar, nos haremos una idea de las posibilidades que ofrece este programa.

A1 a) Abrid el ejemplo Inicio/Abrir/examples/system of two linear equations.modellus que lleva el mismo programa y exploradlo un poco. b) Modificad los valores de los parámetros de las rectas (no olvidéis hacer clic en Intérprete, del menú superior, antes de activar la simulación con el botón ). c) Investigad las pestañas del menú superior: Modelo, Gráfico, Tabla, etc. Cambiad los valores y observad el efecto sobre la simulación. Por ejemplo, podéis modificar las escalas de las gráficas (no olvidéis hacer clic en Intérprete, dentro de la pestaña Modelo, antes de activar la simulación).

d) Cambiad las funciones a funciones cuadráticas y otros tipos. Podéis encontrar, por ejemplo, los puntos de intersección de una parábola y una recta, tanto de manera gráfica como con la ayuda de la tabla que se genera al activar la modelización. e) Guardad el archivo con otro nombre.

2.4. Cálculos con Modellus

Para introducirnos en la manera de trabajar de Modellus, haremos algunas actividades sencillas.

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Modellus como calculadora

Consideremos el cálculo siguiente: ¿cuál es la distancia recorrida por un vehículo que se mueve a 10 m/s durante 5 s? Se trata de un cálculo elemental: multiplicad 10 m/s por 5 s (tened en cuenta que en Modellus no se indican las unidades, pero siempre hay que pensar en las mismas).

Abrid un archivo nuevo de Modellus y teclead el producto: 10 * 5 Podéis obtener el multiplicador con la tecla (*) o introduciendo un espacio con la barra espaciadora.

Después de escribirlo, haced clic en Interpretar (el icono está en la pestaña Modelo). ¿Cómo vemos ahora el resultado de la operación? Escribid:

A = 10 * 5 Y haced clic en Intérprete. Veréis que aparece el resultado A  50 en la ventana Tabla.

Podemos usar, por lo tanto, Modellus como calculadora. Intentemos hacer este cálculo:

b

10 * (2  4) 2  sin 5

(1)

Tenéis que escribir el símbolo de raíz cuadrada desde la pestaña Modelo. Después, poned los paréntesis en el numerador y teclead el símbolo de división (/) para que aparezca el cociente:

Todas las funciones, como por ejemplo el seno, deben tener los argumentos entre paréntesis ( ). Podéis copiar texto de un procesador de textos, en la ventana Notas y también en la ventana Modelo. Copiad esta frase: Primeros ejercicios En la ventana Modelo tenéis que marcar el texto y hacer clic en el icono

.

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También podéis copiar texto de fórmulas en la ventana Modelo:

La expresión siguiente, en la que el símbolo (#) reemplaza a la raíz cuadrada, es equivalente a la expresión (1):

a = (10 * # (2 + 4)) / (2 + sin(5))

(2)

Es posible seleccionar la expresión anterior con el ratón y copiarla en la ventana Modelo. Resulta lo siguiente:

El procedimiento inverso también es posible: pasar fórmulas de Modellus a un procesador de texto.

Una vez hagáis clic en Interpretar, para que aparezca el resultado de las variables b y a en la tabla se deben elegir las dos en el menú Tabla:

Obtenemos el resultado de la imagen siguiente:

Como vemos, Modellus distingue entre mayúsculas y minúsculas en los nombres de variables.

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El contenido de la ventana de trabajo se puede obtener como imagen, con el primer icono de la pestaña Modelo:

Y la imagen, pegada en un documento de texto, es la siguiente:

Funciones matemáticas en Modellus

Ahora utilizaremos una función para obtener el resultado del problema que hemos visto antes: ¿cuál es la distancia recorrida por un vehículo que se mueve a 10 m/s durante un tiempo?

Podemos considerar que el movimiento es rectilíneo y que x representa la coordenada de la posición del vehículo respecto del origen del eje OX a lo largo del tiempo t. De esta manera, podemos escribir:

x  10 * t

(3)

donde x es la variable dependiente y t es la variable independiente.

El dominio de la variable independiente se define en la pestaña Variable Independiente. Definimos como máximo de t el valor 50.

Aquí se define también el paso, t, es decir, la longitud del intervalo en el que se hacen los cálculos.

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Ahora hacemos clic sobre Intérprete de la ventana Modelo. Para ver en la tabla las dos variables, x y t, podemos redefinir el contenido de Tabla, de manera que muestre x y t:

Al ejecutar el modelo, se genera la tabla. También podemos hacer que se represente gráficamente la función (3), una vez elegimos las variables correspondientes en la pestaña Gráfico:

Si arrastramos el ratón, podemos modificar los ejes y las escalas:

Una ecuación diferencial

Las ecuaciones diferenciales, o ecuaciones que contienen derivadas de funciones, aparecen en muchas aplicaciones de la ingeniería y de las ciencias. Ya hemos visto algunos ejemplos en la última sección del módulo sobre cálculo integrodiferencial. Una gran cantidad de fenómenos que trata la física, la ingeniería de telecomunicaciones, la economía, etc. se modelizan en términos de ecuaciones diferenciales, cuya solución permite conocer la evolución o algunas propiedades del fenómeno en cuestión. En este módulo dedicado a la modelización, es inevitable explorar qué ocurre con fenómenos o sistemas que varían con el tiempo; por ejemplo, el enfriamiento de un café o el movimiento de un vehículo. Algunos fenómenos físicos son modelizables en términos de ecuaciones diferenciales de variables separables. Se trata de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Una ecuación diferencial de variables separables es cualquier ecuación diferencial de primer orden que podemos escribir de la manera siguiente:

ƒ ( y)

dy  g( x) dx

(4)

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es decir, toda la dependencia en x queda en el miembro de la derecha, y toda la dependencia en la variable y queda en el miembro de la izquierda. Entonces una ecuación diferencial será separable (o de variables separables) si todas las “y” de la ecuación diferencial están multiplicadas por la derivada, y todas las “x” de la ecuación diferencial están al otro lado del signo igual. En este caso, es sencillo resolver la ecuación diferencial si la reescribimos así ƒ (y )dy  g (x )dx

(5)

e integramos respecto de y a la izquierda y respecto de x a la derecha,

 ƒ (y )dy   g (x)d x

(6)

Al hacer las integrales obtendremos una solución implícita que, en muchos casos, podremos resolver y escribir en forma explícita, y(x). También nos tendremos que fijar en el intervalo de validez de la solución y evitar que haya divisiones por cero, números complejos (como por ejemplo raíces cuadradas de números negativos), logaritmos de números negativos, etc. La mayoría de las soluciones de ecuaciones diferenciales que obtendremos no serán válidas para cualquier valor de x. A2 Resolved la ecuación diferencial siguiente (no hace falta que expreséis la solución en forma explícita):

dy  6 y2 x dx

(7a)

La solución que hemos obtenido es una ecuación implícita. Antes de escribirla en forma explícita, suele ser más sencillo calcular el valor de la constante, si nos dan una condición inicial. A3 a) Aplicad la condición inicial siguiente y(1) = 1/25

(7b)

para determinar la constante C indeterminada en la expresión de la solución de la ecuación diferencial (7a), y escribid la solución en forma explícita. b) Determinad, también, el intervalo de validez de la solución.

Hemos encontrado la solución particular de la ecuación diferencial (7a) que verifica la condición inicial (7b). Ahora bien, si tenemos otra condición inicial, como por ejemplo

y (4)  

1 20

(7c)

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obtendremos otra solución de la ecuación diferencial. La solución sería la misma que la hallada por la ecuación (7c), pero ahora el intervalo de validez sería el que mostramos en la solución del ejercicio. Veamos otro ejemplo. A4 Resolved el problema de valor inicial siguiente y encontrad el intervalo de validez de la solución:

y'

3 x2  4 x  4 2y  4

(8a)

y(1) = 3

(8b)

Nota: encontraremos, en primer lugar, la forma implícita de la solución y en la actividad siguiente discutiremos la forma explícita, igual que hemos hecho en el ejemplo anterior, actividades A2 y A3.

Ahora debemos encontrar la solución explícita. A5 Encontrad la forma explícita de la solución de la ecuación diferencial anterior, (8a), con la condición (8b), y determinad el intervalo de validez de la solución.

Ahora plantearemos la resolución de la ecuación diferencial siguiente, en la cual la variable y tiene una tasa temporal de cambio igual a 10: dy = 10 dt

(9)

Escribidla utilizando el icono Tasa de Variación de la pestaña Modelo:

Cuando hacemos clic en Interpretar, el programa nos pide las condiciones iniciales de la variable dependiente:

Podemos definir una o varias condiciones iniciales; por ejemplo, las siguientes:

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Ejecutamos la simulación. Con la ventana Gráfico, podemos elegir qué casos (qué condiciones iniciales) queremos que se representen gráficamente:

Podemos ver los tres casos de manera simultánea:

La gráfica es la siguiente, que obtenemos con el icono “Copia imagen” de la pestaña Gráfico, y haciendo Pegar en este documento de texto.

Una iteración

Además de la derivación, la iteración es una operación frecuente en los cálculos matemáticos. Hagamos un proceso iterativo. Escribid, usando el icono

de la pestaña Modelo:

z  last( z)  10  d u u  last( u)  d u

(10)

Inmediatamente os aparecerá la ventana Parámetros, donde se piden los valores posibles del paso du:

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Interpretad el modelo y ejecutadlo. Cuando definimos adecuadamente las variables que tienen que aparecer en la tabla y la gráfica, obtenemos:

Como vemos, la expresión iterativa (10) es una forma equivalente a la de una derivada (9). Ahora sustituiremos el valor 10 por un parámetro (y cambiamos el nombre de la variable dependiente, para no mezclar los ejemplos anteriores): dw =p dt

(11)

Al interpretar el modelo, se nos pide que especifiquemos los parámetros:

Podemos hacer las gráficas y las tablas correspondientes, y probar las opciones de representación gráfica:

Obtenemos:

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Podemos resolver de manera inmediata la ecuación diferencial ordinaria (EDO) siguiente, en la cual la tasa de variación temporal de la variable w es proporcional al valor instantáneo de la misma variable:

dw = pw dt

(12)

O podemos resolver esta otra EDO, en la que la tasa de variación temporal de la variable w es proporcional al tiempo que ha transcurrido:

dw = pt dt

(13)

Se trata de dos ecuaciones diferenciales que sabemos resolver de manera analítica. Modellus nos las resuelve y nos hace la gráfica fácilmente.

Nota: si queréis hacer algunos cambios o corregir errores cuando habéis ejecutado una simulación, debéis hacer clic en el icono de la derecha de la barra inferior,

:

para que se activen las opciones de edición de los contenidos de las pantallas de tablas, gráficas, etc.

Para determinados valores de los parámetros y de las condiciones iniciales:

Obtenemos en el caso (12), para p = 0.10 y p = 0.50:

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Y en el caso (13):

A6 Obtened las solucio...