TD 2 - Corrigé - Mathématiques 1 PDF

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Mathématiques 1 ...

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L1 S1 – Mathématiques 1 - Corrigé du TD 2 : Optimisation de fonctions d’une variable Exercice 1 (extremums par étude de fonction) : Réaliser l’étude complète de la fonction suivante et en déduire tous les extremums (locaux et globaux) : f ( x)  ( x2  7 x 11)ex Rappel de cours : Etudier une fonction (ou faire l’étude d’une fonction) f c’est : • Déterminer son domaine de définition • Calculer la dérivée de f sur le domaine de dérivabilité • Etudier le signe de f '( x ) pour en déduire les variations de f. • Construire le tableau de variations • Compléter le tableau avec tous les calculs d’image et de limite nécessaires.

f est dérivable sur

; f '( x)   2 x  7  e x   x2  7 x  11 e x  e x  2x  7  x 2  7x  11   x 2  5x  4 e x

5 3 2 53 8   1 ou x   4 2 2 2 2 2 x lim ( x  7 x 11)   ; lim e   donc par produit lim f ( x)  

  (5) 2  4 1 4  25  16  9 donc f '(x )  0  x  x

x

x

lim ( x 2  7 x  11)   ; lim e x  0 et par croissance comparées lim f( x)  0

x 

x 

x

4 5e  13,59 et e  54,598 Conclusion : f possède un minimum global égal à e 4 , atteint en x  4 et un maximum local égal à 5e , atteint en x = 1. Il n’y a pas de maximum global.

Exercice 2 (extremum local) : Etudier la présence d'un extremum (au moins) local pour les fonctions suivantes : Rappels de cours : • Théorème (condition nécessaire du premier ordre) : Si 𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et si 𝑓 admet en un point 𝑥0 ∈ 𝐼 un extremum ; alors 𝑓 ′(𝑥0 ) = 0. •

Théorème (condition suffisante du second ordre) : Si f est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I ; que x0  I et que 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 ; alors : Si f '' x0   0 ; alors f admet un minimum au moins local en 𝑥0 .

Si f '' x0   0 ; alors f admet un maximum au moins local en 𝑥0 . Si f '' x0   0 ; on ne peut rien dire

1.

f ( x)  x 3  3 x 2

f est dérivable sur

; les extremums éventuels sont des points critiques de f.

f '(x )  3x ²  6x donc f '(x )  0 3x (x  2)  0 x  0 ou x  2 Il y a deux points critiques : 0 et 2. Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2e ordre.

f ''( x)  6 x  6 donc f ''(0)  6  0 et f ''(2)  6  0 Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x = 2 et un maximum (au moins) local en x = 0. Remarque : Ces deux extremums ne sont pas globaux car lim f (x )  lim x 3   et lim f ( x)   x 

x 

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x 

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2.

f ( x)  x 4  4x 3  1 f est dérivable sur

; les extremums éventuels sont des points critiques de f.

f '( x)  4 x3  12 x2  4 x2  x  3 donc f '( x)  0  4 x2  x  3  0  x  0 ou x  3

Il y a deux points critiques : 0 et 3. Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2e ordre.

f ''( x)  12 x2  24 x donc f ''(0)  0 et f ''(3)  12 9 24 3 36 0 Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x = 3 mais on ne peut pas conclure sur le cas d e l’extremum éventuel en x = 0. Remarque : Pour terminer l’étude en x = 0, il suffit de faire l’étude complète de la fonction f ce qui n’est pas difficile dans ce cas, car la dérivée de f se factorise bien : f '( x)  4 x2  x  3 donc le signe de f '( x) ne dépend que de celui de x  3 .

x f '( x)



0 0





3 0

 +





f ( x)

1

Le point critique x = 0 n’est pas un extremum.

-26 Remarque : Au passage, on trouve que le minimum local en x = 3 est en fait global et égal à -26.

3.

f ( x)  x 5  5 x 2

f est dérivable sur

; les extremums éventuels sont des points critiques de f.





f '( x)  5 x4  10 x  5 x x3  2 donc f '( x) 0 5 x 0 ou x3 2  x 0 ou x 21/3  3 2

Il y a 2 points critiques : 0 et 21/3 . Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2e ordre.

f ''( x)  20 x 3 10 donc f ''(0)   10 0 et f '' 21/ 3  20 21/3   10  40 10 30 0 3

Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x = 21/3 et un maximum (au moins) local en x = 0.

f ( x) 

4.

x x 1 2

f est dérivable sur

f '(x ) 

; les extremums éventuels sont des points critiques de f.

1   x 2  1  2 x  x

 x 2 1

2

x 1 2



 x 2 1

2

donc f '(x )  0  1 x ²  0  x   1

Il y a deux points critiques : -1 et 1. Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2e ordre.

2 x x² 1   2  2 x   x ²  11  x ²  2

f ''( x ) 

 x ²  1

4

donc f ''(1)  



2x  x ²  1 x ²  1  2  2x ²

 x ²  1

4





2  2x (x ²  3) 2 x x  3   3 3  x ²  1  x ²  1

1 1  0 et f ''  1   0 2 2

Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x = -1 et un maximum (au moins) local en x = 1. L1S1 – Mathématiques 1 - Corrigé du TD 2 : Optimisation de fonctions d’une variable

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5.

f (x )  x ln x

f est dérivable sur 0;   ; les extremums éventuels sont des points critiques de f.

f '( x)  1 ln x x

1  ln x 1 donc f '(x)  0  ln x  1  0  x  e1 x

Il y a un seul point critique : e 1 . Pour savoir s’il s’agit d’un extremum, on utilise les conditions du 2e ordre.

f ''( x) 

1 donc f '' e 1   e  0 x

Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x  e1  1/ e

Exercice 3 (extremum global) : Etudier la convexité (ou concavité) des fonctions suivantes, puis la présence d'un extremum global pour chacune d'entre elles : Rappels de cours : Théorème : Soit I un intervalle de et f : I  une fonction deux fois dérivable. • f est convexe si et seulement si f '' est positive sur I. • f est concave si et seulement si f '' est négative sur I. Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 contenant x0 ; alors : •

Si f est convexe sur 𝐼 et si f '  x0   0 ; alors f admet un minimum global sur 𝐼 en x0 .

•

Si f est concave sur 𝐼 et si f '  x 0   0 ; alors f admet un maximum global sur 𝐼 en x0 .

1.

f ( x)   x4  4 x  2

f est dérivable sur f est concave sur

; f '(x)  4 x3  4 ; f ''( x)  12 x2 . f ''( x )  0 pour tout x≠0. . On recherche les points critiques de f.

f '( x)  0  4 x3  4  0  x3  1  x  1 f admet donc un maximum global sur

2.

en x  1

f ( x)  x 2  ln x

f est dérivable sur 0;   ; f '( x)  2 x 

1 1 ; f ''( x)  2  2 . f ''( x)  0 pour tout x. x x

f est convexe sur 0;   . On recherche les points critiques de f.

f '(x )  0  2x 

1 2 x²  1 1 1 car x 0;   0  0 x 2   x  x x 2 2

f admet donc un minimum global sur 0;   en x 

1 . 2

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3.

f ( x)  2 x  x 1

f est dérivable sur 0;   ; f '(x )  2

1 2 x

 1

1  1 ; f ''(x )   2 x   x 2x x x

1

f ''( x)  0 pour tout x.

f est concave sur  0;  . On recherche les points critiques de f.

f '(x )  0 

1 x  0 x 1 x

f admet donc un maximum global sur 0;   en x  1

4.

f ( x)  x2  2 x 1

f est dérivable sur 0;  ; f '( x)  2 x 

1 1 2 x 2 ; f ''(x )  2    f ''( x)  0 pour tout x. x x 2x x

f est convexe sur 0;   . On recherche les points critiques de f.

2 x x 1 1  0  x 3/ 2   x  2 x x 2/3 f admet donc un minimum global sur  0;  en x  2 . f '(x )  0  2x 

5.

1

 0

2/3

1  2/3  2  2  

f ( x)   x3  3ln x

f est dérivable sur 0;  ; f '( x)  3 x2 

3 3 ; f ''( x)  6 x  2 f ''( x )  0 pour tout x. x x

f est concave sur 0;   . On recherche les points critiques de f.

3  3x3  3  0  0  x 3  1 x  1 x x f admet donc un maximum global sur  0;  en x  1 f '(x )  0   3x 2 

6.

f ( x)  e x  4 x

f est dérivable sur f est convexe sur

; f '( x)  ex  4 ; f ''(x )  e x . f ''( x)  0 pour tout x. . On recherche les points critiques de f.

f '(x )  0  ex  4  0  ex  4  x  ln 4 f admet donc un minimum global sur

en x  ln 4  2 ln 2

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Exercice 4 (exercice supplémentaire ; ne sera pas corrigé en TD) : 1. f  x   2 1  x 2  x sur 0;  . Réaliser l’étude complète de f en déduire tous ses extremums. f est dérivable sur 0;  et : f '( x)  2  De plus ; comme x   0;  :

2x 2 1  x2

1

2x 1  x2 x

2 x  1  x  0  2 x  1 x  4x  1 x 1 1  3 x2 1  x2   x  3 3 2

2

2

2

 1

2x  1 x 2 1  x2

0



1/ 3 -

f '( x)

0

+



2

f ( x)

3   1 1  1    1 x 2x 2  1 x  x  2 2  1 1 donc lim f ( x)   1   . 2 x x x   x  Conclusion : On est en présence d’un minimum global égal à 3 et atteint en x  1/ 3 et il n’y a pas de Pour x  0 , f (x )  2 x 2 

maximum.

2. Etudier la présence d'un extremum local pour : f (x)  x 3  3x 2 ; g( x)  ex •

3

3x

et h( x)  x  x, où p  p

f (x)  x 3  3x 2

f est dérivable sur

; les extremums éventuels sont des points critiques de f.

f '(x )  3x ²  6x donc f '(x)  0  3x (x  2) 0 x  0 ou x   2 Il y a deux points critiques : 0 et -2. Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2e ordre.

f ''( x)  6 x  6 donc f ''(0)  6  0 et f ''( 2)  6  0 Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x = 0 et un maximum (au moins) local en x = -2. •

g( x)  ex

3

3x

g est dérivable sur g '( x)  3 x²  3  ex

; les extremums éventuels sont des points critiques de g.  3x

3

donc g '(x )  0  3(x ² 1)  0  x  1 ou x   1

Il y a deux points critiques : 1 et -1. Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2e ordre.

g ''( x)  6 xe

x 3 3 x

 3x²  3  e x 2

3

3x

 ex

3

3x

6x  9 x

4

 



 18x²  9  9 x 4  18x²  6x  9 e x

3

3x

g ''(1)  6e2  0 et g ''(1)  6e 2  0 Conclusion : g admet un minimum (au moins) local en x = 1 et un maximum (au moins) local en x = -1.

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•

h( x)  xp  x, où p 

h est dérivable sur

; les extremums éventuels sont des points critiques de h.

h '( x)  p xp 1 1 donc h '( x)  0  x p 1 

1 p  x 1  p1 p

On est amené à séparer les cas où p est pair et p est impair. Si p est pair, p-1 est impair et l’équation précédente a une solution unique : p Si p est impair, p-1 est pair, et l’équation précédente a 2 solutions : p

1 p1

1 p1

et  p

1 p 1

Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2e ordre : h ''( x)  p  p  1 x p  2 1 p 2   1  Dans le cas ou p est pair, h ''  p p 1   p  p  1 p p1  0 et h a un minimum (au moins) local en x  p p 1     p 2  1   Dans le cas ou p est impair, h ''  p p 1   p  p  1  p p 1  0     p 2 1  p11     p 1 p 1 h ''   p    p  p 1  p  0 car : comme p est impair, p-2 est impair et   p         

1

p 2

 p



p 2 p 1

1

h admet un minimum (au moins) local en x  p p1 et un maximum (au moins) local en x   p p 1 .

3. Convexité et la présence d'un extremum global pour : f (x)  3x 2  6 x  5 ; g (x)  x 2  ln x et h( x)  e x •

f ( x)  3 x 2  6 x  5

f est dérivable sur f est convexe sur

; f '(x)  6x  6 ; f ''( x)  6 . f ''( x)  0 pour tout x. . On recherche les points critiques de f.

f '(x )  0  6x  6  0  x   1 f admet donc un minimum global sur •

en x  1

g (x)  x 2  ln x

g est dérivable sur  0;  ; g '( x)  2 x 

1 1 ; g ''( x)  2  . g ''( x)  0 pour tout x. x x²

g est convexe sur  0;  . On recherche les points critiques de g.

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1

2

g '( x)  0 

2x ² 1 1  0  x²  1/ 2  x  x 2

g admet donc un minimum global sur  0;  en x 

•

h( x)  e x

1

2

h est dérivable sur h est convexe sur

1 . 2

; h '( x)  2 xe x

2

1

; h ''( x)  2 ex

2

1

 2 x  2 xex

2

1





 4 x2  2 ex

2

1

. h ''( x)  0 pour tout x.

. On recherche les points critiques de h.

h '( x)  0  2 x  0  x  0 h admet donc un minimum global sur

en x  0

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