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Von der Uni Regensburg; sehr hilfreich...

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FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Lehrstuhl Didaktik der Mathematik

BEGLEITHEFT ZUR ERSTEN STAATSPRÜFUNG IN DIDAKTIK DER MATHEMATIK

SEKUNDARSTUFE I UND II

Mit wichtigen Hinweisen Ö zur Vorbereitung auf die Examensprüfung Ö zu Aufbau und Inhalt der Examensaufgabe Ö zu häufigen Fehlern und Problemen bei der Bearbeitung der Examensaufgabe Ö zum Vorgehen in der Examensprüfung

Autoren: Andreas Frank, Prof. Dr. Stefan Krauss Stand: 05.11.2018

0. VORWORT ..................................................................................................................................................... 3 1. ALLGEMEINE INFORMATIONEN ........................................................................................................... 4 2. DIE VORBEREITUNG AUF DIE EXAMENSPRÜFUNG ......................................................................... 5 2.1. DER STOFF – WAS MUSS ICH KÖNNEN?...................................................................................................... 5 2.2. DIE VERANSTALTUNGEN – WAS SOLLTE ICH BESUCHEN?.......................................................................... 6 2.3. DAS ZEITMANAGEMENT – WANN SOLLTE ICH ANFANGEN? ....................................................................... 7 2.4. DIE MATERIALIEN – WAS KANN ICH NUTZEN? .......................................................................................... 8 2.5. DIE EXAMENSVORBEREITUNGSKURSE – WIE KANN ICH SIE OPTIMAL NUTZEN?....................................... 10 3. DIE EXAMENSAUFGABE.......................................................................................................................... 12 3.1. AUFBAU UND INHALT IM ALLGEMEINEN ................................................................................................. 12 3.2. DIE AUFGABENSTELLUNG – FORMULIERUNGEN UND IHRE BEDEUTUNG ................................................. 14 3.2.1. Operatoren................................................................................................................................... 14 3.2.2. Weitere häufige Formulierungen ................................................................................................. 19 3.3. DIE TEILAUFGABEN IM EINZELNEN ......................................................................................................... 23 3.3.1. Fachliche Aufgabe (Teilaufgabe 1) ............................................................................................. 23 A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 23 B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 23 C. Häufige Probleme und Fehler ................................................................................................................ 23 D. Tipps für das Examen............................................................................................................................. 29

3.3.2. Fachdidaktische Aufgabe (Teilaufgabe 2) ................................................................................... 30 A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 30 B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 30 C. Häufige Probleme und Fehler ................................................................................................................ 31 D. Tipps für das Examen............................................................................................................................. 39

3.3.3. Schriftliche Unterrichtsplanung (Teilaufgabe 3) ......................................................................... 41 A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 41 B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 48 C. Häufige Probleme und Fehler ................................................................................................................ 49 D. Tipps für das Examen............................................................................................................................. 67

3.3.4. Weitere fachliche Aufgabe (Teilaufgabe 4 in früheren Prüfungen) ............................................. 70 A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 70 B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 70

4. DAS VORGEHEN IN DER EXAMENSPRÜFUNG .................................................................................. 71 4.1. DAS THEMA – WELCHES WÄHLE ICH? ..................................................................................................... 71 4.2. DIE ZEIT – WIE TEILE ICH SIE MIR EIN? .................................................................................................... 71 4.3. DOS UND DON‘TS – WORAUF SOLLTE ICH UNBEDINGT ACHTEN? ............................................................. 72

0. Vorwort Liebe Studierende, im vorliegenden Begleitheft haben wir wichtige Informationen zusammengestellt, die Ihnen die Vorbereitung auf das schriftliche Examen in Didaktik der Mathematik erleichtern sollen.

Das Heft beinhaltet neben allgemeinen Informationen zu Art und Inhalt von Examensaufgaben viele konkrete Hinweise zur Aufgabenbearbeitung von Expert*innen, die seit Jahren mit der Vorbereitung auf das schriftliche Examen in Didaktik der Mathematik sowie der Korrektur von Examensprüfungsarbeiten betraut sind. Verdeutlicht werden diese Hinweise durch konkrete exemplarische Ausarbeitungen und entsprechende Kommentare, anhand derer Sie häufige Fehler und Probleme bei der Bearbeitung von Examensaufgaben erkennen können. Damit wollen wir Ihnen helfen, sich möglichst gut für die Bearbeitung typischer Aufgaben des schriftlichen Examens in Didaktik der Mathematik zu sensibilisieren. Häufig sind auch Verbesserungsvorschläge ergänzt. Dagegen enthält das Heft keine „Musterlösungen“ zu den einzelnen Aufgaben, da es im Regelfall mehrere Möglichkeiten gibt, diese angemessen zu bearbeiten, also beispielsweise einen bestimmten mathematischen Inhalt schülergerecht zu erklären oder eine gute Unterrichtsstunde zu einem bestimmten mathematischen Thema zu planen. Auch ist es keine Zusammenfassung aller mathematischen und mathematikdidaktischen Inhalte, die Sie beherrschen sollten. Es ist somit nicht als Ersatz, sondern als Ergänzung zu den mathematikdidaktischen Lehrveranstaltungen gedacht. In Vorlesungen, Übungen und Examensvorbereitungskursen wird daher vielfach darauf verwiesen werden.

Wir hoffen, Ihnen hiermit eine Orientierungshilfe sowie Unterstützung für die Vorbereitung auf das schriftliche Examen in Didaktik der Mathematik bieten zu können, und wünschen Ihnen viel Erfolg bei Ihrer Examensprüfung.

Prof. Dr. Stefan Krauss (im Namen des Teams der Didaktik der Mathematik)

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1. Allgemeine Informationen Auch wenn dieses Begleitheft den Titel „… zur Ersten Staatsprüfung“ trägt, ist es ganz sicher hilfreich, wenn Sie möglichst frühzeitig darüber informiert sind, was in der schriftlichen Prüfung im Rahmen der Ersten Staatsprüfung in Didaktik der Mathematik von Ihnen erwartet wird. Dies beeinflusst möglicherweise, wie Sie Ihre Studienplanung gestalten und wie Sie sich mit den Studieninhalten auseinandersetzen und lernen. Daher richten sich die Inhalte dieses Begleitheftes an Sie, wenn Sie Mathematik – egal welchen Semesters – studieren 

für ein Lehramt an Mittelschulen (MS) als Didaktikfach (DF) oder Unterrichtsfach (UF),



für ein Lehramt an Realschulen (RS) oder



für ein Lehramt an Gymnasien (GY).

Die Informationen, die in diesem Begleitheft bereitgestellt werden, gelten für alle drei Schulformen einheitlich. Schulformspezifika bilden die Ausnahme und sind farblich gekennzeichnet.

Mittelschule

Realschule

Gymnasium

Das Begleitheft enthält in Kapitel 2 zunächst Informationen und Hinweise zur Vorbereitung auf die Examensprüfung, und zwar zum prüfungsrelevanten Stoff (2.1), zu empfohlenen Lehrveranstaltungen (2.2), zur zeitlichen Planung der Vorbereitung (2.3), zu den Materialien, die Sie dabei nutzen können (2.4) sowie zu den Examensvorbereitungskursen (2.5). Das umfassende Kapitel 3 thematisiert die Examensaufgabe selbst, und zwar zunächst deren Aufbau und Inhalt im Allgemeinen (3.1), dann Hinweise zu häufigen Formulierungen in der Aufgabenstellung und deren Bedeutung (3.2) sowie schließlich umfangreiche Ausführungen zu den drei typischen Teilaufgaben der Examensaufgabe (3.3). Dabei werden zu jeder dieser drei Teilaufgaben Informationen zu Inhalten und Erwartungen sowie exemplarische Aufgabenstellungen zur Verdeutlichung gegeben. Anhand authentischer Ausarbeitungsbeispiele von Examensaufgaben, die mit Kommentaren versehen sind, wird auf häufige Probleme und Fehler bei deren Bearbeitung eingegangen und es werden abschließend Tipps für das Examen gegeben, wie derartige Fehler vermieden werden können. Kapitel 4 zum Vorgehen in der Examensprüfung fasst Vorschläge bezüglich der Themenwahl (4.1) und der Zeiteinteilung (4.2) zusammen.

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2. Die Vorbereitung auf die Examensprüfung

2.1.

Der Stoff – Was muss ich können?

Mathematikunterricht gut planen und durchführen zu können setzt voraus, dass Sie den mathematischen Stoff, den Sie zukünftig vermitteln wollen, selbst sicher beherrschen. Der Schulstoff wird zwar teilweise auch im Rahmen Ihres Fachstudiums aufgegriffen, Sie erwerben dort aber – je nach Schulform mehr oder weniger – fachmathematische Kenntnisse auf einem Niveau, welches über das der Schule (weit) hinausgeht. Eine Wiederholung des gesamten Schulstoffes ist in keiner Studienordnung vorgesehen – egal für welches Lehramt. Reflektieren Sie daher frühzeitig Ihre Kenntnisse und tragen Sie selbst Sorge dafür, bestehende Wissenslücken in Bezug auf den Schulstoff im Fach Mathematik zu schließen. Um gut auf das schriftliche Examen in Mathematik-Didaktik vorbereitet zu sein, sollten Sie die mathematischen Inhalte, die Sie zukünftig lehren werden, auf drei Ebenen beherrschen, die in der Regel den drei Teilaufgaben eines Themas in den Examensprüfungen entsprechen (siehe Kap. 3): 1.

Auf fachlicher Ebene sind Sie in der Lage, diese Inhalte fachmathematisch korrekt zu erläutern.

2.

Auf fachdidaktischer Ebene sind Sie in der Lage, wichtige Aspekte im Zusammenhang mit dem Unterrichten dieser Inhalte zu erläutern („Stoffdidaktik“). Diese können sich auf das Erklären und Repräsentieren von mathematischen Inhalten, auf mathematikbezogene Schülerkognitionen sowie auf das Potential von Mathematikaufgaben beziehen.

3.

Auf unterrichtlicher Ebene sind Sie in der Lage, auf Basis fachlicher und fachdidaktischer Kenntnisse Unterricht zu diesen Inhalten sinnvoll zu planen („Unterrichtsdidaktik“).

Dabei wird vorausgesetzt, dass Sie mit dem Lehrplan für das Fach Mathematik (für Ihre Schulform) sowie mit den Bildungsstandards Mathematik vertraut sind. Es ist empfehlenswert, sich am neuen LehrplanPLUS (http://www.lehrplanplus.bayern.de/) zu orientieren, in dem die bundesweiten Bildungsstandards seit dem Schuljahr 2017/2018 implementiert sind (in einer Übergangszeit wird im Examen der Bezug auf den alten Lehrplan aber genauso akzeptiert). Wichtig ist zum einen, dass Sie sich einen Überblick über die Fachlehrpläne Mathematik verschaffen: Welche thematischen Einheiten (sog. Lernbereiche) werden in welcher Reihenfolge über die Jahrgangsstufen hinweg unterrichtet? Welche Lerninhalte sind innerhalb dieser Lernbereiche vorgesehen? In welcher Weise durchziehen die jeweiligen Lerninhalte den Lehrplan (spiralförmig) und werden im Sinne des kumulativen Lernens immer wieder aufgegriffen und ergänzt, vertieft oder vernetzt? Zum anderen wird die Kenntnis wesentlicher

Begrifflichkeiten

des

Mathematik

Fachprofils

vorausgesetzt,

insbesondere

der

prozessbezogenen Kompetenzen (= allgemeine mathematische Kompetenzen in den Bildungsstandards) und der Gegenstandsbereiche (= Leitideen in den Bildungsstandards), aber auch das Wissen

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über zentrale Aspekte zum Selbstverständnis des Faches, zur Zusammenarbeit mit anderen Fächern und zum Beitrag zu übergreifenden Bildungs- und Erziehungszielen. Die wesentlichen Kenntnisse im Hinblick auf Ihr schriftliches Examen in Mathematik-Didaktik können Sie im Rahmen der Lehrveranstaltungen erwerben, die von der Mathematik-Didaktik angeboten werden.

2.2.

Die Veranstaltungen – Was sollte ich besuchen?

Im Rahmen stoffdidaktischer Veranstaltungen erwerben Sie wesentliche fachliche und fachdidaktische Kenntnisse zum Schulstoff in Mathematik. Es werden fünf verschiedene Veranstaltungen angeboten, die von Studierenden aller Schulformen besucht und bei Bestehen der Klausur gleichermaßen abgerechnet werden können. Im Optimalfall ist im Hinblick auf das Examen der Besuch folgender Lehrveranstaltungen während des Studiums empfohlen: 

Für das Lehramt an Realschulen bzw. Mittelschulen vier stoffdidaktische Veranstaltungen (Vorlesung und Übung zu Didaktik der Zahlbereiche, Didaktik der Algebra, Didaktik der Geometrie sowie Didaktik der Stochastik und Grundlagen der statistischen Datenanalyse), die alle den Schulstoff der Jahrgangsstufen 5 bis 10 behandeln mit Ausnahme der StochastikVorlesung; hier werden zusätzliche Inhalte für das Anfertigen einer empirischen Arbeit (z. B. Zulassungsarbeit) behandelt, die aber klar als nicht relevant für das Examen gekennzeichnet sind.

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Für das Lehramt an Gymnasien mit absoluter Priorität die beiden Veranstaltungen Didaktik der Geometrie und Didaktik der Analysis; im Hinblick auf die zweite Ausbildungsphase (Referendariat) sind natürlich auch die anderen drei stoffdidaktischen Vorlesungen (Zahlbereiche, Algebra, Stochastik) empfehlenswert.

Prinzipiell sind in der Examensprüfung Themenstellungen aus allen Bereichen möglich (Didaktik der Analysis nur gymnasiales Lehramt), es gibt aber schulformspezifische Vereinbarungen wie in Tabelle 1 zu sehen. Für jede der drei Schulformen sind somit die Bereiche für zwei der drei Themen inhaltlich festgelegt, das dritte Thema kann einen freien Lehrplanbezug (z. B. erneut einer dieser Bereiche oder Stochastik) haben. Tabelle 1 Themeninhalte im Examen, getrennt nach Schulform

Thema 1

Thema 2

Thema 3

Mittelschule

Geometrie

Algebra/Zahlbereiche

Freier Lehrplanbezug

Realschule

Geometrie

Algebra/Zahlbereiche

Freier Lehrplanbezug

Gymnasium

Geometrie (Kl. 5-10)

Analysis, z.T. Algebra (Funktionen ab Kl. 8)

Freier Lehrplanbezug

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In ergänzenden unterrichtsdidaktischen Veranstaltungen (Seminare, Praktika mit Begleitveranstaltungen) erwerben Sie Kenntnisse darüber, wie Sie konkreten Unterricht planen und durchführen können – jeweils anhand exemplarischer Lerninhalte des Schulfaches Mathematik. In die Gestaltung einer Unterrichtsstunde gehen dabei Ihre stoffdidaktischen, aber auch Ihre pädagogisch-psychologischen Kenntnisse ein. In schulformspezifischen Examensvorbereitungskursen haben Sie am Ende des Studiums die Möglichkeit, exemplarische Examensaufgaben einzuüben (nähere Informationen in Kap. 2.5).

2.3.

Das Zeitmanagement – Wann sollte ich anfangen?

Für Ihre zukünftige Tätigkeit als Lehrkraft ist es wichtig, die aus der eigenen Schulzeit bekannten Inhalte von nun an auch aus einer anderen – der fachdidaktischen – Perspektive zu betrachten: Wie kann ein mathematischer Lerninhalt in der Schule eingeführt werden? Welche unterrichtlichen Schüleraktivitäten sind denkbar? Welche typischen Schülerschwierigkeiten treten auf und wie lassen sich diese vermeiden? Welche Aufgaben eignen sich besonders gut zur Übung? Derartige Fragen sollten Sie im Rahmen mathematik-didaktischer Lehrveranstaltungen von Beginn Ihres Studiums an immer im Hinterkopf haben. Deshalb ist der regelmäßige Besuch von Vorlesungen und Übungen empfehlenswert, da hier der Schulstoff aus dieser fachdidaktischen Perspektive behandelt wird: In den vier (fünf ab dem SoSe 2019) stoffdidaktischen Vorlesungen werden die Inhalte und deren Abfolge im Schulcurriculum sowie Erklärungsmöglichkeiten und typische Schülerkognitionen thematisiert. In den Übungen wird dieser Stoff vertieft, zudem werden nach Möglichkeit bereits Examensaufgaben vorgestellt. Die Aufgabenstellungen im schriftlichen Examen in Mathematik-Didaktik unterscheiden sich ganz deutlich von typischen Aufgabenstellungen, die Sie sie aus Ihrem Mathematikunterricht kennen, und lassen sich häufig nicht nach einem bekannten Schema abarbeiten (nähere Informationen in Kap. 3). An diese Art der Aufgabenstellung und -bearbeitung müssen Sie sich gewöhnen. Ergänzend sollten Sie immer wieder recherchieren und sich bewusst machen, wie die jeweiligen schulischen Lerninhalte, um die es in den Lehrveranstaltungen geht, konkret in Schulbüchern (Ihrer Schulform) eingeführt, erarbeitet oder eingeübt werden. Produktives Lernen und gutes Zeitmanagement können individuell sehr unterschiedlich aussehen, allerdings berichten Studierende, dass es rückblickend sinnvoll war, den Examensvorbereitungskurs bereits ein Semester vor dem Examenssemester besucht und vor allem aktiv genutzt zu haben (Ausarbeitung von früheren Examensaufgaben). Häufig liegt im Examenssemester der Fokus auf der Vorbereitung der fachlichen Inhalte in den Fächern, so dass die Vorbereitungszeit für die fachdidaktischen Inhalte entsprechend kurz ist.

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2.4.

Die Materialien – Was kann ich nutzen?

Materialien aus Ihrem Studium Eine gute Grundlage für das schriftliche Examen schaffen Sie, indem Sie sich mithilfe der Inhalte der Vorlesungen (inkl. Übungen) und der Examenskurse vorbereiten und für die gymnasiale Oberstufe zusätzlich die Inhalte des Oberstufenseminars (bis zum WiSe 2018/2019) bzw. der Vorlesung Didaktik der Analysis (ab dem SoSe 2019) berücksichtigen. Frühere Examensaufgaben Unter dem Link http://staatsexamen.didmath.ewf.uni-erlangen.de/ (Didaktik der Mathematik der Universität Erlangen-Nürnberg) finden Sie eine Sammlung von Examensaufgaben aus Bayern. Dort sind die Examensaufgaben ab dem Jahr 1982 für die Lehramtsstudiengänge Mittelschule und Realschule und für den Lehramtsstudiengang Gymnasium ab dem Jahr 2010 zusammengestellt. Des Weiteren finden Sie unter dem obigen Link u. a. auch eine Übersicht über (Themen-)Schwerpunkte (z. B. Dezimalbrüche, Gleichungen, Modellieren, Proportionalität, Wahrscheinlichkeit, Vielecke) der Prüfungsaufgaben. In den GRIPS-Kursen zu den vier stoffdidaktischen Vorlesungen finden Sie jeweils eine Sammlung von Examensaufgaben, die nach den Kapiteln des jeweiligen Vorlesungsskriptes geordnet sind: 

Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Zahlbereiche (L1)

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Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Geometrie (L2&L3)

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Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Algebra (L4)

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Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Stochastik (L5)

Gymnasium: Im GRIPS-Kurs zur Vorlesung Didaktik der Analysis finden Sie ab dem SoSe 2019 ein entsprechendes Dokument mit Examensaufgaben zu den Analysis-Inhalten der ...