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Proyecto final calculo aplicado a la física 1 Caída Libre...

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Informe de Proyecto del Curso Cálculo Aplicado a la Física I

CAIDA LIBRE (PARAPENTE)

Betsy Chambi C. (1), Grecia Bellido A. (1).

(Filiación)

(1)

Estudiantes de 2° ciclo de ingeniería xxxxx, UTP

1. RESUMEN

El presente proyecto, se enfocó en una investigación respecto a la caída libre con resistencia del aire, la Segunda Ley de Newton, para averiguar si está despertando una motivación en los estudios con respecto a dicho tema. También, está presente la velocidad limite, que es la velocidad máxima que puede alcanzar un cuerpo, con una fuerza constante. Por un lado, cuando un objeto cae de cierta altura, la resistencia del aire hace que caiga con una aceleración constante. Adicionalmente, descubrimos que este tema no es ajeno al deporte llamado parapente, ya que se realiza la caída libre en el lanzamiento de los parapentistas. Por otro lado, la Segunda Ley de Newton está presente en casi todas, por no decir todas las actividades cotidianas. Entonces se tratará de tomar como referencia este interés por aplicar el tema aprendido en el curso de Cálculo Aplicado a la Física 1, así demostrar que se puede utilizar el tema para la vida diaria. A su vez, de forma didáctica mejoraría la calidad de su aprendizaje en cada estudiante para que pueda ser útil a la hora de estudiar, porque a pesar de que algunos estudiantes piensan que no tiene relación alguna o que no llegarán a utilizarlo. En el presente trabajo se tratará de sustentar el funcionamiento de la caída libre con respecto a la resistencia del aire, mediante la recolección y demostración de información. Palabras Claves: Caida libre, parapente

2. INTRODUCCIÓN

El parapente no es un paracaídas, contrariamente a las apariencias, pero sí que es un descendiente directo de los paracaídas dirigibles con aberturas y cajones, de forma más o menos rectangular, que se utilizan en saltos de avión en paracaidismo deportivo. Un puñado de apasionados a este deporte, a finales de los setenta tuvieron la idea de desplegar una de estas velas al viento desde la cima de una montaña y algunos meses más tarde, los primeros “parapentistas” anunciaban el nacimiento de un nuevo deporte. Por ende, nos enfocaremos en el estudio de la caída libre con 1

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resistencia del aire del parapente. La aplicación de la caída libre se puede considerar como la composición de un avance vertical rectilíneo uniformemente variado (MRUV). Este movimiento es muy importante, ya que, a través de la comprensión de dicho movimiento, se puede entender muchos fenómenos físicos como cuando cae el paracaídas, parapente y entre otros objetos desde cierta altura. Además, el tema de velocidad límite no es ajeno en el deporte llamado parapente, ya que el cuerpo alcanza una velocidad máxima moviéndose en el seno de un fluido infinito bajo la acción de una fuerza constante. Un ejemplo es el caso de la velocidad límite alcanzada por un paracaidista en caída libre que cae desde suficiente altura. La diferencia con caída libre es que en este caso existe una fuerza de rozamiento del fluido proporcional a la velocidad del cuerpo, con lo cual llegará un punto límite de velocidad en donde el empuje junto con la fuerza de rozamiento se iguale a la fuerza peso del propio cuerpo. a. Descripción del proyecto. Un parapente es una aeronave construida sólo de tela y cuerdas con el que es posible despegar y aterrizar de pie (sin ruedas). La campana tiene forma de ala, con un perfil igual que los de los aviones, y al igual que las de estos, proporciona sustentación a partir de cierta velocidad. Lo habitual es volar a 3.500 o 4.000 metros de altura. b. Objetivos.   

Demostrar la aplicación de principios físicos en la caída libre de parapente. Analizar la caída libre de parapente. Realizar la gráfica de la velocidad vs tiempo (t) de parapente.

c. Alcances y limitaciones. La investigación se trata de buscar fuentes de información científica, en la cual hayan realizado la practica en base de experimentación del dicho proyecto y así demostrar la aplicación de la caída libre considerando la resistencia del aire. Los inconvenientes es la disponibilidad de agruparnos para realizar la práctica o experimentación en la zona de Miraflores debido a la emergencia sanitaria regida en nuestro país y en la actualidad las empresas que brindan servicios de deportes como parapente aún no se reactivan para ofrecer sus servicios en la dicha zona. 3. MARCO TEÓRICO 3.1 Caída libre Se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo, es 2

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frecuente también referirse coloquialmente a estas como caídas libres, aunque los efectos de la densidad del medio no sean por lo general despreciables.

3.1.1 La caída libre como sistema de referencia Un sistema de referencia ligado a un cuerpo en caída libre puede considerarse inercial o no inercial en función del marco teórico que se esté usando. En la física clásica, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una masa es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio en la posición espacial donde se encuentre dicha masa. La constante de proporcionalidad es precisamente el valor de la masa inercial del cuerpo, tal y como establece el principio de equivalencia. En la física relativista, la gravedad es el efecto que produce sobre las trayectorias de los cuerpos la curvatura del espaciotiempo; en este caso, la gravedad no es una fuerza, sino una geodésica. Por tanto, desde el punto de vista de la física clásica, un sistema de referencia en caída libre es un sistema acelerado por la fuerza de la gravedad y, como tal, es no inercial. Por el contrario, desde el punto de vista de la física relativista, el mismo sistema de referencia es inercial, pues, aunque está acelerado en el espacio, no está acelerado en el espacio-tiempo. La diferencia radica en la propia definición de los conceptos geométricos y cinemáticos, que para cada marco teórico son completamente diferentes.

3.1.2 Caída libre ideal En la caída libre ideal, se desprecia la resistencia aerodinámica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasaría en el vacío. En esas condiciones, la aceleración que adquiriría el cuerpo sería debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejáramos caer una bala de cañón y una pluma en el vacío, ambos adquirirían la misma aceleración, g, que es la aceleración de la gravedad. Por lo tanto, partiendo de un cuerpo (móvil) sometido exclusivamente a la aceleración de la gravedad que es constante en todo el recorrido, tenemos esta siguiente operación. -g = constante considerando vertical el eje y, con el sentido positivo hacia arriba, aceleración de la gravedad es vertical hacia abajo, por lo que la señalamos con signo negativo:

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La velocidad que alcanza el móvil tiempo t1 es igual a la velocidad inicial vo que el cuerpo tenía para to más la aceleración de la gravedad g por el incremento de tiempo, si t0 = 0 entonces:

v = v0 – gt si el cuerpo se deja caer desde el reposo v0 = 0, entonces:

v = -gt para determinar la posición, cuota y, tenemos que

si tomamos t0 = 0:

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En esta expresión se tiene en cuenta que se mide sobre el eje y, tomando el sentido positivo en sentido vertical hacia arriba, tanto la posición como la velocidad y se considera como negativo el sentido vertical hacia abajo en cuanto a la posición como en cuanto a la velocidad o aceleración. 3.1.3 Ecuación del movimiento De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza F que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa m por la aceleración que adquiere. En caída libre solo intervienen el peso P (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinámico f(v) en la misma dirección, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuación del movimiento de caída libre es:

La aceleración de la gravedad g lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba 3.2 Trayectoria en caída libre 3.2.1 Caída libre totalmente vertical: El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la velocidad aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

-mg + f = may donde: ay , vy , son la aceleración y la velocidad verticales. f , es la fuerza de rozamiento fluidodinámico (que aumenta con la velocidad) 

Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial para las velocidades y la altura vienen dada por: 5

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donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de 

Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico kw:

3.2.2 Caída libre parabólica y casi-parabólica Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de caída no es una recta sino una curva aproximadamente parabólica. La ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:

donde x es la coordenada horizontal (eje de abscisas) e y la coordenada vertical (eje de ordenadas). La expresión de la velocidad vertical debe reescribirse en función de la coordenada x teniendo en cuenta que t = x/vx. Pueden distinguirse los siguientes casos: 

Para un cuerpo en caída libre sin rozamiento, la trayectoria es exactamente una parábola dada por:

3.2.3 Caída libre desde grandes alturas La caída libre desde grandes alturas en un campo gravitatorio aproximadamente esférico, como es el caso del campo gravitatorio terrestre, requiere correcciones importantes ya que en ese caso ni la magnitud ni la dirección de la fuerza gravitatoria son constantes. Concretamente para un campo gravitatorio newtoniano con simetría 6

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esférica, cuando podemos ignorar el rozamiento con la atmósfera, la trayectoria es un arco de elipse.

4. METODOLOGÍA Para poder experimentar con la resistencia del aire escogimos el parapente. “El deporte del parapente es la forma más sencilla y emocionante de volar y también el aparato volador más ligero que existe: un equipo de vuelo completo ronda los 20 kg, y se despega y aterriza con los pies. Se utiliza un planeador dirigible, semirrígido y muy ligero que se maneja fácilmente. Este planeador es simple: el aire entra por la parte delantera e infla el interior de las dos telas, superior e inferior. La tela del planeador actúa igual que el ala de un avión, empujando hacia arriba y permitiendo mantener el vuelo.” (Deportes aéreos, 2007). Este deporte nos permite analizar cómo el aire apacigua la caída libre del ala junto con el individuo. Gracias a una investigación física al deporte, realizada en Huesca, España; se observó y apuntó los movimientos que se realiza en este deporte para así analizar las fuerzas físicas aplicadas y explicar a detalle la viabilidad de realizar este tipo de acciones teniendo en cuenta dichas fuerzas físicas.

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Las velocidades de un parapente La velocidad en un parapente está directamente en función del ángulo de ataque o la posición de los frenos de control y del acelerador. A continuación, se mencionarán los cuatro puntos cardinales de la velocidad de un parapente.

1. Velocidad mínima de control Si se incrementa el ángulo de ataque por encima de un valor dado, el ala comienza a entrar en pérdida, o sea disminuye la sustentación y aumenta la resistencia al avance. Definiendo de esta manera a la velocidad mínima, hemos encontrado otra velocidad o ángulo de ataque, que nos permita variar drásticamente la relación del parapente, o volar, ese punto es el anterior a comenzar a caer parachutado (tipo de paracaídas) donde el ala a pesar de mantenerse abierta e inflada no está volando. Este efecto se lo aplica durante un aterrizaje normal, después de haber entrado con mucha velocidad hasta prácticamente el ras del suelo se aumenta el ángulo de ataque (bajando los frenos de control) hasta el límite donde se produciría la pérdida, para finalmente tomar contacto con la tierra. Si el parapente está volando con una carga alta (el piloto pesa demasiado para la talla de velamen), la velocidad de pérdida será mayor, esto significa, por ejemplo, que a 25km/H podrá producirse la pérdida, cuando el fabricante especificó que (para un peso en vuelo determinado) la velocidad de pérdida es de 22km/H. 2. Velocidad de mínimo descenso Igual o tan importante como encontrar la velocidad de máxima L/D o alcance, es la velocidad de mínimo descenso en el aire; generalmente queremos estar el máximo tiempo en el mismo. Recordemos que la velocidad de un ala está relacionada directamente con el ángulo de ataque, a mayor ángulo, menor velocidad y viceversa. Además de variar también la trayectoria. La velocidad de caída, también llamada taza de caída es la velocidad con la que el ala cae verticalmente y se expresa en metros por segundo (m/s). Es muy fácil de obtenerla usando un varió metro. Un factor que hace variar la tasa de descenso es 8

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la carga alar (peso conjunto del ala y piloto), esto es: a mayor carga alar, mayor velocidad de caída o tasa de caída. La velocidad de mínimo descenso es la velocidad horizontal a la que el ala tiene la menor tasa de caída vertical, se mide en kilómetros por hora (km/h), y representa la velocidad a la que hay que volar el ala para que pueda estar el mayor tiempo es un planeo, lo que no significa que el máximo planeo en distancia. Siempre es menor la velocidad de máximo L/D, y contrariamente a ésta el viento no la afecta, pero si lo hace la altura y la temperatura, debido a que modifican la densidad del aire.

3. Velocidad de máximo alcance (L/D) Toda aeronave tiene una velocidad para la cual la sustentación se maximiza frente al roce. Se expresa como L/D máx. y es igual a la máxima distancia que puede recorrer a partir de una determinada altura. El “drag” (D) por convención la sustentación (L) es perpendicular al “drag”. Si por ejemplo tenemos la razón L/D =8/1 (suele expresarse 8:1 o simplemente una eficiencia o fineza de 8), significa que por cada 8m que avanza desciende 1 m. La velocidad de máximo alcance rige solamente para aire quieto si se la quiere tomar con respecto al suelo. En efecto, ya que volando a esta velocidad con viento de frente no necesariamente se cubre la mayor distancia terrestre. Para hacerlo más gráfico, si el parapente muestra una velocidad de máx. L/D de 37 km/h y volamos contra un viento frontal de 37km/h, es claro que, de mantener esa velocidad, descenderá sin haber avanzado ningún metro horizontalmente con respecto al terreno; por lo tanto, si se desea avanzar se deberá aumentar la velocidad. Todo lo contrario, sucederá si el viento es de atrás, entonces en la misma unidad de tiempo, habiendo caído en ese lapso de tiempo X metros, habremos recorrido el doble de distancia con respecto al terreno, ya que a los 37km/h de velocidad de nuestro parapente con respecto a la masa de aire, le debemos sumar los otros 37km/h de velocidad de la masa de aire con respecto al suelo, sino que lo hacemos con respecto a la masa de aire en la que nos movemos, entonces la fineza siempre será 8.

4. Velocidad de máxima de control

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La velocidad máxima de control está dada por el diseño de la vela, y es aquella que nunca se debe superar (en realidad es imposible hacerlo). Se obtiene volando a frenos sueltos, con el acelerador al tope, y en los modelos con TRIM ´s, estos sueltos al máximo. Se usa normalmente para las transiciones entre térmicas (para pasar lo más rápidamente posible las descendencias), o en situaciones donde la velocidad del viendo iguala o supera la máxima del parapente.

5. RESULTADOS Ahora nos guiaremos de los datos de un estudio realizado en España, para complementar nuestra investigación ya que se nos presenta limitaciones para realizar la práctica y así obtener datos para realizar los cálculos. Valle del río Aragón, Huesca 

Desnivel: 1150 metros (de L100 a 950)

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Fineza: 45

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Despegue: Fácil

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Orientación: Sur

“Entre Jaca y Canfranc, poco antes de Villanúa, tómese una carretera a la izquierda en dirección a AISA. Pronto llegaremos a la aldea de Aratores, de donde sale una carretera (la cual a medida que va ascendiendo se transforma en pista) que pasa por la cumbre de Blancas. Salida sobre la misma cima; diversas posibilidades en pendiente cubierta de hierba.” (EL VUELO EN PARAPENTE, s.f) Aterrizaje: Medio Campo de fútbol de Villanúa, población accesible desde la misma carretera que va de Jaca a Canfranc. Observaciones: “Lugar particularmente interesante por los grandes recursos que presenta en vuelo térmico. Aerología violenta, sobre todo cuando térmicas y dinámicas confrontan sus fuerzas. En la otra vertiente del valle del río Aragón tenemos el pico de Collarada, otro vuelo de características similares y de gran desnivel, el cual no obstante tiene una salida difícil. El aterrizaje en este caso también tiene lugar en el campo de fútbol de Villanúa” (EL VUELO EN PARAPENTE, s.f) Gráfica de velocidad de parapente Para realizar la gráfica de la velocidad vs tiempo del descenso de parapente desde una cierta altura, utilizaremos la siguiente fórmula: v (t )=v 0+a(t−t 0) . Para ello, utilizaremos los datos de un estudio como la v 0=5.2m/s , t 0=0s y a=2.94m/s 2 10

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Reemplazamos los datos en la ecuación original v (t )=5.2−2.94∗(t)m/s Le damos valores a la ecuación de t=0s y t=1s para hallar la intersección en el eje Y e X. Y=v (t )=146.32m/s X= t=49.77 Además, nos ayudaremos con la herramienta GeoGebra para realizar la gráfica de velocidad vs tiempo.

La interpretación de esta gráfica de velocidad vs tiempo es que el parapente se está moviendo hacia la izquierda y desacelerando.

6. CONCLUSIONES En síntesis, desde el inicio hasta el final de este deporte conocido como parapente, la física está presente en todo momento, debido a que se realiza aplicación de la caída libre, pudiendo así calcular la velocidad inicial, el tiempo de vuelo, gravedad, coeficiente de resistencia aerodinámica, etc. También se realizó la gráfica de velocidad de parapente. Así mismo se debe tomar en cuenta los factores que podrían afectar su realización tales como las condiciones ambientales como, por ejemplo, la presión del aire, zona geográfica, tiempo, etc. Entre otros factores que también podrían afectar el descenso de esta como la resistencia del aire, la velocidad etc. Consideramos que nuestra investigación...