PEC 2 señales y sistemas II con solución PDF

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Prueba de Evaluación Continua_2 (PEC2)PresentaciónEsta PEC consta de 7 problemas que evalúan los conceptos adquiridos en el módulo 2.Competencias Conocimiento de materias básicas i tecnologías, que capaciten para el aprendizaje de nuevos métodos y nuevas tecnologías, y doten al estudiante de una gra...

Description

81509 Señales y Sistemas II · PEC2 · 2018-19 · Programa: Grado en Tecnologías de Telecomunicaciones

Prueba de Evaluación Continua_2 (PEC2) Presentación Esta PEC consta de 7 problemas que evalúan los conceptos adquiridos en el módulo 2.

Competencias 1. Conocimiento de materias básicas i tecnologías, que capaciten para el aprendizaje de nuevos métodos y nuevas tecnologías, y doten al estudiante de una gran versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones. 2. Comprensión y dominio de los conceptos básicos de sistemas lineales y las funciones i transformaciones relacionadas, y su aplicación para la resolución de problemas propios de la ingeniería. 3. Capacidad para analizar, codificar, procesar i transmitir información multimedia empleando técnicas de procesamiento analógico i digital de la señal.

Objetivos 1. Conocer la definición de la TFSD así como su relación con la transformada Z 2. Aprender a calcular la TFSD de las señales típicas aperiódicas de más utilidad en el ámbito de procesado de señal. 3. Conocer y aplicar convenientemente las principales propiedades matemáticas de la TFSD. 4. Calcular la TFSD de señales discretas periódicas extendiendo así el uso de esta útil herramienta de cálculo. 5. Aplicar los conocimientos y propiedades de la TFSD para la caracterización y diseño de sistemas LIT digitales.

Descripción de la PEC a realizar Resolver los problemas propuestos

Recursos Apuntes y problemas resueltos del módulo 2 que se encuentran en el foro.

Formato y fecha de entrega Se entregará editada y/o escaneada en un único archivo en formato PDF, con el siguiente nombre: apellidos_nombre_PEC2.pdf

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! 1!

81509 Señales y Sistemas II · PEC2 · 2018-19 · Programa: Grado en Tecnologías de Telecomunicaciones

Ejercicio(1((1(punto)( Calcula! la! transformada! de! Fourier! de! las! siguientes! señales! discretas! usando! la! definición! de! la! TFTD:!

⎛ 1⎞ a)! x[ n] = ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

n−2

u[n + 2] !

! ∞

⎛1⎞ X (e ) = ∑ ⎜ ⎟ −∞ ⎝ 4 ⎠

n−2

jw

∞

⎛ 1⎞ = ∑⎜ ⎟ m=0 ⎝ 4 ⎠

u[n + 2]e

− jwn

∞

⎛ 1⎞ =∑ ⎜ ⎟ n=−2 ⎝ 4 ⎠

−4

m−4

e

n−2

e− jwn =

m

∞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ e jw2 ∑ ⎜ ⎟ e− jwm = ⎝ 4⎠ m=0 ⎝ 4 ⎠

− jw( m−2 )

!

e jw2 = 256 1 1− e− jw 4

X (e jw ) = 256

e jw2 1 1− e− jw ! 4

La!serie!converge!porque!

1 − jw 1 e = < 1! 4 4

! b)! x[ n] = 3δ [n − 5] + 2δ [n − 2] − 2δ [n + 2] + 3δ [n + 5] ! ! ∞

X (e jw ) = ∑ x[ n]e− jwn = 3e− jw5 + 2e− jw 2 − 2e jw2 + 3e jw5 = −∞

3.2(

e

jw5

e jw2 − e− jw2 + e− jw5 ) − 2.2 j( ) = 6cos(5w) − 4 j sin(2w) 2 2

!

X (e jw ) = 6cos(5w) − 4 j sin(2w) ! ! ! Ejercicio(2((1(punto)(

⎛ 1⎞

n

Considera!la!señal!! x[ n] = ⎜ ⎟ u[n] !y!su!transformada!de!Fourier!!! X (e jw ) = ⎝ 2⎠

1 ! 1 − jw 1− e 2

Utilizando!propiedades!de!la!TFTD!calcula!la!transformada!de!Fourier!de!las!siguientes!señales:!

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!

2!

81509 Señales y Sistemas II · PEC2 · 2018-19 · Programa: Grado en Tecnologías de Telecomunicaciones

a)! x1[n] = e

π j n 2

x[ n] + nx[n] !

→ X (e jw ) ! Si! x[ n]←⎯ nx[n]←⎯ →j

e

jw0 n

∂ X (e jw ) ∂w ,!!

x[ n]←⎯ → X (e

j( w− w0 )

)!

Por!lo!tanto!

x1[n] = e

π j n 2

x[ n] + nx[n]←⎯ → X (e

x1[n]←⎯ → X (e

X (e

j( w− w0 )

)=

j ( w− w0 )

j ( w− w0 )

)j

∂ X (e jw ) ! ∂w

∂ X (e jw ) )j ∂w !

1 ! 1 1− e− j( w− w0 ) 2

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ∂ X (e jw ) −1 e− jw ⎟ ⎛ − 1 ⎞ (− j)e− jw = 1 j = j⎜ 2 ⎜ 2 ! ⎟ 2⎛ ∂w ⎜⎛ 1 − jw⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 1 − jw⎞ ⎜ ⎜ 1− e ⎟ ⎟ ⎜⎝ 1− 2 e ⎟⎠ ⎠ ⎠ 2 ⎝⎝

x1[n]←⎯ →

1 1 − j( w−2π ) 1− e 2

+

e− jw 1 ! 2 ⎛ 1 − jw ⎞ 2 ⎜⎝ 1− 2 e ⎟⎠

! b)! x2 [n] = x[− n] + x[n]∗δ [n − 2] !

→ X (e jw ) ! Si! x[ n]←⎯

x[− n]←⎯ → X (e− jw ) =

1 ,!! 1 1− e jw 2

→ e− jw2 x[ n]∗ δ [ n − 2] = x[ n − 2]←⎯

1 ! 1 1− e− jw 2

por!lo!tanto!!

x2 [n]←⎯ →

1 1 + e− jw2 ! 1 1 1− e jw 1− e− jw 2 2

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!

3!

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→ x2 [n]←⎯

1− e− jw + e− jw2 ! ⎛ 1 jw⎞ ⎛ 1 − jw ⎞ ⎜⎝ 1− 2 e ⎟⎠ ⎜⎝ 1− 2 e ⎟⎠

! Ejercicio(3((1,5(puntos):( a)!Calcula!la!transformada!de!Fourier!inversa!de!

X (e jw ) = cos2 (w) − jwn

→e 0 Sabemos que δ [n − n0 ]←⎯ Expresamos el coseno en términos de exponenciales 2

⎞ ⎛1 1 1 1 1 X (e ) = cos (w) = ⎜ e jw + e− jw⎟ = + e j 2 w + e− j 2 w 4 2 2 4 ⎠ ⎝2 2

jw

Por lo tanto, calculando la transformada inversa de cada término:

1 1 1 x[ n] = δ [n] + δ [n + 2] + δ[n − 2] 4 4 2 b)!Calcula!la!transformada!de!Fourier!inversa!de!un!pulso!rectangular!!

⎧ 1 w ≤W ⎪ ! X (e ) = ⎨ ⎪⎩ 0 W < w < π jw

Dibuja!aproximadamente!x![n]!per!W =

π ! 4 W

1 x[ n] = 2π

x[0] =

1 1 jwn 1 W jwn jw jwn e ∫− π X (e )e dw = 2π ∫−W e dw = π π

2

jn

=

sinWn ! πn

−W

1 π 1 W W X (e jw )e jw0 dw = ∫ 1dw = ! ∫ π − −W 2π 2π π

! ! ! ! ! ! ! ! !

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!

4!

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Ejercicio(4((1,5(puntos)( a) Determina!los!coeficientes!del!desarrollo!en!serie!de!Fourier!de!la!secuencia!periódica!x[n]!de!la! figura.!Cuántos!coeficientes!distintos!hay?! b) Escribe!la!expresión!de!la!serie!de!Fourier!de!la!señal!x[n]! c) Representa!en!dos!figuras!el!modulo!(fig1)!y!la!fase!(fig2)!de!los!coeficientes.! d) Calcula!el!valor!de!los!siguientes!coeficientes! a23 , a−15 , a18 !

( a) x[n]!es!la!extension!periódica!de![0,!1,!2,!3],!con!período!fundamental!N=4! Por!lo!tanto,!la!frecuencia!fundamental!es! w0 =

2π ! 4

Los!coeficientes!de!Fourier!son!

a0 =

1 3 1 3 x[ n] = (0 +1+ 2 + 3) = ! ∑ 4 2 4 n=0

a1 =

1 3 1 1 1 3 1 − jw0 n x[n](− j) n = (0 − j − 2 + j3) = − + j ! = x[n]e ∑ ∑ 4 2 2 4 n=0 4 n=0

a2 =

1 1 3 1 3 1 − jw0 2n x[n](− j)2n = (0 −1+ 2 − 3) = − ! x[n]e = ∑ ∑ 4 2 4 n=0 4 n=0

a3 =

1 3 1 3 1 1 1 x[n]e− jw0 3n = ∑ x[n](− j)3n = (0 + j − 2 − j3) = − − j ! ∑ 4 n=0 4 n=0 4 2 2

Hay!cuatro!coeficientes!distintos!

a0 =

3 2

a1 = −

1 1 +j 2 2

a2 = −

1 2

1 1 a3 = − − j ! 2 2

! b)!Escribe!la!expresión!de!la!serie!de!Fourier!de!la!señal!x[n]! 3

x[ n] = ∑ ak e jk (2 π/4) n = a0 e j0(2π /4) n + a1e j(2π /4) n + a2 e j 2( 2π /4) n + a3e j3(2π /4) n = k=0

3 1 1 1 1 1 = e j0(2 π /4) n + (− + j)e j(2 π /4) n + (− )e j 2(2π /4) n + (− − j)e j3(2 π /4) n = ! 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 = + (− + j)e j( π /2) n + (− )e jπ n + (− − j)e j(3 π/2) n 2 2 2 2 2 2

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!

5!

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c)!!Fase!representada!en!el!intervalo![− π ,π ] !

! ! d)!!

1 1 a23 = a4 x5+3 = a3 = − − j 2 2 1 1 a−15 = a−4 x4+1 = a1 = − + j ! 2 2 1 a18 = a4 x4+2 = a2 = − 2 ! Ejercicio(5((1(punto)( Para!la!siguiente!señal:!

x[ n] = cos(

2π π n)sin( n) ! 3 2

a)!Calcula!su!período!fundamental! b)!Calcula!los!coeficientes!del!desarrollo!en!serie!de!Fourier! c)!Escribe!la!expression!del!desarrollo!en!serie!de!Fourier!! ! a) Período:!

cos(

2π n) período!3! 3 !

2π π sin( n) = sin( n) período!4! 2 4 ! x[n]!tiene!período!fundamental!mcm(3,4)=12! ! b)!Coeficientes!del!desarrollo!en!serie!de!Fourier:!

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!

6!

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x[ n] = cos(

a7 =

1 j 2π n − j 2π n 1 j 2 π n − j 2π n π 2π n)sin( n) = (e 3 + e 3 ) (e 4 − e 4 ) = 3 2 2 2j

=

π 2π −j n −j n j 1 j 23π n j2π n (e e − e 3 e 2 + e 4j

=

1 (e 4j

j

7π n 6

j 1 =− 4j 4

−e

π j n 6

−j

+e

a1 = −

π n 6

−e

j 1 = 4j 4

−j

2π n 3

7π n 6

e

π j n 2

−j

−e

2π π n −j n 3 2

e

)= !

)=

1 e 4j

a−1 = a11 =

j

2π 7n 12

−

1 e 4j

j 1 =− 4j 4

j

2π n 12

+

1 e 4j

a−7 = a5 =

−j

2π n 12

−

1 e 4j

−j

2π 7n 12

j 4!

! c)!Desarrollo!en!serie!de!Fourier!

j j 2π n j j 2π 5n j j 2π 7 n j j 2π 11n x[ n] = e 12 + e 12 − e 12 − e 12 ! 4 4 4 4 ( ( Ejercicio(6((2(puntos)( Un!sistema!lineal,!invariante!y!causal!está!descrito!por!la!siguiente!ecuación!en!diferencias:(

y[ n] −

3 1 y[n −1] + y[n − 2] = x[n] ( 4 8

a)Determina!la!respuesta!frecuencial!del!sistema! H (e jw ) ! b)Encuentra!la!respuesta!al!impulso!del!systema! h[n] !

⎛ 1⎞

n

c)Encuentra!la!salida!del!sistema!para!la!señal!de!entrada! x[ n] = ⎜ ⎟ u[n] ! ⎝ 2⎠ ! ! a)!Calculamos!la!transformada!de!Fourier!de!la!ecuación!

3 1 Y (e jw ) − Y (e jw )e− jw + Y (e jw )e−2 jw = X (e jw ) 4 8 3 1 Y (e jw )(1− e− jw + e−2 jw ) = X (e jw ) ! 8 4

H (e jw ) =

Y (e jw ) = X (e jw )

1 1 3 1− e− jw + e−2 jw 8 4

=

1 1 − jw 1 (1− e− jw )(1− e ) 4 2

(

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!

7!

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H (e jw ) =

1 1 1 (1− e− jw )(1− e− jw ) 4 2

(

( b) Calcula!h[n]!

H (e jw ) =

1 1 1 (1− e− jw )(1− e− jw ) 4 2

=

2 −1 ! + 1 − jw 1 − jw (1− e ) (1− e ) 2 4

Calculando!la!transformada!inversa!de!Fourier!de!cada!término! !

⎡ ⎛ 1 ⎞ n ⎛1 ⎞n ⎤ h[n] = ⎢2 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ u[n] ! ⎝ 4⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ !

⎛ 1⎞

n

1

! c)!La!transformada!de!Fourier!de!la!señal! x[ n] = ⎜ ⎟ u[n] es X (e jw ) = 1 ⎝ 2⎠ − jw ! 1− e

2

Trabajando!en!el!dominio!de!la!TF!

Y (e jw ) = X ( e jw )H ( e jw ) =

1 ! 1 − jw 1 − jw 1 − jw e ) (1− e )(1− e )(1− 2 4 2

Hay!que!calcular!la!TF!inversa!

1

C B A + + = 1 − jw 2 1 − jw 2 1 − jw 1 − jw 1 − jw (1− e )(1− e ) (1− e ) (1− e ) (1− e ) 4 2 2 2 4 ( 1 −2 2 = + + 1 − jw 1 − jw 1 (1− e ) (1− e ) (1− e− jw )2 4 2 2

Y (e jw ) =

=

n

n

n

⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 1⎞ y[ n] = ⎜ ⎟ u[n] − 2 ⎜ ⎟ u[n] + 2(n + 1) ⎜ ⎟ u[n] ( ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ! ! Ejercicio(7((2(puntos)( Considera!la!interconexión!de!sistemas!lineales!e!invariantes!de!la!siguiente!figura.!! a)Expresa!la!respuesta!frecuencial!del!sistema!completo!en!términos!de!las!respuestas!frecuenciales! de!cada!sistema!( H1 (e jw ), H 2 (e jw ), H 3 (e jw ), H 4 (e jw ) )!

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!

8!

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!

! !

h[n] = h1[n]∗( h2 [n] + h3[n]∗ h4 [n]) ! H ( e jw ) = H1 ( e jw )(H 2 ( e jw ) + H 3 ( e jw )H 4 ( e jw ))! ! b)!Encuentra!la!respuesta!frecuencial!si!

h1[n] = δ[n] + 2 δ [n − 2] + δ [n − 4] h2 [n] = h3[ n] = (0.2)n u[ n]

!!

h4 [n] = δ [n − 2] !

H1 (e jw ) = 1+ 2e− j 2 w + e− j 4 w = (1+ e− j 2 w )2 H 2 (e jw ) = H 3 (e jw ) =

1 1− 0.2e− jw

!

H 4 (e jw ) = e− j 2 w !

H (e jw ) = H1 (e jw )( H 2 ( e jw ) + H 3 ( e jw )H 4 ( e jw )) = 1 1 e− j 2 w = ! + (1+ e− j 2 w )2 − jw − jw 1− 0.2e 1− 0.2e (1+ e− j 2 w )3 1 − j2w (1+ e ) = = (1+ e− j 2 w )2 1− 0.2e− jw 1− 0.2e− jw

= (1+ e− j 2 w )2

H (e jw ) =

(1+ e− j 2 w )3 ! 1− 0.2e− jw

!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !

!

9!...