TEMA 3 - Reales - 2021 de algebra y matemáticas (lógica) para nivelación académica 2021-2022 ESSUNA PDF

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ALGEBRAEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALESÁREA DE ALGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTASÍndice Pág. - Tema # Estructuras algebraicas números reales 3. Axiomas de cuerpo de los Inducción matemática Propiedades del signo sumatorio Sucesiones reales 3. Axiomas de orden de los números Valor absoluto Rec...

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ALGEBRA

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ÁREA DE ALGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Índice

Tema # 3

Pág.

3.1.

Estructuras algebraicas

2

3.2.

Axiomas de cuerpo de los números reales

5

3.3.

Inducción matemática

8

3.4.

Propiedades del signo sumatorio

9

3.5.

Sucesiones

16

3.6.

Axiomas de orden de los números reales

21

Valor absoluto

33

Recursos complementarios

41

Bibliografía

43

Actividad de aprendizaje autónomo

44

3.7.

1

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Tema # 3

3.1. Estructuras Algebraicas Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él. En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa, como ejemplo tenemos a los espacios vectoriales.

Operación Binaria o Ley de composición interna:

Se denomina operación binaria o ley de composición interna sobre un conjunto 𝐴 a una aplicación: ∗: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴

que a cada par de elementos (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐴 le asocia un elemento 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴.

Es decir, una operación binaria consiste en esencia en “hacer algo” con un par de elementos de un conjunto para “producir” un nuevo elemento del conjunto. Ejemplos:

1. La adición es ley de composición interna en ℕ, ℤ, ℚ, ℝ.

2. ∗ definida en ℤ por 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏 es ley de composición interna en ℤ.

Propiedades:

Operación Interna: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐴

Asociativa: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) Conmutativa: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎

Elemento neutro: ∃𝑒 ∈/ ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎

Elemento inverso o simétrico: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃𝑎′ ∈ 𝐴/

𝑎 ∗ 𝑎 ′ = 𝑎′ ∗ 𝑎 = 𝑒

Distributiva: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎∆(𝑏 ∗ 𝑐 ) = (𝑎∆𝑏) ∗ (𝑎∆𝑐)

Proposición: Sea * ley de composición interna en A entonces, si existe elemento neutro, éste es único.

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Tema # 3

Semigrupo: Se trata de un conjunto A con una operación *, (A, *), que verifica las propiedades: 1. * es una operación interna. 2. * es asociativa.

Si además cumple la propiedad conmutativa, se dice que es un semigrupo conmutativo. Ejemplo: el conjunto de los números naturales con la operación suma.

Monoide: Se trata de un conjunto A con una operación *, (A, *), que verifica las propiedades: 1. * es una operación interna. 2. * es asociativa. 3. existe elemento neutro para *.

Ejemplo: el conjunto de los números naturales con el cero, con la operación suma.

Grupo: Se trata de un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades: 1. * es una operación interna. 2. * es asociativa. 3. existe elemento neutro para *. 4. Todo elemento de G tiene su inverso para *.

Si además cumple la propiedad conmutativa, se dice que es un grupo conmutativo o también conocido como grupo abeliano. Ejemplo: el conjunto de los números enteros (incluido el cero), con la operación suma. Ejemplo: Sea (ℤ,∗) tal que: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 3, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, Demuestre que (ℤ,∗) es un grupo.

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Tema # 3

Demostración:

1. * es una operación interna en ℤ, pues dados dos números enteros a, b, también es entero 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎+𝑏−3 2. se va a comprar qué * es asociativa: 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐 ) = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 − 3)

= 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 − 3) − 3 =𝑎+𝑏+𝑐−3−3

= (𝑎 + 𝑏 − 3) + 𝑐 − 3 = (𝑎 + 𝑏 − 3) ∗ 𝑐

= (𝑎 ∗ 𝑏 ) ∗ 𝑐

3. Se va a comprobar la existencia del elemento neutro para *, utilizando la condición: 𝑎∗𝑒=𝑎

Entonces: 𝑎 + 𝑒 − 3 = 𝑎

De donde obtenemos que: 𝑒 = 3

Ahora verificamos que se cumpla: 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, es decir 3 ∗ 𝑎 = 𝑎, entonces: 3 + 𝑎 − 3 = 𝑎, de donde se obtiene que: 𝑎 = 𝑎.

Por lo tanto el elemento neutro existe y es 𝑒 = 3. 4. Se va a comprobar la existencia del elemento inverso para *, es decir se va a demostrar que para todo 𝑎 ∈ ℤ existe 𝑎′ ∈ ℤ tal que 𝑎 ∗ 𝑎′ = 𝑎′ ∗ 𝑎 = 3 Partiendo de la condición: 𝑎 ∗ 𝑎′ = 3,entonces:

Entonces: 𝑎′ = 6 − 𝑎

𝑎 + 𝑎′ − 3 = 3

Por otro lado como: 𝑎′ ∗ 𝑎 = 3, entonces:(6 − 𝑎) ∗ 𝑎 = 3, entonces: 6 − 𝑎 + 𝑎 − 3 = 3, de donde obtenemos que: 3 = 3.

Por lo tanto el elemento inverso existe y es 𝑎′ = 6 − 𝑎

Al cumplirse las condiciones necesarias, concluimos que (ℤ,∗) es un grupo.

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Tema # 3

Anillo: Se trata de un conjunto A con dos operaciones *, (A, *,∆), que verifica las propiedades:

1. (𝐴,∗) es un grupo abeliano

2. (𝐴, ∆) es un semigrupo.

3. Se cumple la propiedad distributiva de ∆ respecto de *.

Si (A, ∆) es un semigrupo conmutativo, entonces (A, *,∆ ) es un anillo conmutativo, y si además tiene elemento neutro, entonces es un anillo conmutativo con elemento neutro.

Ejemplo: el conjunto de los números enteros, los racionales, los reales y los complejos con las operaciones suma y producto son anillos conmutativos con elemento unidad .

Cuerpo: Se trata de un conjunto A con dos operaciones *, (A, *,∆), que verifica las propiedades: 1. (𝐴,∗, ∆) es un anillo

2. (𝐴 − {0}, ∆) es un grupo. Si además (𝐴 − {0}, ∆) es un grupo conmutativo, entonces diremos que (A, *,∆)es un cuerpo conmutativo.

Ejemplo: El conjunto de los números reales con las operaciones de suma y producto es un cuerpo conmutativo.

3.2. Axiomas de cuerpo de los números reales Es importante conocer primero la definición de axioma, la misma que nos indica que es una proposición que se acepta como verdadera De lo descrito en Stewart, J., Redlin, L., &Watson, S.,(2012) se pueden definir los siguientes axiomas:

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a. AXIOMAS DE LA IGUALDAD Se denomina igualdad al conjunto de expresiones con el mismo valor numérico, separados por el signo (=). A cada una de las expresiones se le da el nombre de miembro: El de la izquierda es el primer miembro y el de la derecha del igual es el segundo miembro. Se considera en los números Reales (ℝ) , una relación de equivalencia, por lo que:  a , b , c  ℝ

a=a

a.1 REFLEXIVO:

Ejemplos: 32 = 32 Si a = b

a.2 SIMETRICO:

 b=a

Ejemplo: 4 = 2 2

 22 = 4

Si a = b  b = c  a = c

a.3 TRANSITIVO:

Ejemplo:

0.5 =

1 1 2 2  =  0.5 = 2 2 4 4

b. AXIOMAS DE CUERPO En los números Reales (ℝ) se definen las operaciones de la adición y la multiplicación que

verifican las siguientes propiedades:

b.1. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ entonces

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1. Ley de clausura:

Tema # 3

𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ

2. Ley uniforme: Si a = b  a + c = b + c 3. Ley conmutativa:

a+b=b+a

4. Ley asociativa:

a + (b + c ) = (a + b )+ c

5. Existencia del elemento neutro:

0 a+0 =0+a = a

6. Existencia del inverso aditivo:

 b = −a a + b = b + a = 0

b.2. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ entonces 1. Ley de clausura:

𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ

2. Ley uniforme: Si a = b  a  c = b  c 3. Ley conmutativa:

a b = b  a

4. Ley asociativa:

a  (b  c) = (a  b)  c

5. Existencia del elemento neutro:

 1 a  1 = 1 a = a

6. Existencia del inverso multiplicativo:

 a  0 ! b = a − 1 a  b = b  a = 1 .

7. Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

a  (b + c) = a  b + a  c

b.3. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES Se refiere al orden en las que se tienen que realizar las operaciones. 1. Potenciación y radicación. 2. Multiplicación y división 3. Sumas y restas.

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Tema # 3

3.3. Inducción matemática La inducción matemática es en general una técnica de demostración que se utiliza en matemática. Se suele utilizar para comprobar que una expresión que involucre una variable, es verdadera para todo entero positivo de la variable (Pérez, J., Caro, V. & Obonaga, E., 1986). El principio de la inducción matemática nos indica entonces: “Si una expresión que involucra un número entero positivo n, cumple las dos condiciones siguientes: -

Es verdadera cuando n=1

-

Siempre que la expresión es verdadera para algún valor k de n, es también verdadera para n=k+1

Entonces, la expresión es verdadera para todo valor entero positivo de n” (Pérez, et.al.,1986) Ejemplo: Demostrar que 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = Solución

𝑛(𝑛+1) 2

para todo entero positivo n.

1) Se verifica que la proposición es verdadera para n=1 1 (1 + 1) 2 ( 1 2) 1= 2 2 1= 2

1=

Por lo tanto se cumple.

1=1

2) Se supone que la proposición es verdadera para n=k y se muestra que también es verdadera para n=k+1 Para n = k se tiene que: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =

𝑘(𝑘+1) 2

Si se suma el número siguiente k+1 a ambos lados, se obtiene:

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Tema # 3 𝑘 (𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) 2 𝑘 = (𝑘 + 1) ( + 1) 2

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =

= (𝑘 + 1) (

𝑘+2 ) 2

1 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 2

Por tanto, la fórmula cumple para n=k+1

Entonces, por inducción matemática, la fórmula es verdadera para todos los valores enteros positivos de n.

3.4. Propiedades del signo sumatorio La sumatoria o sumatorio se emplea para poder representar la suma de muchos o infinitos

sumando. Se denota con la letra griega sigma Σ.

La forma base del signo sumatorio es ∑𝑛𝑖 𝑋𝑖 y se lee “sumatoria de Xi donde i toma los valores de 1 hasta n”.

El uso más frecuente del signo sumatorio es la Estadística, en la cual suele usarse para identificar suma de frecuencias absolutas, para conocer la fórmula de cálculo de la media, etc. La sumatoria cumple con algunas propiedades: -

La suma del producto de una constante K por una variable es igual a K veces la sumatoria:

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

∑ 𝐾𝑋𝑖 = 𝐾 ∑ 𝑋𝑖

-

La sumatoria hasta n de un constante K es igual a n veces la constante K: 𝑛

∑ 𝐾 = 𝑛𝐾 𝑖=1

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-

Tema # 3

La sumatoria de una suma es igual a la suma de cada sumatoria de cada término: 𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

∑(𝑌𝑖 + 𝑍𝑖 ) = ∑ 𝑌𝑖 + ∑ 𝑍𝑖 -

La sumatoria de un producto NUNCA es igual al producto de cada sumatorio de cada término.

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

∑(𝑌𝑖 ∙ 𝑍𝑖 ) ≠ ∑ 𝑌𝑖 ∙ ∑ 𝑍𝑖

-

La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado:

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

∑(𝑋𝑖 )2 ≠ (∑ 𝑋𝑖

)

2

Binomio de Newton con coeficientes binomiales El Binomio de Newton es un algoritmo que permite calculara una potencia cualesquiera de un binomio. Para su aplicación debemos considerar las siguientes conceptualizaciones:

Triángulo de Pascal Obtengamos aquí los valores para potencias del tipo ( x + a) n con n  N . Si es necesario, use la propiedad distributiva para obtener los resultados.

n=0

(x + a) 0 = 1

n=1

( x + a )1 = x + a

Los coeficientes son los números: 1

1

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Tema # 3

( x + a) 2 = ( x + a).( x + a) = x 2 + 2.ax + a 2

n=2

Los coeficientes son los números: 1

2

1

( x + a ) 3 = ( x + a) 2 .( x + a ) = ( x 2 + 2.ax + a 2 ).( x + a)

n=3

( x + a ) 3 = x 3 + 3.x 2 .a + 3.x.a 2 + a 3

Los coeficientes son los números: 1

3

3

1

( x + a ) 4 = ( x + a) 2 .( x + a) 2 = x 4 + 4. x3 .a + 6.x 2 .a 2 + 4.x.a 3 + a 4

n=4

Los coeficientes son los números: 1

4

6

4

1

Tenga en cuenta que la suma de los exponentes en cada término es siempre igual al exponente de ( x + a) n y hasta ahora: Los coeficientes del primero y último son iguales a 1; Cada línea tiene un número más que el anterior; Utilizando el procedimiento anterior podemos obtener el coeficiente de otras potencias; Los números así colocados forman una tabla que tiene una forma triangular y se conoce como el triángulo de Pascal. Así, hasta la línea 6, el triángulo de Pascal es el siguiente: 1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1 etc.

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Tema # 3

Por ejemplo si tenemos: ( x + a) 6 = x 6 + 6.x5 .a + 15.x 4 .a 2 + 20.x3 .a 3 + 15. x 2 .a 4 + 6.x.a 5 + a 6

Números Binomiales

Sabemos que los números del triángulo de Pascal son utilizados para desenvolver potencias del tipo ( x + a) n . Como (x + a) es un binomio, o sea, está formado por dos monomios, los números del triángulo de Pascal son llamados los números binomiales.

n  La notación utilizada para denotar un número binomial es:   que se lee n sobre p. Como  p ejemplo vamos a considerar dos números binomiales de la 4ª fila del triángulo de Pascal, que son: 1 4 6 4 1. Esos números binomiales, en este orden, se indican de la seguiente maneira, donde el número superior es 4 (por ser la 4ª.línea) y los inferiores son del 0 al 4.

4  4  Así es como fue:   =1,   = 4, 0  1 

4    = 6, 2 

 4   = 4, 3 

4    =1. 4 

Por una similitud con las fracciones, el número superior se denomina numerador y el inferior denominador. DEFINICIÓN: Sean dos enteros n y p tales que 0  p  n . Se llama número binomial, de numerador n y clase p, al número dado por:

n! n    =  p  ( n − p)! p! Los números binomiales son números de combinaciones simples. Esta fórmula es válida también cuando el denominador es nulo o n :

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n  n! n!   = = =1  0  (n − 0)!.0! n!.1

y

Tema # 3

n  n! n! n!   = = = =1  n  ( n − n)!.n! 0!.n! 1.n!

Ejemplos:

 4 4! 4.3.2.1 4.3.2.1 = = = 6 , valor conocido del triángulo de Pascal a)   =  2  (4 − 2)!.2! 2!.2.1 2.1.2.1

7! 7.6.5.4.3.2.1  7 = = 35 b)   = 3  4!.3! 4.3.2.1.3.2.1

En el desarrollo de potencias del tipo ( x + a) n , podemos observar que:

 3 ( x + a) 3 =  . x 3.a 0  0

 3  3  3 +  . x 2.a +  .x.a 2 +  .x 0 .a 3  3  2  1

 3 2  3  3  3  3 3  2 3 ( x + a) =  .x +  . x .a +  .x.a +  .a 3   2 1   0 ( x + a )3 = x 3 + 3.x 2 .a + 3. x.a 2 + .a 3

Donde sabemos que los coeficientes pertenecen a la tercera fila del triángulo de Pascal. Esta forma de desarrollar las potencias del tipo ( x + a) n , con n  N , es conocido como desarrollo del binomio de Newton

Binomio de Newton como tal

Surge cuando desarrollamos potencias del tipo ( x + a) n , los coeficientes del desarrollo son todos los números binomiales del numerador n. Así mismo, para el desarrollo de ( x + a) n tenemos una regla general dada por:

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 n  n  n ( x + a) n =  .x n .a 0 +  .x n− 1 .a +  .x n− 2 .a 2  2 1   0

Tema # 3

 n  1 n−1  n  0 n  n .x .a +  . x . a + .x n− 3 .a 3 + .... +   n  n −1   3

Observaciones: Observe que el denominador del número binomial es el exponente de a y a diferencia entre el numerador y el denominador es el expoente de x. La suma de los exponentes es sempre igual a n Observe también que la fórmula del binômio es una suma con n + 1 términos, y en este caso, podemos escribir el desarrollo del binomio usando el símbolo de suma, que se indicará de la siguiente manera: n n  ( x + a ) n =   . x n− p . a p p =0  p 

Para él desarrollo de ( x − a) n usamos la equivalencia

(x − a)n = x + (−a) n

n n n  n p n  n p n n p p p Notemos que ( x − a) =  x + ( −a)  =   .x − .( −a ) =   . x − .( −1) . a , es decir p p p =0   p=0   n n  ( x − a) n =  .( −1) p . x n− p . a p y concluímos que todos los términos del desarrollo de ( x + a)n y p =0  p  n  ( x − a) n son respectivamente de la misma forma  . x n − p .a p .  p

Cuando se desarrolla ( x + a) n todos los términos son positivos, mientras que cuando desarrollamos ( x − a) n los términos de acuerdo al expoente de a si este es par es positivo o si es impar es negativo, respectivamente.

Ejemplos:

a) Use del binomio de Newton en para desarrollar ( x − 2) 4

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Tema # 3

Solución Podemos considerar ( x − 2) 4 = x + ( −2) 4 y tenemos:

(x − 2) 4 = x 4 + 4.x 3 .(−2)1 + 6.x 2 .(−2) 2 + 4.x.(−2) 3 + ( −2) 4

O sea (x − 2) 4 = x 4 − 8.x 3 + 24.x 2 − 32.x + 16

2  b) Realice el desarrollo de  x 2 +  x 

4

Solución Sabendo que la 4ª. fila del triângulo de Pascal es: 1,4,6,4,1. 4

0

1

2

3

 2  2 2 2  2  2 2 x +  = 1.(x 2 ) 4 .  + 4.( x2 )3 .  + 6.( x2 ) 2 .  + 4.( x 2 ).  + 1.(x 2 )0 .  x  x  x x x  x  4

2  2 2 8 6 2 4 2 x x 4 . x . 6 . x . + = +  +      x2 x  x 

 23   + 4. x2 . 3 x 

4

 24   +  4   x 

4

x 2 2   +  = x 8 + 8.x 5 + 24.x 2 + 32.x −1 + 16.x − 4 x  4

Y finalmente

32 16  2 2 +  x +  = x 8 + 8. x 5 + 24. x 2 + x x x4 

En algunas situaciones precisamos encontrar apenas uno o dos términos del desarrollo, en ese caso usamos la siguiente fórmula:

n  Tp +1 =  .xn − p .a p ,  p Donde Tp +1 es el término que se pretende encontrar.

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Tema # 3

Ejemplo:

(

)

Determinar el ...