Novo Espaço 12 (Caderno Prático) PDF

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Índice 1 Cálculo combinatório Caderno Prático 2 Probabilidades 3 Funções reais de variável real 4 Funções exponenciais e logarítmicas 5 Funções trigonométricas 6 Primitivas. Cálculo integral 7 Números complexos Propostas de Resolução Caderno Prático – Novo Espaço A 12 Unidade 1 Cálculo combinatório1...

Description

Índice Caderno Prático 1 Cálculo combinatório

2

2 Probabilidades

7

3 Funções reais de variável real

12

4 Funções exponenciais e logarítmicas

17

5 Funções trigonométricas

24

6 Primitivas. Cálculo integral 7 Números complexos

30

33

1

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12

Unidade 1 Cálculo combinatório

1. Propriedades das operações entre conjuntos PÁG. 4

1. 1.1. A = {− 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3}

b) B ∩ (A ∪ P) = {A3 , A5 , A7 , P3 , P5} e (B ∩ A) ∪ (B ∩ P ) = {A3 , A5 , A7 , P3 , P5}

A ∪ B) = ‾ A ∪ (A ∪ B) = ‾ A ∪ B = ]2 , 5 ] 5. A‾ ∩ ( ‾ PÁG. 6

6. 6.1. A ∩ B = {4 , 8} a) ‾

B = {1 , 2 , 3}

C = {− 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3}

1.2. a) Verdadeiro. (Repara que B ⊂ A .)

b) A ∪ B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}

b) Falso. (Repara que, por exemplo, − 2 ∈ C e − 2 ∉ B .) c) Verdadeiro. (Repara que A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} .

Daqui resulta que A ∩ B ⊂ A .)

d) Falso. (Repara que, por exemplo, 0 ∈ C e 0 ∉ B . Então, 0 ∉ B ∩ C .)

‾ ∩ C = {2 , 4 , 6 , 8} c) A

d) C \ A = C ∩ ‾A = {}

e) B \A‾ = B ∩ A = {2 , 6}

A ∪‾ B=‾ A ∩ B = {4 , 8} f) ‾

6.2.

B = {b , c , e}

2.2. A ∩ B‾ = {a , d , f} 3. C ∩ ( A ∪ B) = (C ∩ A) ∪ ( C ∩ B) = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} PÁG. 5

4. 4.1. A = {A2 , A3 , A5 , A6 , A7} ; P = {P3 , P5 , P8} ; V = {V1 , V2 , V3 , V4 , V6 , V9} ;

B = {A3 , A5 , A7 , P3 , P5 , V1 , V3 , V9} e

C = {A2 , A6 , V2 , V4 , V6 , P8} .

4.2. a) A ∩ C = {A2 , A6} b) V ∩ ‾B = V ∩ C = {V2 , V4 , V6} c) C‾ ∪ P = {A3 , A5 , A7 , P3 , P5 , P8 , V1 , V3 , V9} d) A \ B = A ∩ B‾ = {A2 , A6 }

‾ C∪A

x ∈ A ∧ x ∈ B}

●

●

{x : x ∈ A‾ ∧ x ∈ B}

●

●

‾ A∩B

{x : x ∈ A‾ ∨ x ∈ C}

●

●

A∩B

{x :

2. 2.1.

7. 7.1. A × C = {(a , e ) , ( a , f) , (b , e) , ( b , f) , ( c , e) , ( c , f )}

7.2. A × (B × C) = { (a , e) , (b , e ) , ( c , e)}

7.3. (B \ C) × A = {(c , a) , (c , b ) , ( c , c) , (d , a ) , ( d , b) , ( d , c )}

8. (x , y) ∈ A × C ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B . Mas, x ∈ A ⇒ x ∈ B e y ∈ C ⇒ y ∈ D .

Se x ∈ B ∧ y ∈ D então (x , y) ∈ B × D . Conclui-se que ( A × C) ⊂ (B × D ) .

4.3. a) P A

A2 P8 A6 A3 P3 A5

P5

A7

V3

V9

V1

B

2

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12

2. Introdução ao cálculo combinatório PÁG. 7

9. 9.1. A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12} e B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

#( A × B) = #A × #B = 12 × 6 = 72 .

Podem escrever-se 72 números diferentes.

9.2. B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e C = {10 , 11 , 12} #( C × B ) = #C × #B = 3 × 6 = 18 .

Podem escrever-se 18 números de três algarismos.

9.3. A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12}

e D = { 2 , 4 , 6}

#( D × A) = #D × #A = 3 × 12 = 36 .

Podem escrever-se 36 números pares.

9.4. E = {5} e F = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } #( E × F) = #E × #F = 1 × 9 = 9 .

Podem escrever-se 9 números de dois algarismos e múltiplos de 5 .

Unidade 1 Cálculo combinatório

13. 13.1. X = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} ;

Y = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} e Z = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}

# (X × Y × Z) = 5 × 10 × 5 = 250 . Há 250 pontos.

13.2. X ′ = {1 , 2 , 3 , 4} ; Y ′ = {9} e Z ′ = {1 , 2 , 3 , 4} # (X ′ × Y ′ × Z ′) = 4 × 1 × 4 = 16 . Há 16 pontos. PÁG. 9

14. 4 14.1. A′3 = 4 3 = 64

14.2. 4A′5 = 4 5 = 1024 15. O total de números da listagem do Luís é dado por: 9 × A′ 3 = 9 × 103 = 9000 O total de números da listagem da Joana é dado por: 9 × 10A′ 2 = 9 × 102 = 900 10

9000 − 900 = 8100 . A listagem do Luís tem mais 8100 números do que a listagem da Joana.

16. 26A′2 × 10A′4 = 26 2 × 104 = 6 760 000

Há 6 760 000 passwords diferentes.

10. 10.1. N

V 11

17. 3A′4 = 3 4 = 81 . Há 81 respostas diferentes possíveis.

12 5

PÁG. 10

18. Há seis clipes diferentes para ocupar seis “lugares”. 10.2. 28 − 12 = 16 . Há 16 alunos que praticam apenas uma das duas modalidades. PÁG. 8

O número total de sequências é: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

19. 2! × 6! = 2 × 720 = 1440 .

11. M = {alunos que têm Matemática} ;

Há 1440 sequências diferentes.

#( M ∪ F ) = 30 − 2 = 28 #( M ∪ F ) = #M + #F − # (M ∩ F ) ⇔ ⇔ 28 = 25 + 12 − # (M ∩ F ) ⇔ # (M ∩ F ) = 9

20. 20.1. Começa em rapaz (R) seguido de menina (M):

F = {alunos que têm Física }

Há 9 alunos que têm Matemática e Física.

12. 12.1. A = {rapazes que fazem parte do clube de teatro } ; B = {raparigas que fazem parte do clube de teatro } ; #A = 5 ; #B = 6 e # (A × B) = 5 × 6 = 30 .

Há 30 escolhas possíveis.

12.2. 4 × 6 = 24 .

Excluindo o Bernardo, há 24 escolhas possíveis.

R M R M R M

3! × 3!

Ou começa em menina (M) seguida de rapaz (R): M R M R M R 3! × 3! Número total de maneiras para a distribuição de lugares: 3! × 3! + 3! × 3! = 72

20.2. Começa em rapaz (R) seguido de menina (M): R M R M R

3! × 2!

Não é possível começar em menina. Repara que: M R M R R Número total de maneiras para a distribuição de lugares: 3! × 2! = 12

12.3. 1 × 6 = 6 . Se o Bernardo é escolhido há 6 possibilidades de escolha.

3

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12

21. (n + 1) ! − 2n! n! (n + 1 − 2 ) 21.1. __________ = 5 ⇔ _________ = 5 ⇔ 3n! ⇔ n − 1 = 15 ⇔ n = 16

3n!

( 2n) ! (2n + 1 ) (2n + 1 ) ! 21.2. _______ = 16 − n ⇔ ___________ = 16 − n ⇔ (2n )! (2n ) ! ⇔ 2n + 1 = 16 − n ⇔ n = 5

Unidade 1 Cálculo combinatório

PÁG. 13

28. 28.1. a) 7! = 5040 b) 4A 2 × 5! = 1440 c) Há quatro rapazes mais um grupo de três raparigas.

PÁG. 11

22. 10! 22.1. 10A4 = _______ = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 ( 10 − 4)!

9! 9! 22.2. 1 × 9A 3 = ______ = ___ = 9 × 8 × 7 = 504 (9 − 3 ) ! 6!

Permutações destes “cinco elementos”: 5! Permutações dos elementos do grupo das três raparigas: 3! 5! × 3! = 720

d) Há dois grupos, um de quatro rapazes e outro de três raparigas. 2! × 4! × 3! = 288

5! 22.3. 5A 4 = ______ = 5 × 4 × 3 × 2 = 120 (5 − 4 )!

28.2. O grupo pode ter duas raparigas e três rapazes ou

23.

3

23.1.

25! 25! A3 = _______ = ____ = 25 × 24 × 23 = 13 800 ( 25 − 3)! 22!

25

21! 21! 23.2. 21A4 = _______ = ____ = 21 × 20 × 19 × 18 = ( 21 − 4)! 17! = 143 640

24. 30! = ____ 30! = 30 × 29 × 28 × 27 × 26 = 24.1. 30A5 = _______ ( 30 − 5)! 25! = 17 100 720

10! = 14 × 13 × 10 × 9 × 8 = ____ × ____ 24.2. A2 × A 3 = 14! 12! 7! = 131 040 14

10

três raparigas e dois rapazes. C2 × 4C3 + 3C 3 × 4C 2 = 12 + 6 = 18

29. O algarismo dos milhares tem seis possibilidades. Das restantes três posições, escolhem-se duas para serem ocupadas com o 7 . A posição restante pode ser ocupada por qualquer algarismo diferente de 7 . 6 × 3C 2 × 9 = 162 PÁG. 14

30. 30.1. 9A 3 = 504 30.2. 1 × 10 × 6 = 60 30.3. 1 × 10 × 1 × 1 = 10

PÁG. 12

25. 28! 25.1. 28C5 = _________ = 98 280 5! ( 28 − 5) !

26! 25.2. 26C3 = _________ = 2600 3! ( 26 − 3) ! 18! = 8568 25.3. 18C5 = _________ 5! ( 18 − 5) !

26. 8! = 28 26.1. 8C 2 = ________ 2! ( 8 − 2) ! 8! 26.2. 8C 3 = ________ = 56 3! ( 8 − 3) !

27. 27.1. 9C 4 × 6C 2 = 126 × 15 = 1890 27.2. C 6 + C 5 × C1 + C4 × C2 = 9

9

6

9

6

= 84 + 126 × 6 + 126 × 15 = 2730

31. 31.1. 10A′ 4 × 5A′2 = 104 × 5 2 = 250 000 31.2. 10 × 4C 2 × 5A2 = 1200 31.3. Tópicos I: 3 – número de possibilidades para o algarismo dos milhares (5 , 7 ou 9) . 4 A 3 – número de possibilidades de escolher três nos restantes quatro números ímpares. 5

A 2 – número de possibilidades de escolha das duas vogais.

II: 5 A4 – total de números de quatro algarismos todos ímpares e diferentes. 2 × 4A3 – total de números de quatro algarismos ímpares diferentes e menores que 4000 . 5 A2 – número de possibilidades de escolha das duas vogais.

4

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12 PÁG. 15

32. 32.1. 9A 4 × 5C 3 = 2520 × 10 = 25 200 32.2. 3 × 6A 4 = 3 × 360 = 1080

32.3. 7C 3 × 4! = 35 × 24 = 840 33. 33.1. a) 6A5 = 720 b) 2 × 3! × 3A 2 = 72 c) 3 × 3 × 2 × 5! = 2160

33.2. 5A′2 × 9A′3 × 3A′5 = 5 2 × 9 3 × 35 = 4 428 675

Unidade 1 Cálculo combinatório

3. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton PÁG. 16

34. 34.1. nC0 + nC1 = 16 ⇔ 1 + n = 16 ⇔ n = 15

34.2. 15C 2 = 105

34.3. Na linha seguinte há 17 números. O maior é o que ocupa a posição central.

C8 = 12 870

16

n n 35. Cn−1 = C1 = n = 16

Na linha anterior, o valor de n é 15 e a soma de todos os elementos é igual a 2 15 = 32 768 .

36. 1365 + b = 4368 ⇔ b = 3003 ; c + 4368 = 6188 ⇔ c = 1820 ; a + 1365 = 1820 ⇔ a = 455 a = 455 ; b = 3003 e c = 1820

37. 37.1. nC2 = 300 ∧ nC0 + nC1 + nC 2 = 326 ⇔ 1 + n + 300 = 326 ⇔ n = 25

37.2. 26C 24 ;

26

C25 ;

26

C26 , ou seja,

26

C2 ;

26

C1 ;

26

C0

325 ; 26 ; 1

37.3. 224 = 16 777 216 PÁG. 17

38. n2 + n = 78 ⇔ n 2 + n − 156 = 0 ⇔ 38.1. un = 78 ⇔ _____ ⇔ n = 12

2

O número 78 aparece na 14.a linha e, nessa linha, tem-se: 13C 0 13C1 … 13C13

Nesta linha há 14 elementos.

38.2. 2 ( n + 1) + n + 1 n2 + n = 17 ⇔ a) u n+1 − un = 17 ⇔ ___________ − _____ ⇔ n + 1 = 17 ⇔ n = 16 u17 − u16 = 17

2

2

O termo u16 pertence à 18.a linha do Triângulo de Pascal. O antepenúltimo elemento dessa linha é 17 C 15 =17C 2 = 136 .

b) O maior dos dois termos é u 17 e pertence à 19.a linha do Triângulo de Pascal.

A linha seguinte é a 20.a, ou seja, (20 elementos)

19

C0

C1 …

19

19

C19 .

A soma dos 10 primeiros elementos é igual a 2 19 ___ = 262 144 . 2

5

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12

Unidade 1 Cálculo combinatório

PÁG. 18

39. n = 16 C 5 +16C 9 = 4368 + 11 440 = 15 808

16

40. 3 3 k 40.1. (1 − 2x) = ∑ 3Ck 1 3−k (− 2x) = 1 − 6x + 12x 2 − 8 k=0

x3

5

k 40.2. (x + x 2) = ∑ 5C k x5−k ( x2) = 5

k=0

= x5 + 5x6 + 10x 7 + 10x8 + 5x 9 + x 10

41. 6 6 2 = ∑ 41.1. ( x − __ ) x 6−2k

x

k=0

6

k

6

6 2 C k x6−k (− __ = ∑ (− 2 ) C k x) k = 0 k

O termo independente de x resulta quando 6 − 2k = 0 ⇔ k = 3 .

41.2. O termo é − 160 . 41.3. 6 − 2k = 4 ⇔ k = 1 41.4. O termo é − 12x 4 . 42.

6 − 3k 42.1. _____ =0⇔k=2.

2 O termo independente de x é: 6C2 x 0 = 15 .

42.2. 28x 42.3. 66 42.4. n = 7

6

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12

1. Espaços de probabilidade PÁG. 19

1. E = {M , B , C} 𝒫 (E) = {{} , { M} , {B} , {C } , {M , B} , {M , C} , {B , C} , {M , B , C}}

Unidade 2 Probabilidades

5. 5.1. 1 a) __ 3

b) (azul, azul, vermelha ) ou ( vermelha, azul, azul ) 2 × 1 × 1 + 1 × 2 × 1 __ 2 __________________ = 3×2×1 3

2. 2.1. a) Seja Ω o espaço amostral.

5.2. a) (azul, azul, azul ) ou (vermelha, vermelha, vermelha )

b) Seja 𝒫 (Ω) o espaço de acontecimentos. #𝒫 (Ω ) = 29 = 512

b) (azul, vermelha, vermelha ) ou

Ω = {A , B , C , D , E , F , G , H , I}

2.2. a) M = { C , D , G , H} b) R ∪ T

8 ___ 9 __1 2 × 2 × 2 ________ 1 × 1 × 1= ___ 1 = ___ ________ = + + 3 × 3 × 3 3 × 3 × 3 27 27 27 3 ( vermelha, azul , vermelha) ou (vermelha, vermelha, azul )

3 × (2 × 1 × 1) __ 2 _____________ = 3×3×3 9

C 1 × C1 _____ 2 2 × 1= __ = 5.3. ________ 3 2

1

c) R‾ ∩ M

3

C2

R ∪ T = {C , G , H} ∪ {C , H} = {C , G , H}

3

PÁG. 22

‾ ∩ M = {A , B , D , E , F , I} ∩ {C , D , G , H} = {D } R PÁG. 20

3. 3.1. Ω = {Amarela 1 , Verde 2 , Vermelha 3 , Vermelha 4 , Amarela 5 , Amarela 6 , Verde 7 , Verde 8}

3.2. a) C e D . Pois C ∩ D = { } e C ∪ D ≠ Ω . b) A e E . Pois A ∩ E = {} e A ∪ E = Ω . 3.3. a) A ∩ B é um acontecimento elementar; A ∩ B = {Verde 2} . #A ∩ B = 1

b) C ∩ E é um acontecimento composto;

C ∩ E = {Amarela 1 , Amarela 5} . #C ∩ E > 1

c) A ∪ B não é o acontecimento certo.

“Amarela 1” ∉ A ∪ B . A ∪ B é diferente do espaço amostral. B ∪ D = {Amarela 1 , Amarela 6 , Verde 8} 3.4. ‾B ∩ D‾ = ‾

6. 6.1. 2 __1 a) ___ = 10

5

5 __1 b) ___ = 10 2 3 c) ___ 10

6.2. a) Ambas vermelhas ou ambas amarelas: 4×4 13 6×6 _______ + _______ = ___ 10 × 10 10 × 10 25

b) A primeira com número par e a segunda com número ímpar ou a primeira com número ímpar e a segunda com número par: 5×5 1 5×5 _______ + _______ = __ 10 × 10 10 × 10 2

6.3. C 1 × C2 ____ 60 __1 = = a) ________ 10 4

6

120

C3

2

C 3 + C 3 ____ 24 __1 = = b) ________ 10 4

PÁG. 21

4. 4 C 2 ___ 6 = __3 4.1. p = ___ = 5 C3

10

5

4

3 4 4.2. p = ___ = ___ = __2 5

C

C3

3

10

C 1 ___ 3 = 4.3. p = ___ 5 C 3 10

5

6

120

C3

5

7. 5 C 3 + 2 × 4C3 ____ 18 7.1. ___________ = 15 C3

13

455

455 − 286 455

13 3 = __________ =___ 7.2. 1 − ____ 15 C

C3

35

7

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12 PÁG. 23

PÁG. 25

8. 8.1. a) O acontecimento “escreve um número múltiplo de 5” é impossível. A probabilidade é 0 . A2 − 2 __4 __2 b) _______ = = 3 6 3 A2 3

menor que 87 . Então, a probabilidade pedida é igual a 1 .

8.2. Na figura, o número representado por “?” pertence ao conjunto {2 , 4 , 6} . Se o número é 2 , a probabilidade de escrever um 3 A 2 − (2 + 1 ) __1 número maior que 25 é ___________ = . 3 2 A2 A soma dos números das três bolas é 1 + 2 + 8 = 11 .

9.

12. 12.1. a) P (A ∩ ‾B) = P (A) − P (A ∩ B)

Ω = ‾B ∪ B , então A ∩ Ω = A ∩ (‾ B ∪ B) , ou seja,

A = (A ∩ ‾ B) ∪ (A ∩ B) .

c) Nas condições apresentadas qualquer número é

B) ∪ (A ∩ B )) . Assim, P(A) = P ((A ∩ ‾

‾) + P ( A ∩ B) , ou seja, Daqui resulta que P ( A) = P (A ∩ B B) = P (A ) − P (A ∩ B) . P (A ∩ ‾

A ∪ B ) − P ( A ∩ B) = P (‾ A) b) P (‾

‾ ∪ B ) = P (A ‾) + P (B) − P( ‾ A ∩ B) P (A

‾ ∪ B ) = P (A ‾) + P (B) − ( P (B ) − P ( A ∩ B)) = P (‾ P (A A) + P

(A ∩ B)

A ∪ B ) − P (A ∩ B) = P (‾A) . Daqui resulta que P (‾

12.2. P (‾A) = P (A‾ ∪ B) − P (A ∩ B) ‾) = 0,65 − 0,1 = 0,55 P (A

3

2 × ( C 2 × 1) 6 ___ 1 9.1. ___________ = ___ = 6! 60 10 _______ 3! × 2!

13. 13.1. a) P (A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P (A ∩ B ) P (A ∪ B ) = 0,4 + 1 − 0,7 − 0,2 = 0,5

4! 3 C 2 × _______ 3 ! ___ 12 __1 ___________ = 9.2. = 6! 60 5 _______ 3! × 2!

b) P (A ∩ ‾B)

P (A ∩ ‾ B) = P (A ) − P (A ∩ B) = 0,4 − 0,2 = 0,2

PÁG. 24

A∩‾ A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0,5 = 0,5 B) = P (‾ 13.2. P (‾

10. 1 1 = ___ 10.1. ___ 4 ! 24

‾) ≠ 0 , os acontecimentos ‾ A∩B Como P ( ‾ A e ‾ B são compatíveis.

3 × 3 ! = __ 10.2. ______ 4!

3 4

PÁG. 26

#E #T 3 11. ___ = 0,75 ⇒ #E = 36 ; ___ = __ ⇒ #T = 18 ; 48

48

48 − ( 36 + 18 ) = 6 E

8

6

10

A′3 ×

A

A′5

12 500 000

3 × 4A′ × 5C × 9A

A′3 × A′5 241 920 = __________ ≈ 0,019 . 12 500 000 Aproximadamente, 2% .

6 __1 11.1. P ( T ∩ E ) = ___ =

2

12 500 000

8

12 __1 11.2. P (T ∩ ‾E) = ___ = 48

A ×

5

3 5 1 814 400 14.1. _________ = ___________ ≈ 0,145 . 5 10

3 × 4 × 10 × 504 2 2 3 14.2. ________________ = ________________ = 5 10

12

48

14.

Aproximadamente, 14,5% .

T 30

Unidade 2 Probabilidades

4

30 __ 5 11.3. P ( E\T) = P (E ∩ ‾T) = ___ = 48

8

15. 15.1. 5 ! = 120

1 15.2. ____ ≈ 0,008 .

120 Aproximadamente, 0,008 .

8

Propostas de Resolução

Caderno Prático – Novo Espaço A 12

16. 2 ! 4 ! ___ 1 16.1. ____ = 6!

PÁG. 29

21. Número total de caminhos possíveis:

15

C 5 × 5C5 = 252

10

5 ! 2 ! __1 a) ____ = 6!

3

Número de caminhos que passam pela casa da Luísa:

1 3 ! 3 ! 2 ! = ___ b) ______ 6! 10

4 6 2 3 ( C2 × C2 ) × ( C 3 × C3) = 6 × 20 = 120

120 132 11 Seja p a probabilidade pedida: p = 1 − ____ = ____ = ___ 252 252 21

4 × 5 ! __2 c) _____ = 6!

Unidade 2 Probabilidades

3

22.

PÁG. 27

22.1. Para a linha ter 11 elementos, o número da bola

17. 17.1.

deve ser igual a 2 10 = 1024 . 1. A probabilidade é __ 4

5 ! 3 ! = __1 a) ____ 7!

7 4! 4! 4 31 ____ b) 1 − = 1 − ___ = ___ 35 35 7!

n 22.2. C2 < 20 . Tem-se n < 7 . O número da bola deve

ser menor que 27 = 128 . __ . A probabilidade é 1 2

17.2. 6 ! 2 ! __2 a) ____ = 7!

23. 2 × (1 + n) = 38 ⇔ n = 18 (a linha tem 19 elementos)

7

2

2 ! 5 ! ___ 1 b) ____ =

170 2 = ____ 23.1. 1 − ____ 19

18.

23.2. Há nove pares de elementos iguais.

7!

C

21

C2

7! ______ 3 ! 2 ! 2 ! __ 7 ! __1 ______ 18.1. = = 8! 8! 8 ______ 3! 2! 2!

171

9 ___ 9 = ____ 1 ____ = 19 C 2 171 19

6

C × 3C C 3 × C 2 × C2

60 5 3 2 18.2. ____________ = _____ = ___ 8 5 3 1680

14

4 !3 !2 !2 ! ___ 4 ! = ________ 1 18.3. ______ =...