Tema 3 - Apuntes 3 PDF

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Medidas de variabilidad y asimetría...

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TEMA 3

MEDIDAS DE VARIABILIDAD Y ASIMETRIA 1.- INTRODUCCIÓN 2.- MEDIDAS DE VARIABILIDAD -

Amplitud total o Rango Amplitud semi-intercuartil

-

Varianza y desviación típica Coeficiente de variación

3.- INDICE DE ASIMETRIA DE PEARSON

4.- PUNTUACIONES TIPICAS

1. 2. 3. INTRODUCCIÓN

Propiedades de una distribución de frecuencias: -

La tendencia central de las puntuaciones. Se estudia en tema 2 La variabilidad o dispersión de las puntuaciones. Se estudia en este tema 3.

La variabilidad o dispersión hace referencia al grado en que las puntuaciones se asemejan o diferencian entre sí o se aproximan o alejan de una medida de tendencia central como la media aritmética. Cuanto menor es la variabilidad en una distribución, más homogénea es la muestra de sujetos en la variable que estamos midiendo. En el caso de máxima homogeneidad (poco habitual), todos los valores de la variable serían similares y cercanos a la media y no habría variabilidad. Por el contrario, cuando existe más o menos dispersión en los datos, la muestra es más o menos heterogénea y las puntuaciones difieren entre sí. 4. MEDIDAS DE VARIABILIDAD Tenemos 2 tipos de índices: -

Aquellos que miden el grado en que las puntuaciones se asemejan o diferencian entre sí: . amplitud total o rango . amplitud semi-intercuartil

-

Aquellos en los que la dispersión se mide con respecto a alguna medida de dispersión central, como la media. . varianza . desviación típica

AMPLITUD TOTAL O RANGO La amplitud total, AT, de un conjunto de puntuaciones es la distancia que hay entre los valores que representan la puntuación máxima y la puntuación mínima AT = Xmax. – Xmin. (calcular con límites exactos) Este índice utiliza poca información del conjunto de puntuaciones porque solo coge la mayor y la menor. Por tanto, no calcula la dispersión que existe entre el resto de los valores, que estarían por el centro, y que son la gran mayoría de las puntuaciones. AMPLITUD SEMI-INTERCUARTIL

Cuando la distribución es muy asimétrica, ya comentábamos que usamos la mediana, y para estudiar la variabilidad utilizamos la amplitud semi-intercuartil. La amplitud semi-intercuartil (Q) o rango semi-intercuartil, es al distancia media entre el tercer y el primer cuartil:

Este índice no informa de la variabilidad de todo el conjunto, sino solo del 50% de las puntuaciones, es decir las comprendidas entre el percentil 25 y el 75.

VARIANZA El primer índice que se presenta es la desviación media, pero tiene el inconveniente de que el numerador siempre da 0, así que se han propuesto dos soluciones: - Calcular el valor absoluto de cada desviación y realizar las operaciones - Elevar al cuadrado las diferencias (De la cual obtenemos la varianza) La varianza de un conjunto de n puntuaciones en una variable X, denotada , se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de las puntuaciones con respecto a la media Cálculo de la varianza en tablas de distribución de frecuencias con datos agrupados o no en intervalos: 1. A partir de una distribución de frecuencias absolutas:

2. A partir de una distribución de frecuencias relativas:

n = número total de observaciones Xi = valor i en la variable X o el punto medio del intervalo ni = es la frecuencia absoluta del valor o intervalo i pi = es la frecuencia relativa

La varianza siempre es un número positivo porque se basa en diferencias al cuadrado. La varianza siempre viene expresada en la misma unidad que la variable pero elevada al cuadrado (metros-metros cuadrados), con el fin de lograr una medida con las mismas unidades que la variable, se calcula la raíz cuadrada de la varianza y se obtiene la desviación típica. DESVIACIÓN TÍPICA La desviación típica de un conjunto de n puntuaciones, se representa por Sx , es la raíz cuadrada de la varianza:

Siempre es positiva. La desviación típica se suele usar más que la varianza porque se expresa en las mismas unidades que la variable.

Propiedades de la varianza y la desviación típica: 1. Ambas requieren el uso de todas las puntuaciones observadas en la distribución. 2. Ambas miden la variabilidad de los datos con respecto a la media aritmética, por tanto se utiliza si utilizamos la media como medida de tendencia central. 3. Siempre son positivas, es decir, igual o mayor que 0. Si son igual a 0, no hay variabilidad. 4. Si a una variable X se le suma o resta una constante a, la varianza y la desviación no se ven afectadas, en cambio, si la multiplicamos por una constante, la varianza queda multiplicada por la constante al cuadrado y la desviación por el valor absoluto de dicha contante. *CUASIVARIANZA / CUASIDESVIACIÓN TÍPICA: se divide por n – 1, en lugar de n como es en la varianza.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN El coeficiente de variación sirve para comparar la dispersión de dos distribuciones distintas. La fórmula es:

3. ÍNDICE DE ASIMETRIA DE PEARSON La asimetría de una distribución nos indica el grado en que los sujetos se reparten por debajo y por encima de la medida de tendencia central. El índice de asimetría de Pearson se basa en la relación entre la media y la moda:

Se puede aplicar a distribuciones unimodales.

3 opciones: -

-

Si la media es menor que la moda (media < moda) la resta dará lugar a un numero negativo. Asi que el índice será negativo y habrá asimetría negativa. Si la media es mayor que la moda (media > moda), el numero será positivo. Por tanto el índice será positivo y la asimetría también. Si la media y la moda tienen el mismo valor (media = moda), el índice será 0 y no habrá asimetría, es decir los datos serán simétricos.

4. PUNTUACIONES TÍPICAS Las puntuaciones directas ofrecen poca información y no nos permite comparar. Las puntuaciones típicas nos permiten comparar las puntuaciones de un sujeto en dos variables distintas y también comparar dos sujetos distintos en una variable.

Sus propiedades son: -

Su media es 0 La varianza es 1...