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ejercicios d elas propiedades de completez...

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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas

Propiedad de Completez Análisis matemático Prof. Ramírez Reyes Francisco

Equipo 4: Espinoza Godínez Diego Frank Marcial Mexicano Alexis Uriel Zamora García Moisés Zavala Leal Diego Miguel

5-. Encuentre el ínfimo y el supremo, si es que existen en cada uno de los siguientes conjuntos: (a)𝐀 ≔ { 𝐱 ∈ ℝ ∶ 𝟐𝐱 + 𝟓 > 𝟎 } 𝟐𝐱 + 𝟓 > 𝟎 𝟐𝐱 > 𝟓 −𝟓 −𝟓 𝐱> ( 𝟐 ,∞) 𝟐 −𝟓 𝐢𝐧𝐟(𝐀) = 𝟐

𝐬𝐮𝐩(𝐀) = 𝐧𝐨 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞 (b)𝐁 ≔ { 𝐱 ∈ ℝ ∶ 𝐱 + 𝟐 ≥ 𝐱𝟐 } 𝐱 + 𝟐 ≥ 𝐱𝟐 −𝐱 − 𝟐 ≤ −𝐱𝟐 𝐱𝟐 − 𝐱 − 𝟐 ≤ 𝟎 (𝐱 + 𝟏)(𝐱 − 𝟐) ≤ 𝟎 [−𝟏, 𝟐] 𝐱 = −𝟏 , 𝟐 𝐢𝐧𝐟(𝐀) = −𝟏 𝐬𝐮𝐩(𝐀) = 𝟐 (c)𝐂 ≔ { 𝐱 ∈ ℝ ∶ 𝟐𝐱 + 𝟓 > 𝟎 } 𝟏 𝐱< 𝐱 𝟐 𝐱 0 entonces existe 𝑆𝜀 ∈ 𝑆 tal que 𝑢 − 𝜀 < 𝑆𝜀 siendo 𝜀 un limite superior. Con lo anterior definnimmos lo siguiente: Un limite superior 𝑢 de un conjunto no vacio 𝑆 ⊑ ℝ es el supremo de 𝑆 si y solo si para cada 𝜀 > 0 exite un 𝑆𝜀 ∈ 𝑆 tal que 𝑢 − 𝜀 < 𝑆𝜀 . Lo demostramos de la siguiente manera: Si 𝑢 es un limite superior de 𝑆 que satisface la condicion establecida y si 𝑣 < 𝑢 entonces ponemos 𝜀 ≔ 𝑢 − 𝑣. Entonces 𝜀 > 0 , entonces existe 𝑆𝜀 ∈ 𝑆 tal que 𝑣 = 𝑢 − 𝜀 < 𝑆𝜀. Por lo tanto 𝑣 no es un limite superior de 𝑆 , y concluimos que 𝑢 = 𝑠𝑢𝑝𝑆 A la inversa suponga que 𝑢 = 𝑠𝑢𝑝𝑆 y sea 𝜀 > 0. Como 𝑢 − 𝜀 < 𝑢 entonces 𝑢 − 𝜀 no es un limite superior de 𝑆. Por lo tanto algun elemento de 𝑆𝜀 de 𝑆 debe de ser mayor que 𝑢 − 𝜀 , es deicr 𝑢 − 𝜀 < 𝑆𝜀 ....