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Rentas Variables

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T E MA 9. REN ENTAS VARIA IABLES EN PROG RES ESIÓN GEOM ÉTRIC ICA Y EN PROG R RE ES SIÓ IÓN ARI RITMÉT ÉT I CA A

Al igual que ocurre con las rentas constantes, las rentas variables también pueden clasificarse en inmediatas, diferidas, anticipadas, temporales o perpetuas. A su vez todas ellas en prepagables y pospagables. 9.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 9.1.1. Renta temporal inmediata y pospagable: valor actual y valor final Supongamos una renta entera (no fraccionada), temporal (no perpetua), inmediata y pospagable, y cuyos términos varían en progresión geométrica. Supongamos que el primer término de la renta de n términos es de cuantía C y que, a partir de él, los siguientes términos varían según un factor multiplicativo constante q. El esquema gráfico de la renta es: C

Cq

Cq2

1

2

3

...

Cqn-2 Cqn-1

A (C , q ) n | i 0

...

n-1

n

Representamos por A (C , q ) n | i el valor actual de la renta inmediata pospagable, siendo C la cuantía del primer término, q la razón de la progresión geométrica (q>0), n el número de términos, e i el tipo de interés efectivo periodal que suponemos constante. Así por ejemplo, si cada término es un 4% mayor que el anterior, q es igual a 1’04. Si cada término es un 5% menor que el anterior, q es igual a 0’95. Hemos de restringir q a valores positivos para evitar que las cuantías monetarias alternen entre signo positivo y signo negativo. Para calcular el valor actual llevamos todos los términos al origen: A( C, q)

n |i

 C(1  i) 1  Cq(1  i) 2  Cq2 (1  i) 3  ...  Cq n1 (1  i)  n

(9.1)

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Tema 9

y sacando factor común C: 1 2 2 3 1 A(C , q) n | i  C [(1 i)   q(1  i)   q (1  i)   ...  q n (1  i)  n ]

Podemos ver que la expresión que está entre corchetes es la suma de los términos de una sucesión en progresión geométrica de razón r  q(1  i) 1 . Recordemos que la suma de los n términos de una sucesión en progresión 1  rn  , siendo a 1  (1  i ) 1 el primer término de la geométrica es S  a1 1r sucesión. Sustituyendo a1 y r : A(C , q ) n |i  C (1  i )1

1  q n (1  i ) n 1  q(1  i ) 1

Para simplificar, multiplicamos y dividimos por (1+i): A(C , q ) n | i  C

1 q n (1 i ) n 1 i  q

(9.2)

y obtenemos el valor actual de una renta entera temporal inmediata pospagable y variable en progresión geométrica. El valor final de la renta se representa por S (C, q) n |i y podemos calcularlo desplazando el valor actual desde el tiempo inicial 0 hasta el tiempo final n:

S (C ,q ) n | i  A (C ,q ) n | i (1  i ) n S (C , q ) n |i  C

1  q n (1  i ) n (1  i )n 1 i  q

De esta manera: S (C ,q ) n | i  C

(1  i )n  qn 1i  q

(9.3)

es el valor final de la renta entera temporal inmediata pospagable y variable en progresión geométrica. Estos expresiones son válidas siempre que q  1 i . A continuación vamos a analizar qué resultados se obtienen para algunos valores particulares de q.

Rentas Variables 

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q  1 Cuando la razón es igual a 1 estamos ante una renta de cuantía constante e igual a C. Así, (9.2) y (9.3) se convierten en: A(C , q ) n | i  Ca n | i y S (C , q ) n |i  C s n | i



q  1  i Si hacemos q=1+i en la expresión (9.1): A (C ,q ) n | i  C (1 i ) 1  C (1  i )(1 i ) 2  ...  C (1  i )n 1 (1  i ) n



 C (1 i) 1  (1  i) 1  ...  (1  i) 1



vemos que el valor actual, para el caso particular en que q=1+i, es: A (C ,q )n i|  C ·n ·(1 i ) 1 y el valor final: S( C, q) n | i  C· n·(1  i)n 1 9.1.2. Renta temporal inmediata y prepagable: valor actual y valor final

El esquema gráfico es: C

Cq

Cq2

0

1

2

...

Cqn-2 Cqn-1

..

A(C, q) n | i ...

n-2

n-1

n

..

El valor actual se representa por A (C , q ) n | i . Para calcularlo actualizamos todos los términos: ..

A(C, q ) n | i  C  Cq (1  i ) 1  Cq 2 (1  i ) 2  ...  Cq n1 (1  i ) ( n1)



 C 1  q(1  i) 1  q2 (1  i) 2  ...  q n 1 (1  i) ( n 1)



(9.4)

Podemos ver que la expresión que está entre corchetes es la suma de los términos de una sucesión en progresión geométrica de razón r  q(1  i) 1 . Sustituyendo en la expresión de la suma S  a1

1 r n : 1r

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Tema 9

..

A( C, q) n | i  C·1·

1  q n (1  i ) n 1  q(1  i) 1

Multiplicando y dividiendo por (1+i): ..

A(C , q ) n | i  C

1  q n (1  i )  n (1  i) 1 i q

(9.5)

obtenemos el valor actual de la renta entera temporal inmediata prepagable y variable en progresión geométrica. Como vemos, se cumple que: ..

A (C , q ) n |i  A(C , q ) n |i (1  i ) ..

El valor final se representa por S (C , q ) n | i y lo obtenemos capitalizando el valor actual desde el tiempo inicial 0 hasta el tiempo final n: ..

..

S (C ,q ) n |i  A (C ,q ) n | i (1  i ) n ..

S ( C , q) n | i  C

1  q n (1  i) n (1  i )(1  i ) n 1 i q

con lo que el valor final de la renta entera temporal inmediata prepagable variable en progresión geométrica es: ..

S ( C , q) n | i  C

(1  i )n  q n (1  i) 1 i q

Por supuesto se cumple la relación: ..

S (C , q ) n |i  S (C , q ) n |i (1  i ) Estos resultados son válidos siempre que q  1  i . Veamos algunos casos particulares: 

q  1 Cuando la razón es igual a 1 estamos ante una renta inmediata prepagable de cuantía constante e igual a C.



q  1  i Si tenemos en cuenta que la renta prepagable es igual a la pospagable multiplicada por (1+i): A (C ,q )n i|  C ·n ·(1 i ) 1

Rentas Variables

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..

A(C , q) n | i  C·n

luego: El valor final es: ..

S (C, q ) n | i  C·n·(1  i )n 9.1.3. Renta perpetua, inmediata y pospagable: valor actual

El valor actual de la renta variable y perpetua se calcula a través de valorar la renta temporal en el límite cuando n   : 1  q n (1  i ) n  A (C , q )  |i  lim A (C , q ) n | i  lim C   n  n   1 i q 

Así, el valor actual de una renta perpetua variable en progresión geométrica inmediata y pospagable es: A (C ,q )  | i  C

1 1 i  q

Este resultado es válido siempre que q  1  i . En caso contrario la serie diverge y el valor actual es infinito.

9.1.4. Renta perpetua, inmediata y prepagable: valor actual

El valor actual de la renta variable y perpetua prepagable será igual al de la pospagable multiplicada por (1+i): ..

A( C, q)  | i  A( C, q)  | i (1  i) El valor actual de una renta perpetua variable en progresión geométrica inmediata y prepagable es: ..

A (C ,q )  |i  C

1 (1  i) 1i q

siempre que q...