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PROBABILITÀ & STATISTICA 23/09/Email:luisa@unitnInfo:Libro di riferimento  Problemi ed esperimenti di statistica con R (Micciolo 2008) Esame scritto, di risoluzione di problemi del tutto analoghi ai temi depositati sulla didattica onlineArgomento:Introduzione al corsoTesto:Il calcolo delle prob...

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PROBABILITÀ & STATISTICA

23/09/20

Email: [email protected]

Info: Libro di riferimento  Problemi ed esperimenti di statistica con R (Micciolo 2008) Esame scritto, di risoluzione di problemi del tutto analoghi ai temi depositati sulla didattica online

Argomento: Introduzione al corso

Testo: Il calcolo delle probabilità si interessa di tutti quei fenomeni il cui verificarsi dipende esclusivamente dal caso. Esperimento  in generale un esperimento è semplicemente un processo attraverso il quale un’ osservazione viene compiuta. Esperimento casuale  è un esperimento il cui esito non può essere predetto con certezza prima di essere eseguito, ma del quale si conoscono gli esiti possibili. Gli esperimenti si dividono tra: 1. Esperimenti casuali 2. Esperimenti deterministici Gli esperimenti deterministici, si identificano quando si compie la misurazione del tempo impiegato da un oggetto a raggiungere il suolo, essendo note le condizioni iniziali del sistema e risolvendo le equazioni del moto, è possibile predire con esattezza ogni istante del sistema. Gli esperimenti casuali, si identificano quando, come nel lancio della moneta, non è possibile stabilire con certezza se l’esito sarà l’uno o l’altro. Casuale significa non conosciuto. Un esperimento è composto quando vi sono un numero o infinito di repliche. L’insieme di tutti gli eventi elementari che costituiscono i risultati possibili di un esperimento casuale si chiama spazio campionario e ciascun evento semplice si chiama punto campionario (o campione). Esempio:

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Tipologie di spazi campione: 1. Spazio campione finito 2. Spazio campione infinito numerabile 3. Spazio campione infinito non numerabile

Spazio campione finito: Lo spazio campione finito è costituito da un numero finito di elementi. Esempio:

Spazio campione infinito numerabile: Lo spazio campione infinito numerabile è uno spazio campione infinito nel quale a ogni punto campione può essere associato un numero naturale. Es. accessi a un sito Spazio campione infinito non numerabile: Si dice infinito non numerabile uno spazio campione i cui eventi semplici sono tali per cui, fissati due di essi, è sempre possibile determinare un terzo intermedio. Spazio campione discreto: Lo spazio campione discreto è lo spazio associato ad un esperimento, finito o infinito numerabile Spazio campione Continuo: Lo spazio campione si dice continuo se è uno spazio infinito non numerabile. Evento: Il primo problema è quello di trovare un modo per descrivere i risultati possibili di un esperimento composto, l’evento è un insieme composto da un risultato o più di un esperimento casuale Tipologie di eventi: 1. Eventi elementari 2. Eventi complessi Eventi elementari: Gli eventi elementari sono costituiti da uno solo dei possibili risultati di un esperimento casuale Gli eventi elementari vengono denominati con la lettera E solitamente Eventi complessi: Gli eventi complessi sono costituiti da più di uno dei possibili risultati di un esperimento casuale. Un evento complesso può essere scomposto in eventi elementari. Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario Eventi mutuamente esclusivi: Ogni qualvolta un esperimento viene eseguito, può essere osservato uno e un solo evento semplice. Gli eventi semplici, dunque, sono mutuamente esclusivi. Gli eventi mutuamente esclusivi possono essere rappresentati da insiemi disgiunti.

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Eventi complessi: Gli eventi complessi non necessariamente sono mutuamente esclusivi Spazio probabilistico: Nel caso di uno spazio campionario finito, uno spazio probabilistico si costruisce assegnando un numero reale P, chiamato probabilità, a ciascun evento dello spazio campione omega(Ω).

Interpretazione frequentista della probabilità: l’interpretazione più semplice della nozione di probabilità è quella frequentista. Abbiamo visto come gli eventi casuali (come il risultato del lancio del dado) non possano essere previsti con certezza; tuttavia la frequenza relativa con la quale si presentano a lungo andare è notevolmente stabile. Supponiamo di ripetere un esperimento casuale N volte, dato un evento A, chiamiamo Na la frequenza dell’evento A in N ripetizioni dell’esperimento. Na/N = la frequenza relativa di A Esperimento:

In base all’impostazione frequentista, per probabilità P di un evento A si intende il limite a cui tende la frequenza relativa delle prove in cui l’evento si verifica, quando il numero di prove tende all’infinito:

Probabilità empirica: Nella realtà la P(A) viene approssimata con i dati che si hanno.

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Assiomi della probabilità: 3 assiomi di Kolmogorv. Nel caso di uno spazio campione finito Ω, un numero P(A), può essere assegnato a ciascun evento A(laddove A è un sottoinsieme di Ω) se i seguenti assiomi vengono rispettati: Assioma 1:

Assioma 2:

Assioma 3: Se lo spazio campione è costituito da N eventi elementari, allora

Interpretazione in senso frequentista degli assiomi di Kolmogorv: Assioma 1: Il primo degli assiomi può essere riformulato dicendo che la frequenza relativa deve essere maggiore o uguale a 0, difatti non ha senso che esistano frequenze relative negative. Assioma 2: Il secondo degli assisomi può essere riformulato dicendo che la frequenza relativa dell’unione di due o più eventi mutuamente esclusivi è uguale alla somma delle rispettive frequenze relative. Assioma3: In base al terzo assioma, la somma delle frequenze relative di tutti gli eventi elementari dello spazio campione deve essere uguale a 1. Gli assiomi 1 e 3 stabiliscono una convenzione secondo cui la probabilità è un valore compreso tra 0 e 1. La “misura” di probabilità, consiste in una regola che ci consente di assegnare i valori di probabilità agli eventi semplici di uno spazio campione in maniera tale da soddisfare gli assiomi di Kolmogorov. Questo significa che per ciascun esperimento casuale dobbiamo specificare:  Lo spazio campione Ω;  Una serie di regole per costruire gli eventi composti Ai sulla base degli eventi semplici Ei  Una misura di probabilità P. Risulta così definito lo spazio probabilistico dell’esperimento casuale considerato

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Per uno spazio campione finito Ω, la più importante distribuzione di probabilità è la distribuzione uniforme: P(A) = Na/N per ∀ A ⊆ Ω Dove Na = numero di elementi in A per A ⊆ Ω N = numero di elementi in Ω. In altre parole, lo stesso valore di probabilità viene assegnato a ciascun punto dello spazio campione dell’esperimento casuale. Esempio:

Soddisfiamo così i 3 assiomi. Il secondo assioma afferma che possiamo calcolare la probabilità di nuovi eventi composti sommando la probabilità degli eventi semplici in essi contenuti. Prove bernoulliane e multimodali: Se un esperimento (casuale) produce solo 2 esiti possibili (successo/insuccesso), allora le repliche indipendenti di questo esperimento sono chiamate prove bernoulliane. Se un esperimento produce k esiti possibili (lancio di un dado) allora le repliche indipendenti di questo esperimento sono chiamate prove multinomiali.

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Argomento:

24/09/20

Probabilità condizionata

Testo: Eventi congiunti  avendo due eventi A e B l’evento congiunto viene rappresentato dal simbolo A⋂B È un evento complesso che ha la proprietà di essere costituito da un insieme di eventi elementari ciascuno dei quali appartiene sia all’insieme A che all’insieme B

La probabilità di un evento congiunto si calcola nello stesso modo in cui si calcola la probabilità di ogni evento complesso, ovvero attraverso la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari che lo compongono. Nel caso di uno spazio campione finito costituito da eventi elementari equiprobabili allora la P(A⋂B) è uguale a:

Oltre a A⋂B, si possono definire i seguenti eventi congiunti:

Possiamo calcolare le varie P in questi modi:

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La probabilità condizionata: Si occupa di calcolare la probabilità di un evento nel momento in cui sappiamo che un altro evento ha luogo. La probabilità condizionata porta con sé la seguente definizione  siano A e B due eventi definiti per un esperimento casuale con P(B)>0. La probabilità condizionata di A dato B è:

Casi speciali: 1. Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo che ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui A⋂B = Ø?

2. Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo che ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui B ⊆ A ?

3. Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo che ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui A ⊆ B ?

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Dunque, nel caso di uno spazio campione finito costituito da eventi elementari equiprobabili, la P(A | B) è uguale a:

Esempio:

Leggi della probabilità:  Legge del prodotto  Legge della somma 1. Legge del prodotto  La probabilità dell’evento congiunto A ⋂ B è:

La legge del prodotto segue direttamente la probabilità condizionata:

A e B si dicono (statisticamente) indipendenti se P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) in tal caso: P(A ⋂ B)= P(A) P(B)

2. Legge della somma  La probabilità dell’unione di due eventi A e B è:

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Se A e B sono mutuamente esclusivi, allora  P(A ⋂ B) =0,

Esempio:

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P(A U B) = P(A) + P(B)

Argomento:

25/09/20

Teoria dal libro di testo

Testo: Quando due eventi si dicono compatibili? Si dicono compatibili quando  {A ⋂ B} ≠ Ø, ovvero quando i due eventi possono verificarsi contemporaneamente.

Esercizio: Questo lo si dimostra in questo modo, il complementare può essere immaginato come complementare di A ⋂ Ω, a quel punto utilizziamo una delle regole viste in precedenza per:

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Esercizio: Una scatola contiene 4 palline rosse e 3 blu. Si effettuano 2 estrazioni senza reimmissione e si considerano i seguenti eventi: A={la prima pallina estratta è rossa} e B={la seconda pallina estratta è rossa}, in che relazione sono i due eventi? Gli eventi considerati sono evidentemente dipendenti, perché la mancata reimmissione modifica la seconda estrazione, calcoliamo la P(B) e la P(B|A) verificando se si tratta di valori differenti. La probabilità dell’evento B è calcolabile nel modo seguente:

Di conseguenza:

La probabilità di B|A invece si trova mediante probabilità condizionata:

Dunque P(B)= 4/7 ≠ P(A|B)= 3/6, ed i due eventi A e B sono dipendenti, ma non sono equiprobabili.

Esercizio: Si ha un’urna contenente 3 palline rosse e 2 bianche e 1 blu, ed una seconda urna con 1 palla rossa 2 bianche e 3 blu. Calcolare la probabilità che entrambe le palle siano dello stesso colore? L’evento per cui estrarremmo due palline uguali viene chiamato A={(R,R);(B,B);(BL,BL)} Per calcolare la probabilità di questi 3 eventi elementari dovremo risolvere questo: , si sa che questi eventi sono indipendenti, dunque:

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Risolviamo anche il secondo quesito, la P di estrarre due palline rosse è maggiore rispetto alla P di estrarre bianche? La probabilità di avere due rosse è minore rispetto a quella di avere due bianche, visti i risultati dell’esercizio precedente.

Esercizio: Siano E1 ed e2 due eventi incompatibili. Se P(E1)=0,35 e P(E1 ∪ E2)=0,75 quanto varrà p(E2)?

Esercizio: Siano E2 ed E2 due eventi tali che P(E1) =1/2 e P(negatoE2)=1/3, gli eventi E1 ed E2 possono essere incompatibili? Motiva la risposta

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Esercizio:

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Esercizio:

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Esercizio:

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Argomento:

/09/20

Esercizi dal libro di testo

Testo: Es: Si lancia tre volte una moneta non truccata. Calcolare la probabilità di:  a) di ottenere tre volte testa  b) di non ottenere tre volte testa  c) di ottenere almeno una volta croce  d) di ottenere almeno una volta testa Si definiscano gli eventi come  T={esce testa}, C={esce croce}. Per il quesito a) si ha, senza che sia più necessario fornire ulteriori argomentazioni che:

Per il quesito b), con ovvietà della simbologia adottata si ha che:

Per il quesito c), si ha che:

Per il quesito c), si ha che:

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Esercizio: Sapendo che P(E2) = P(E1|E2) = P(E3|E1⋂E2)=1/3 a quanto sarà uguale P(E1⋂E2⋂E3)? Per la soluzione dell’esercizio in questione si possono seguire due strade alternative le quali conducono ovviamente al medesimo risultato. Innanzitutto, si può far ricorso alla definizione di probabilità condizionata la quale permette di scrivere la seguente relazione:

A partire dall’espressione poc’anzi riportata si può ricavare la probabilità P(E1⋂E2⋂E3). Infatti: B

B

B

Altrimenti si può invocare direttamente la cosiddetta regola del prodotto (la legge delle probabilità composte per eventi qualunque) che consente di scrivere quanto segue:

Esercizi da appelli precedenti: Esercizio: Su un foglio ci sono scritte 5 password, una sola di queste consente di accedere ad una risorsa informatica. Una persona (non sapendo qual è la password corretta) digita a caso una password. Determina la probabilità che: a) scelga la password giusta al primo tentativo; b) scelga la password giusta al secondo tentativo, dopo che ha eliminato la password usata nel primo tentativo; c) scelga la password giusta al secondo tentativo, senza aver eliminato la password usata nel primo tentativo;

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Si ha dunque che:

Esercizio: Analizzando una lunga sequenza di osservazioni si è determinato che i voli aerei partono in orario con una probabiltà del 90% e arrivano in orario con una probabilità dell’85%; inoltre l’80% parte e arriva in orario. Determina la probabilità che: a) Un aereo arrivi in orario, dato che è partito in orario; b) Un aereo arrivi in ritardo, dato che è partito in ritardo; Organizziamo dunque i dati:

Esercizio: Un corso è frequentato da 20 studenti. Qual è la probabilità che almeno 2 studenti abbiano il compleanno lo stesso giorno? (si consideri l’anno con 365 giorni) Il modo più semplice per calcolare la Probabilità di P(p) che ci siano almeno due persone appartenenti al gruppo di p persone che compiano gli anni lo stesso giorno è calcolare dapprima la probabilità di P1(p) che ciò non accada. Il ragionamento è questo: data una qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla data del suo compleanno), vi sono 364 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone e via dicendo. Esprimendo in formule quanto sopra, la probabilità che tutti i p compleanni cadano in date diverse è:

E dunque la probabilità del suo evento complementare, cioè che ne esistano almeno due uguali, è:

Dunque  se p=20, allora P(p) = 0,41

PARADOSSO DEL COMPLEANNO TROVA DA INTERNET: https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_compleanno

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Argomento:

01/09/20

Teorema di Bayes

Testo: Un evento A è l’effetto di k possibili cause: gli eventi C1,…,Ci,….,Ck necessari e incompatibili. Ci proponiamo di calcolare la probabilità P(Ci | A). Gli eventi Ci, i=1,…,k costituiscono per definizione una partizione dello spazio campionario Ω. Dunque vale che: La qual cosa ci consente di riscrivere l’evento A nei termini che conseguono: In cui gli eventi (A ⋂ Ci), i= 1,…k, sono incompatibili pertanto: Oppure: Si ha dunque la teoria delle probabilità totali.

Ma per definizione ale sempre che:

Quindi:

La quale formula rappresenta la celebre legge di Bayes in cui le probabilità P(Ci | A), P(Ci) e P(A | Ci) prendono rispettivamente il nome di probabilità a posteriori, probabilità a priori e verosimiglianze. Esercizio: Tra 100 dadi di cui 50 regolari e 50 truccati (in modo tale che P(6)=1/2 e P(i)=1/19, i ≠6) si sceglie a caso un dado e si effettuano 2 lanci nei quali il 6 appare entrambe le volte. Calcolare la probabilità che il dado estratto sia truccato. Si definiscano gli eventi: A ={il dado è truccato} B ={il dado non è truccato} Tali eventi hanno la stessa probabilità:

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Si definisca, infine, l’evento: C = {il 6 esce entrambe le volte in due lanci}. Supponendo l’indipendenza delle prove e invocando il teorema di Bayes, la probabilità che il dado estratto e utilizzato per i lanci sia truccato è pari a:

Esercizio da esame passato: Una ditta di computer ha 3 fornitori (A1, A2, A3) per uno dei componenti dei suoi personale computer. Riceve 2000 di questi componenti da A1, 5000 da A2 e 3000 da A3. Dalla passata esperienza si sa che una percentuale dei componenti di ogni fornitore sarà difettosa: dell’1% per A3, dello 0.1% per A2, e dello 0.9% per A3. Si estrae un componente a caso, si calcoli la probabilità che: a) Sia difettoso e fornito da A1; b) Sia difettoso; c) d) Sia fornito da A1 dato che è difettoso

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Esercizio da esame passato: Si hanno tre monete: due oneste ed una truccata con testa su entrambe le facce. Si sceglie a caso una moneta e la si lancia ottenendo 5 teste. Determinare la probabilità di aver scelto )e lanciato) la moneta truccata.

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Argomento:

24/09/20

Il Paradosso di Monty hall

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Testo: Forma proposta dal libro: in un gioco televisivo a premi il concorrente deve scegliere una di tre scatole identiche ma numerate; dentro una di queste c’è un premio in denaro, mentre le rimanenti due sono vuote. Il gioco procede dunque così. Il giocatore sceglie una scatola il presentatore che conosce il numero della scatola vincente, ne apre un’altra mostrando che è vuota. Poi offre al concorrente la possibilità di cambiare scelta. Quale strategia è più vantaggiosa, dovrebbe cambiare o no? Schematizziamo il tutto:

La scelta della scatola(i) fatta dal concorrente ha probabilità di P(i)=1/3, di essere la scelta corretta. Supponendo che il concorrente scelga la scatola 1, questa scatola conterrà il premio con probabilità di P(1)=1/3. Le scatole 2 e 3, insieme avranno una probabilità P(2∪3) quindi a 2/3.

All’apertura da parte del presentatore della scatola numero 2 la probabilità di 2/3 assegnata all’evento (2∪3) passerà alla scatola numero 3. Dunque la strategia vincente è quella di cambiare sempre la scatola!

Schematizziamo il tutto in maniera diversa per rendere palesi i risultati trovati:

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Ora riproponiamo il tutto, in modo da risolverlo in modo analitico:

Continuiamo a suppore che la scelta iniziale sia la scatola 1. Allora la probabilità che egli vinca il premio se accetta di cambiare scatola sarà pari a:

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Argomento:

24/09/20

Esercizi sul teorema di bayes

Testo: Es. La polizia è dotata di un apparecchio che esegue un test per misurare il tasso di alcolemia dei conducenti che, in base a quanto dichiarato dalla casa produttrice, ha le seguenti caratteristiche

Se durante le ore notturne dei week-end il 30% dei conducenti ha un tasso alcoleminco sopra la soglia, calcolare: a) La probabilità che un test risulti con esito negativo; b) La probabilità che un conducente, che è risultato negativo al test, abbia invece un valore di alcolemia sopra la soglia;

Es. Un metodo di classificazione automatico di e-mail di spamviene applicato a 1550 casi da classificare, dei quali 465 sono effettivamente spam. Il metodo classifica correttamente come spam il 90% delle email di spam; purtroppo classifica come spam il 10% delle e-mail non spam. Considerando a caso una e-mail, calcolare: a) La probabilità che sia classificata come spam; b) La probabilità che un’e-mail classificata come spam, non sia spam.

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Es: Per essere implementato un progetto deve superare tre step successivi. Se...