Teorie PDF

Preview

Summary

CAPITOLUL III-METODE DE NUMARARE 1. Metoda inductiei matematice Este o metoda de rationament prin care stabilim ca: O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile: a) Proprietatea P(n) este adevarata pe...

Description

CAPITOLUL III-METODE DE NUMARARE 1. Metoda inductiei matematice Este o metoda de rationament prin care stabilim ca: O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile: a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN b) (P(k), kn)  P(n+1), () nk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kn rezulta

p(n+1) adevarata, pentru orice nk. 2. Permutari Fie E={1, 2, …,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E  E. Notam permutarea in felul urmator

Notam numarul de permutari Pn:

Pn= n!=1.2.3…n

conditie de existenta:

nN

conventie:

0!=1 ; 1!=1 Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!

3. Aranjamente Notam cu Ank Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k. Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1 c.e. nk conventie: n=k  Ann=Pn 4. Combinari Notam cu Cnk

conventie: Cn0=Cnn=1

c.e. nk

Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1 5. Binomul lui Newton Daca a, bR, nN, atunci: (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn

Tk+1=termen general k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii

(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCnkan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn sau

Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni. 2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienti binomiali 3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen. 4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:

5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci: Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1 6) Identitatile utile:

a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+…+Ck-1k-1 b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0 7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Fie k 1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk

2. Elemente de Statistica Matematica Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretarea datelor referiotare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare. Populatia statistica este orice multime definite de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei. Caracteristica (sau variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor (indivizilor) populatiei. Caracteristica poate fi cantitativa sau calitativa. Caracteristicile cantitative pot fi discrete (sau discontinue) daca variabila statistica ia valor finite sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit. Numarul tuturor indivizilor unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii. Se numeste frecventa absoluta a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori. Se numeste frecventa relativa a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta ni a valorii xi si efectivul total al populatiei.

Elemente Caracteristice ale unei Serii Statistice: 1. Media k

Se numeste media caracteristicii x numarul:

n x i

x  i 1

n

i

k

, unde  n i este efectivul total i1

2. Mediana x este o valoare astfel incat jumatatea valorilor x i ale esantionului sunt mai mici Mediana ~ sau egale cu ~ x si cealalta jumate a valorilor x i sunt mai mari sau egale cu ~ x . 3. Modulul Prin modulul (sau dominanta) unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare cele mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua. 4. Dispersia n  x  x  2  n 2  x 2  x  2 ...  n k  x k  x  2 v 1 1 n1  n2  ...  n k Numarul v se numeste dispersia valorilor esantionului. Numarul k

v 

se numeste abaterea mediei patratelor.

v   f  xi  xi  x 

2

i1

k 1 v  f  x i x 2i   x  2  n i1

k

n x   x  2 i i

2

i 1

Problema 1 Un profesor isi ia din catalogul unei clase mediile la matematica pe semestrul trecut in vederea unor prelucrari statistice. Acestea sunt: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7. 1) Sa se completeze un tabel care contine rubricile: Nota, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa Cumulata. Realizati reprezentarea in batoane si poligonul frecventelor. 2) Folosind datele din tabel precizati: a. Cati elevi au note mai mici decat 5? Indicati procentul lor. b. Cati elevi au note intre 5 si 7? Indicati procentul lor. c. Cati elevi au note intre 7 si 10? Indicati procentul lor. d. Reprezentati aceste date printr-o diagrama in forma unui disc, cu a), b), c) indicate prin sectoare ale cercului. 3) Determinati media aritmetica, mediana, dispersia si abaterea mediei patratice.

Nota

1)

1 2 3 4 5

Frecvenţa absolută Frecvenţa relativă Frecvenţa Cumulată 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.12 0.12 4 0.16 0.28 0. 0. 0. 0. 0.

2) a. 3 elevi au note sub 5. Acestia reprezinta 12%. b. 10 elevi au note intre 5 si 7. Acestia reprezinta 40%. c. 12 elevi au note intre 7 si 10. Acestia reprezinta 48%.

3) Media aritmetica = (4*3+5*4+6*6+7*6+8*3+9*2+10)/25=6.48 Mediana = 7 Dispersia = 2.48 (calculate tabelar) Abaterea = 1.57 Problema 2 In cadrul laboratorului de matematica aplicata se considera aruncarea simultana a doua zaruri de cate doi elevi si se inregistreaza suma punctelor obtinute pe cele doua zaruri. Se arunca zarurile de 30 de ori. Completati un tabel care contine urmatoarele coloane: Suma obtinuta,

Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa cumulata crescatoare. Alcatuiti diagrama in batoane. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

Media = 7,033333333 Dispersia = 8,165567 Abaterea = 2,857545 Problema 3 La examenul de bacalaureat, cei 500 de elevi ai unui liceu au obtinut la proba de matematica rezultatele din tabelul alaturat. Sa se alcatuiasca histograma si poligonul frecventelor. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

3. Elemente de calculul probabilitatilor 1. Experienta. Proba. Eveniment

Prin experienta, se intelege realizarea practica a unui complex de conditii corespunzator unui criteriu dat de cercetare a colectivitatilor statistice omogene. Realizarea o singura data a experientei, se numeste proba. EXEMPLU Se poate considera drept experienta, aruncarea unui zar perfect construit din punct de vedere geometric si omogen din punct de vedere fizic, caz in care, proba este reprezentata de aruncarea o singura data a zarului. Prin intermediul exemplului de mai sus se poate identifica notiunea de colectivitate statistica prin multimea punctelor care apar pe fetele zarului. Prin eveniment se intelege rezultatul unei probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii: evenimente sigure, evenimente imposibile si evenimente intamplatoare. Prin eveniment sigur, se intelege evenimentul care se produce in mod obligatoriu la efectuarea unei probe a unei experiente. Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la efectuarea nici unei probe. Se numeste eveniment intamplator (aleator) un eveniment care poate fie sa se produca, fie sa nu se produca la efectuarea unei singure probe.

EXEMPLE 1. Extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment sigur. 2. La aruncarea unui zar, evenimentul care consta in aparitia oricarei fete de la 1 la 6 constituie evenimentul sigur. 3. Aparitia unui numar de 7 puncte la o proba a aruncarii unui zar este un eveniment imposibil. 4. Extragerea unei bile negre dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment imposibil. 5. Aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment intamplator.

Evenimentele intamplatoare se supun unor legitati, numite legitati statistice. In acest sens, nu se poate prevedea daca intr-o singura aruncare a unui zar se obtine fata 1; daca insa se efectueaza un numar suficient de mare de aruncari se poate prevedea cu suficienta precizie numarul de aparitii ale acestei fete.Evenimentele intamplatoare pot fi compatibile si incompatibile. Doua evenimente se numesc incompatibile, daca realizarea unuia exclude realizarea celuilalt. EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile. 2. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia unei fete cu un numar impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile Evenimentele pot fi dependente sau independente. Doua evenimente se numesc independente daca realizarea unuia nu influenteaza probabilitatea realizarii celuilalt si dependente in caz contrar.

EXEMPLE 1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la o alta aruncare a zarului, sunt independente. 2. Evenimentele: obtinerea unui numar de 7 puncte la aruncarea a doua zaruri si aparitia fetei 2 pe unul dintre doua zaruri, stiind ca acestea au suma punctelor de pe fetele de deasupra 7, sunt dependente. 2. Operatii cu evenimente Notatiile folosite sunt cele cunoscute din teoria multimilor. Multimile vor fi evenimentele aleatoare si vor fi notate cu: A, B, C,…. Fie  evenimentul sigur si  evenimentul imposibil. Acestea corespund multimii totale considerate si respectiv multimii vide. DEFINITIE Se spune ca evenimentul A implica evenimentul B, daca realizarea lui A, atrage dupa sine realizarea lui B. Notatia folosita este: A  B

OBSERVATII a) Implicatia evenimentelor este echivalenta cu incluziunea multimilor



c) Orice eveniment aleator, precum si evenimentul imposibil, implica evenimentul sigur:

A ,    . DEFINITIE Se spune ca un eveniment este ntrar evenimentului A, daca realizarea sa consta in nerealizarea lui A. Notatia folosita este A . OBSERVATII evenimentului A, A din teoria multimilor .

a) este



Evenimentul contrar echivalent cu complementara lui

b) Evenimentele A si A sunt realizeaza A, atunci nu se

contrarii, adica, daca realizeaza A si reciproc.

se

DEFINITIE Reuniunea (sau B este evenimentul S care unuia dintre evenimentele A sau B .

adunarea) evenimentelor A si consta in realizarea a cel putin

Notatia este S A  B .

OBSERVATII a) Daca evenimentele sunt reprezentate prin cercurile A si B din fig. 3 si 4, reuniunea lor este reprezentata prin interiorul hasurat al celor doua cercuri. Prin urmare, faptul ca un punct al evenimentului S se gaseste in regiunile hasurate constituie evenimentul A B . B

In cazul prezentat in fig. nr. 4 evenimentele A si B sunt A incompatibile, deoarece realizarea evenimentului A exclude realizarea evenimentului B si invers, pe cand evenimentele din fig. nr. 3 sunt compatibile, caci alegerea unui punct comun celor doua cercuri atrage dupa sine realizarea atat a evenimentului A , cat si a evenimentului B . b) Daca A  B , atunci A  B B . ca cercul A este interior lui B .

Geometric, acest lucru inseamna

c) Oricare ar fi evenimentul A, au loc

relatiile :

A A  A , A   A ,

A    ,

B

    .

DEFINITIE Intersectia (sau produsul) evenimentelor A si B este evenimentul P care consta in realizarea simultana a evenimentelor A si B . Notatia este : P  A  B .

Prin introducerea notiunii reuniune si intersectie, unele notiuni din teoria probabilitatilor pot fi formulate in mod mai precis. Astfel, pentru evenimentele opuse se pot formula in acest moment urmatoarele DEFINITII: I) evenimentele A si A se numesc opuse daca au loc relatiile

A  A E si A  A 

II) Evenimentele A si B sunt incompatibile daca: A  B  . In caz contrar ( A  B  ), evenimentele se numesc compatibile. Daca intr-o operatie de masa care are loc in conditii identice, un eveniment A se produce in medie de m ori, adica la m din n unitati elementare ale colectivitatii studiate, probabilitatea evenimentului A este P  A 

m n

 1 .

In aceasta relatie, n reprezinta numarul cazurilor egal posibile, pe cand m reprezinta numarul cazurilor favorabile; ea sintetizeaza definitia clasica a notiunii de probabilitate: se numeste probabilitatea unui eveniment A si se noteaza cu P  A , raportul dintre numarul m de rezultate favorabile producerii lui A si numarul total n de rezultate posibile ale experientei, in conditia ca toate rezultatele sa fie egal posibile.

Pe baza acestei definitii se vede imediat ca probabilitatea de aparitie – la o singura aruncare – a uneia din fetele unui zar omogen si perfect construit este uneia din fetele monedei este

1 , sau probabilitatea de aparitie a 6

1 etc. 2

Deoarece m n rezulta ca probabilitatea oricarui eveniment intamplator A satisface dubla 0  P  A 1. inegalitate : Cu cat P  A este mai apropiat de 1, cu atat evenimentul A are loc mai des. Daca P  A 0 , evenimentul sau nu are loc niciodata, sau are loc foarte rar, asa ca practic il

consideram imposibil. Daca P  A 1 , evenimentul are loc totdeauna, deci este un eveniment sigur. Din definitia clasica a probabilitatii  1 , rezulta urmatoarele:

PROPRIETATI 1. Probabilitatea evenimentului sigur este 1, intrucat in acest caz

mn ;

2. Probabilitatea evenimentului imposibil este 0 , intrucat in acest caz m0 ; 3. Probabilitatea unui eveniment intamplator este cuprinsa intre 0 si 1, intrucat in acest caz 0  m 1. Se considera evenimentele

A1 , A2 , …, An apartinand unui acelasi camp  ,

incompatibile doua cate doua, adica: Ai  Aj  ,   i  j , i , j   1,2,...,n . Atunci :

P  A1  A2  ... An   P  A1   P A2   ...P  An  Conform definitiei, doua evenimente A si A sunt contrare sau complementare, daca: A  A E si A  A  .

Doua sau mai multe evenimente se numesc independente daca probabilitatea efectuarii unuia dintre ele nu este influentata de faptul ca celelalte evenimente s-au produs sau nu.

EXEMPLE a) Daca dintr-un lot continand atat piese standard cat si piese rebut se extrage cate o piesa care revine la lot dupa fiecare extractie, evenimentele care constau in extragerea unei piese standard la fiecare extractie sunt independente. b) Daca se arunca o moneda de doua ori, probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul A ) in a doua aruncare nu depinde de faptul ca in prima aruncare s-a produs sau nu aparitia valorii (evenimentul B ). Doua sau mai multe evenimente se numesc dependente daca probabilitatea unuia dintre ele este influentata de evenimentele anterioare (depunde de faptul ca evenimentele anterioare s-au produs sau nu). Fie A1 si A2 doua evenimente dependente. Se va determina in continuare probabilitatea producerii simultane a acestor evenimente, adica P  A1  A2  . m P  A1  A2   1 . n

P  A1  A2  P  A1  PA1  A2  ,

relatie care constituie regula de inmultire a probabilitatilor a

doua evenimente dependente. PA1  A2  

P  A1  A2  . P  A1

In mod analog, probabilitatea evenimentului A1 conditionata de A2 este : PA2  A1  

P  A1  A2  . P  A2 

DEFINITIE Daca P  A1  A2  P  A1  P  A2  , se va spune, ca evenimentele A si B sunt independente intre ele. Se vede ca doua evenimente sunt independente daca probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de faptul ca celalalt eveniment s-a produs sau nu. Daca, de pilda, se arunca o moneda de doua ori este clar ca probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul A) in prima aruncare nu depinde de faptul ca in a doua aruncare are sau nu loc evenimentul B (aparitia valorii) ; si invers, probabilitatea lui B nu depinde de faptul ca s-a produs sau nu evenimentul A....