Resolución de sistemas de ecuaciones a través del método Gauss-Jordan PDF

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Método de Gauss- Jordan

Herramientas Matemáticas I Álgebra

Resolución de sistemas de ecuaciones a través del método Gauss- Jordan El método de Gauss-Jordan consiste en partir de la matriz ampliada y, aplicando las operaciones elementales por filas sobre dicha matriz, se busca la matriz escalonada reducida de A. Luego, se analiza los rangos tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada y se aplica el Teorema de Rouche – Frobenius para caracterizar el tipo de soluciones. A continuación veremos algunos ejemplos simples. Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 3𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥+𝑦=2 { 2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 7 Partimos de la matriz ampliada del sistema y operamos por filas hasta obtener la matriz escalonada reducida de A: 0 3 1 1 [1 1 0 ⋮ 2] 2 3 3 7

Intercambiamos la f1 con f2 para lograr obtener el 1 (pivote): 1 1 0 2 [0 3 1 ⋮ 1] 2 3 3 7

Para obtener un 0 en la fila tres debajo del elemento pivote, realizamos la siguiente operación elemental, a saber, 𝑓3 = 𝑓3 + 𝑓1 . (−2): 𝑓1 2 1 1 0 𝑓2 [ 0 3 1 ⋮ 1] 𝑓 = 𝑓 + 𝑓1 . (−2) 0 1 3 3 3 3

2

Intercambiamos fila dos con fila tres para obtener el 1 en la segunda columna: 1 1 0

[0 1 3 ⋮ 0 3 1

2

3] 𝑓2 ↔ 𝑓3 1

Para obtener un 0 en la fila uno arriba del pivote, realizamos la siguiente operación elemental, a saber, 𝑓1 = 𝑓1 + 𝑓2 . (−2): 1 0 −3 [0 1 3 0 3 1

⋮

−1 𝑓1 = 𝑓1 + 𝑓2 . (−2) 𝑓2 3] 𝑓3 1

Para obtener un 0 en la fila 3 debajo del pivote, realizamos la siguiente operación elemental, a saber, 𝑓3 = 𝑓3 + 𝑓2 . (−3): 1 0 −3 [0 1 3 0 0 −8

⋮

𝑓1 𝑓2 3] −8 𝑓3 = 𝑓3 + 𝑓2 . (−3)

−1

Para obtener el 1 en la tercera columna, multiplicamos la fila tres por − : 1 0 −3 [0 1 3 0 0 1

𝑓1 −1 𝑓2 ⋮ 3] 1 1 𝑓3 . (− ) 8

1

8

Para obtener el 0 en la fila 1 arriba del pivote, realizamos la siguiente operación elemental, a saber, 𝑓1 = 𝑓1 + 𝑓3 . (3): 1 0 0 2 𝑓1 = 𝑓1 + 𝑓3 . (3) [0 1 3 ⋮ 𝑓2 3] 𝑓3 1 0 0 1

3

Para obtener el 0 en la fila 2, realizamos la operación elemental 𝑓2 = 𝑓2 + 𝑓3 . (−3): 1 0 0 [0 1 0 0 0 1

2 0 𝑓2 = 𝑓2 + 𝑓1𝑓3 . (−3) ⋮ ] 𝑓3 1

1 0 0 2 0 1 0 ⋮ 0 ⏟ 0 0 1 1 ⏟𝑟(𝐴)=3 [ 𝑟(𝐴|𝐵)=3 ]

Como 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝐵) = 3 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠. El sistema es compatible determinado. La solución es: 𝑆 = {(2 ; 0 ; 1)}

Ejemplo 2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 3𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 2 4𝑥 + 𝑦 = 4 { −9𝑥 − 15 𝑦 + 6𝑧 = −1

La matriz ampliada del sistema es:

2

3 5 −2 [ 4 1 0 ⋮ −9 −15 6

4] −1

1

Para obtener el elemento pivote en la fila 1, multiplicamos a la fila 1 por : 3 2 5 − 3 3⋮ [ 4 1 0 −9 −15 6 1

1 𝑓1 . ( ) 3 3 ] 𝑓 4 2 𝑓3 −1

2

4

Para obtener el 0 en la fila dos, realizamos la siguiente operación elemental, a saber, 𝑓2 = 𝑓2 + 𝑓1 . (−4):

[

5 3 17 0 − 3

2 3 8 3 ⋮

1

−

𝑓1 3 2 4 𝑓2 = 𝑓2 + 𝑓1 . (−4) 𝑓3 3 ] −1

Para obtener el−9 0 en−15 la fila6 tres realizamos la operación elemental 𝑓3 = 𝑓3 + 𝑓1 . (9): 2 2 𝑓1 3 3 𝑓2 8 ⋮ 4 𝑓 = 𝑓 + 𝑓1 . (9) 3 3 3 3 ] 0 5

5 3 17 0 − 3 [0 0 1

−

Para obtener el 1 en la segunda columna, multiplicamos a la fila dos por 3 − : 17 1

5 3

0 1 −

[0

0

−

8

2 3

17 0

⋮

2 𝑓1 3 3 4 𝑓2 . (− ) 17 − 17 𝑓3 5 ]

Para obtener un cero en la fila uno arriba del pivote, realizamos la segunda 5 operación elemental, a saber, f1 = f1 + f2 . (− 3): 1

0

0 1 −

−

8

2 17

⋮

17 ⏟ 0 0 0 ⏟ 𝑟(𝐴)=2 [ 𝑟(𝐴|𝐵=3)

18 5 17 𝑓1 = 𝑓1 + 𝑓2 . (− 3) 4 𝑓2 − 17 𝑓3 5 ]

5

Los rangos son distintos; por lo tanto, el sistema es incompatible, no tiene solución. Ejemplo 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = −1 { 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 4 −3𝑥 − 28 𝑦 + 11𝑧 = 9 La matriz ampliada del sistema es:

−1 1 5 −2 [ 2 −3 1 ⋮ 4] −3 −28 11 9 Para obtener el cero en la fila dos debajo del pivote, realizamos la operación elemental: 𝑓2 = 𝑓2 + 𝑓1 . (−2). Para obtener el cero en la fila tres, la operación elemental es 𝑓3 = 𝑓3 + 𝑓1 . (3): 1 5 −2 [ 0 −13 5 0 −13 5

−1 6] 6

⋮

Si sumamos a la fila 3 la fila dos multiplicada por -1, obtenemos: 1 5 −2 [ 0 −13 5 0 0 0

⋮

−1 6] 0

Para obtener un 1 en la columna 2, multiplicamos por (− 13): 1 5 0

1

−2

5 ⋮ − 13 0

⏟ 0 0 ⏟ 𝑟(𝐴)=2 [ 𝑟(𝐴|𝐵 )=2

𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝐵) = 2 < 3 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠. Es indeterminado y tiene infinitas soluciones.

1

−1 6 − 13 0

]

un

sistema

compatible

6

Referencias Checa, J. C. (2009). Sistemas de ecuaciones lineales. En Checa, J.C Algebra lineal para economía y administración (pp.248-263). Córdoba: Ediciones Eudecor. Stanley, I., y Grossman, S. (2007). Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. En Stanley, I. Grossman, S. Álgebra lineal (pp.31-32). México: McGraw Hill Interamericana.

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