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Trabajo autónomo 2...

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Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL) Facultad de Ingeniería en Mecánica y Ciencias de la Producción (FIMCP) Mecánica de Fluidos I González Peñafiel Joselyn Andrea [email protected] Guayaquil-Ecuador TRABAJO AUTÓNOMO # 2: DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO

A partir de la ecuación general en forma vectorial del movimiento del fluido que se comporta como un cuerpo rígido (i.e, no hay esfuerzos de corte):

−∇p + ρg= ρa

; donde z es la coordenada vertical

Y para cada uno de los siguientes casos: Caso # 1: Caída libre de un líquido contenido en un recipiente. a) Muestre un gráfico o esquema que represente cada caso, incluyendo el sistema de referencia utilizado.

b) Indique un ejemplo de una situación real. Un ejemplo para este caso podría ser un globo lleno de agua que es arrojado desde una ventana, las partículas del fluido al estar contenidas en el globo caen como un bloque rígido. c) Encuentre las ecuaciones diferenciales, en forma escalar, de sus tres componentes x, y, z. Un fluido en caída libre con resistencia despreciable, las partículas del fluido caen como un bloque rígido, la aceleración es igual a la gravitacional, y la aceleración en cualquier dirección horizontal es cero. Entonces,

a x =a y =0 y a z=−g δP δP δP = = =0 δx δy δz

→ P=constante d) Resuelva las ecuaciones diferenciales de la parte c) para encontrar una ecuación que muestre como varia la presión del fluido en función de las coordenadas x, y y z. e) La presión no varía debido a que el fluido se comporta como si presentara gravedad cero, por lo tanto, la presión en el fluido es constante en todo punto e igual a la atmosférica.

P0−P1=0 P= Patm f)

Encuentre una expresión para determinar qué forma tienen las líneas de presión constante (isobáricas). El gradiente de presiones actúa en la dirección g – a, y las líneas de presión constante son perpendiculares a esta dirección. Como la presión en este caso es constante en todo punto:

d z isobara =0 dx

Caso # 2: Líquido, contenido en un recipiente, moviéndose verticalmente hacia arriba, con aceleración constante igual a la de la gravedad. a)

Muestre un gráfico o esquema que represente cada caso, incluyendo el sistema de referencia utilizado.

b)

Indique un ejemplo de una situación real. Un ejemplo para este caso podría darse cuando un fluido contenido en un recipiente está en un elevador de carga, éste experimenta una aceleración hacia arriba.

c) Encuentre las ecuaciones diferenciales, en forma escalar, de sus tres componentes x, y, z. En este caso se invierte la dirección del movimiento del caso # 1, el fluido es forzado a acelerar verticalmente con a z=+ g por lo tanto:

δP δP δP =−ρ ( g+a z) = =0 y δz δx δy a z=+g ,

Como

δP =− ρ ( g+ g )=−2 ρg δz

d)

Resuelva las ecuaciones diferenciales de la parte c) para encontrar una ecuación que muestre como varia la presión del fluido en función de las coordenadas x, y y z.

e) Como el líquido se mueve en dirección de z, la presión es independiente de las coordenadas x y y, entonces la diferencia total de P=P(z ) , sería:

( δPδz ) dz

dP=

dP=−2 ρgdz Integrando: 1

2

∫ dP=∫−2 ρg dz 0

1

P0− P1=−2 ρg( z2 −z1 ) Si se toma el punto 1 como origen, z=0 y el punto 2 como cualquier punto en el fluido. Expresamos la variación de presión del fluido de la siguiente forma:

P= P0 −2 ρgz f)

Encuentre una expresión para determinar qué forma tienen las líneas de presión constante (isobáricas).

Para obtener la ecuación de las líneas de presión constante utilizamos la anterior ecuación dP=−2 ρg dz en donde dP=0 y se reemplaza la coordenada z por z isobara la cual es la distancia vertical de la superficie como función de x.

d z isobara =0

Caso # 3: Líquido, contenido en un recipiente, moviéndose a aceleración constate en línea recta en la dirección “x”.

a) Muestre un gráfico o esquema que represente cada caso, incluyendo el sistema de referencia utilizado.

b) Indique un ejemplo de una situación real. Este caso puede darse en industrias que fabrican bebidas embotelladas, estas al pasar por una banda transportadora, están aceleradas en la dirección de x.

c) Encuentre las ecuaciones diferenciales, en forma escalar, de sus tres componentes x, y, z.

δP δP δP =− ρ (g +a z ) =− ρ ax =0 y δz δx δy

d) Resuelva las ecuaciones diferenciales de la parte C) para encontrar una ecuación que muestre como varia la presión del fluido en función de las coordenadas x, y y z. e) Como la presión es independiente de la coordenada y entonces la diferencia total de P=P(x , z) , estaría dada de la forma:

( δPδx ) dx+( δPδz ) dz

dP=

dP=−ρ a x dx− ρ ( g + a z) dz ; ρ =cte Inegrando.

P0− P1=−ρ ax (x 2−x 1 )− ρ ( g + a z )(z 2−z 1 ) Tomando el punto 1 como origen, tenemos que x=0 y z=0 punto del fluido. La variación de presión estaría dada por:

y el punto 2 como cualquier

P= P0 −ρ a x x− ρ ( g + a z ) z

f) Encuentre una expresión para determinar qué forma tienen las líneas de presión constante (isobáricas). Para obtener la ecuación de las líneas de presión constante (isobaras) partimos de la ecuación encontrada en el literal anterior; dP=−ρ a x dx− ρ( g + a z) dz en donde dP=0 y se

reemplaza la coordenada como función de x.

z

por

z isobara

la cual es la distancia vertical de la superficie

d z isobara −a x = =constante g +a z dx De la expresión anterior podemos concluir que las líneas de presión constantes en un fluido incompresible con aceleración constante son superficies paralelas cuya pendiente es xz.

Caso # 4: Líquido, contenido en un recipiente, rotando a velocidad angular constante.

a) Muestre un gráfico o esquema que represente cada caso, incluyendo el sistema de referencia utilizado.

b) Indique un ejemplo de una situación real. Un ejemplo que se puede dar en la vida cotidiana es el de la licuadora, donde para preparar un bebida, los líquidos se encuentran girando a velocidad constante cuando se le fija la misma en la licuadora. c) Encuentre las ecuaciones diferenciales, en forma escalar, de sus tres componentes x, y, z.

δP δP 2 δP =−ρg =ρr ω =0 y δz δr δθ

d) Resuelva las ecuaciones diferenciales de la parte C) para encontrar una ecuación que muestre como varia la presión del fluido en función de las coordenadas x, y y z.

e) La

diferencia

total

de

P=P ( r , z)

la

cual

se

expresa

como:

( ) ( )

dP= δP dr + δP dz δr δz 2

dP=ρr ω dr — ρgdz Tomando la densidad como constante, la diferencia de presión entre los puntos 1 y 2 se calcula integrando la expresión anterior: 2

2

2

P2− P1=ρr ω (r 2 −r 1 )−ρg (z 2−z 1) Ahora tomando el punto 1 como el origen en donde r=0 y z=0 y el punto 2 como cualquier punto en el fluido, la variación de presión se puede expresar de la siguiente manera: 2

P= P0 +

ρω 2 r −ρgz 2

f) Encuentre una expresión para determinar qué forma tienen las líneas de presión constante (isobáricas). Para establecer la ecuación de las superficies isobáricas se toma a dP=0 y se reemplaza la coordenada z por z isobara la cual es la distancia vertical de la superficie como función de r.

dP=ρr ω2 dr — ρgdz 2

ρr ω dr=ρgd z isóbara

d z isobara r ω2 = dr g Integrando se obtiene la correspondiente expresión.

z isobara=

ω2 2 r +C 1 2g

REFERENCIAS

[1] White Frank, 2004, 5ta Edición, Mecánica de Fluidos [2]Yunus A Cengel, Jhon M. Cimbala, 2006, 1era Edición, Mecánica de Fluidos- Fundamentos y Aplicaciones....