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Statistica: simboli....

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Corso di Statistica, Laurea in Economia Aziendale, Università C. Cattaneo, Castellanza, 2 Ottobre 2008.

STATISTICA DESCRITTIVA: SIMBOLOGIA E DEFINIZIONI (A) VARIABILI STATISTICHE (v.s.) DISCRETE i = 1…k ⎧ xi ⎪ X =⎨ ni ⎪⎩ pi = N dove: xi = modalità i − esima della v.s. X con le xi in ordine crescente ovvero: xi < xi +1 ni = n ( xi ) = frequenza assoluta della modalità xi

N = ∑ i=1n i = numero delle unità statistiche considerate = numero dei dati grezzi k

pi = p ( xi ) =

ni = Fr { X = x i} = frequenza relativa della modalità x i N

pi % = pi × 100 = frequenza relativa percentuale della modalità xi calcolo di Fr {X ≤ x}, Fr{ a < X < b}, ecc. (= soma delle pi delle xi che verificano la condizione)

mod( X ) = moda della v.s. X = è la modalità della v.s. X con la pi più alta ovvero con la massima pi (caso uni-modale ovvero di una sola moda ) q α = quantile di ordine α : è la più piccola modalità della v.s. X che verifica la condizione: Fr { X ≤ qα } ≥ α

con α = 0.25 : q 0.25 = Q1 = primo quartile con α = 0.5 : q0.50 = Q2 = med ( X) = secondo quartile = mediana con α = 0.75 : q 0.75 = Q 3 = terzo quartile k

M ( X ) = µ = media = valore medio = momento primo della v.s. X = ∑ xi pi i =1

( )

k

M X 2 = momentosecondodella v.s. X = ∑ xi2 pi i =1

k

V ( X ) = σ 2 = varianza della v.s. X = ∑ ⎡⎣x i − M ( X )⎤⎦ p i = M (X 2

i= 1

2

) − M (X )

2

s.q.m.( X ) = σ = scarto quadratico medio della v.s. X = V ( X )

Forma della distribuzione di una v.s. discreta (sulla base del diagramma ad aste, solo caso uni-modale): - (asimmetrica) obliqua a destra ⇒ mod ( X ) ≤ med ( X ) < M ( X )

- (asimmetrica) obliqua a sinistra ⇒ M ( X ) < med ( X ) ≤ mod ( X ) - simmetrica (ovvero le modalità equi-distanti dalla media sono equi-frequenti) ⇒ M ( X ) = med ( X ) = mod ( X ) 1

Corso di Statistica, Laurea in Economia Aziendale, Università C. Cattaneo, Castellanza, 2 Ottobre 2008.

(B) VARIABILI STATISTICHE (v.s.) CONTINUE (PER INTERVALLI) ⎧[ x , x ) i = 1 …k X = ⎨ i i +1 ⎩ ci dove: p p c i = i = i = densità di frequenza dell’intervallo [xi , xi +1 ) ∆i δi n pi = i = Fr { xi ≤ X < xi+ 1 } = frequenza relativa dell’intervallo [xi , xi +1 ) = ∆ i × ci = N = area del rettangolo con base l’intervallo [ xi , xi +1 ) ed altezza ci ∆ i = δ i = xi+1 − x i = lunghezza dell’intervallo [xi , xi +1 )

calcolo di Fr{ X ≤ x}, Fr{ a < X < b}, ecc. (da calcolare a partire dall’istogramma con la regola dell’area: lunghezza di base × altezza = lunghezza di base × densità ci) intervallo modale: è l’intervallo con la massima ci (caso uni-modale)

mod( X ) = moda = valore centrale dell’intervallo modale =

x i + xi +1 2

q α = quantile di ordine α : è il numero reale che verifica la condizione: Fr { X ≤ qα } = α dove Fr{ X ≤ qα } = p1 + p2 + ... + pi −1 + (qα − x i ) ci (avendo scelto l’intervallo [xi , xi +1 ) appropriato a partire dall’istogramma) da cui si ottiene: α − ( p1 + p 2 + ... + p i −1 ) qα = xi + = quantile di ordine α ci con α = 0.25 : q 0.25 = Q1 = primo quartile

con α = 0.5 : q0.50 = Q2 = med ( X ) = secondo quartile = mediana con α = 0.75 : q 0.75 = Q 3 = terzo quartile M ( X ) = media della v.s. continua X = M ( X ′ ) dove X ′ è la vs. discreta ottenuta

discretizzando la v.s. continua X. I valori xi′ ( i = 1, 2,...k ) della v.s. X ′ sono dati dai x + xi+1 valori centrali degli intervalli ovvero xi′ = i ( i = 1, 2,...k ). La frequenza 2 relativa di ciascun xi′ è la frequenza relativa del corrispondente intervallo

( )

M X 2 = momentosecondo della v.s. continua X = M ( X ′2 )

2 V ( X ) = varianza della v.s. continua X = V ( X ′ ) = M ( X ′ ) − M ( X ′ )

2

s.q.m.( X ) = scarto quadratico medio della v.s. continua X = V ( X ′)

2...