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apuntes para aprobar el examen....

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INTUICIONISMO.

FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE LAS MATEMÁTICAS.

1) ANTECEDENTES DEL INTUICIONISMO: LOGICISMO. a) FREGE. b) RUSSELL Y WHITEHEAD. 2) PRE-INTUICIONISMO. a) MATEMÁTICA COMO EXTENSIÓN DE LA LÓGICA. 3) PRIMER ACERCAMIENTO AL INTUICIONISMO. a) CONCEPTO DE INTUICIÓN DE LA ÉPOCA. b) ¿QUÉ ES EL INTUICIONISMO? 4) DIFERENTES ETAPAS INTUICIONISTAS. a) DESCONSTRUCTIVA: POINCARÉ. b) CONSTRUCTIVA: BROUWER. i) BIBLIOGRAFÍA BREVE. ii) DOS ACTOS INTUICIONISTAS. iii) MATEMÁTICA EN RELACIÓN CON LA FILOSOFÍA DE LA MENTE. iv) MATEMÁTICA Y MOVIMIENTO. v) DISTINCIÓN MATEMÁTICA Y LENGUAJE. 5) TEMAS TRATADOS POR LOS INTUICIONISTAS. a) EL PROBLEMA DEL INFINITO. b) LA VERDAD, EL TERCIO EXCLUSO Y LA DOBLE NEGACIÓN. 6) EJEMPLOS INTUICIONISTAS. 7) CRITICAS AL INTUICIONISMO. 8) REFERENCIAS.

1) ANTECEDENTES DEL INTUICIONISMO: LOGICISMO. Antes de comenzar la doctrina de las matemáticas nos encontramos la crisis de la fundamentación de las ciencias. En esta crisis surgen tres posturas que guardan relación con la matemática y la lógica: el logicismo, el intuicionismo y por último el formalismo. En esta primera parte y a modo de introducción me centrare sobretodo en el logicismo, puesto que, el intuicionismo establece numerosas críticas contra este tipo de pensamiento.

El logicismo es una filosofía fundamental y fundacionalista la cual se puede obtener con respecto a cualquier rama de las matemáticas. La ocupación principal del logicismo tiene especial relación con la aritmética y el análisis real, dentro del logicismo encontramos una versión fuerte y otra débil. La versión fuerte de este logicismo sostiene que todas las verdades matemáticas en la rama o ramas elegidas forman una especie de verdad lógica. En cambio, la versión débil, mantiene que solamente todos los teoremas (resultados demostrables) hacen verdad lógica. Como embajadores del logicismo nos encontramos a Frege y a Russell que dentro de esta introducción hablare brevemente sobre estos. a) FREGE. Debemos considerar a Frege el padre de la lógica, esto puede que nos choque desde un primer momento pero una vez lo haya expuesto de forma breve se verá el porqué de este reconocimiento tan importante. El inicio del logicismo y de la lógica matemática se lo debemos, casi en exclusiva, a Frege. Mediante la publicación en 1879 de Conceptografía se establece un avance notorio en la lógica desde la época aristotélica no había experimentado cambio alguno. Frege reacciona contra todo lo existente, para él lo más importante es reivindicar el aspecto filosófico de la lógica. Por ello, emprende la tarea de retomar, reescribir y crear una nueva filosofía analítica. Frege proporciona una base a la moderna disciplina de la lógica mediante el desarrollo de un método más perspicaz de representar formalmente a la lógica de los pensamientos e inferencias. Frege nos dejó un gran legado que hoy en día seguimos utilizando, por ejemplo la diferenciación precisa entre una variable y una constante; o la distinción exacta entre ley lógica y regla de inferencia. El último Frege, en sus últimas obras establece una retractación absoluta de todo lo dicho anteriormente. No solo niega el logicismo y no vuelta a mencionarlo sino que además vuelve a sus influencias kantianas. Tras el padre de la lógica os encontraríamos a Russell y Whitehead. b) RUSSELL Y WHITEHEAD. Bertrand Arthur William Russell fue un filósofo británico, lógico, ensayista y crítico social más conocido por su trabajo en lógica matemática y la

filosofía analítica. Sus contribuciones más influyentes incluyen su defensa de logicismo, la refinación de Frege del cálculo de predicados, su defensa del monismo neutral y sus teorías de las descripciones definidas, atomismo lógico y tipos lógicos. Las principales aportaciones de Russell a la lógica y los fundamentos de las matemáticas incluyen el descubrimiento de la paradoja de Russell, su desarrollo de la teoría de tipos, su teoría impresionante y general de las relaciones lógicas, la formalización de las matemática de la cantidad y de los números reales y su refinación del cálculo de predicados de primer orden. La paradoja es significativa, puesto que, usando la lógica clásica, todas las sentencias son ocasionadas por una contradicción. Por tanto, el descubrimiento de Russell dio lugar a una gran cantidad de trabajo en la lógica, la teoría de conjuntos y la filosofía y los fundamentos de las matemáticas. Alfred North Whitehead fue un matemático británico, lógico y filósofo más conocido por su trabajo en lógica matemática y la filosofía de la ciencia. En colaboración con Russell, el co-autor del hito de tres volúmenes de Principia Mathematica. Más tarde, jugo un papel decisivo en la filosofía del progreso, esto guarda relación con la metafísica. Lo que hace Russell y Whitehead, al fin y al cabo, es definir de forma lógica los números como clases de clases, y de este modo, pueden reducir todas las proposiciones numéricas a cuantificadores e identidad. Llegados a este punto me parece destacar a modo de resumen que el logicismo, el cual, intenta convertir la matemática en la lógica termina fracasando. Tras este logicismo fallido surgirán los pre-intuicionistas, de los cuales pasaré a hablar a continuación. 2) PRE-INTUICIONISMO. Los aportes de los pre-intuicionistas fueron admirables en calidad y cantidad e imposible evidentemente de resumir en pocas líneas. Kronecker consideraba que los trabajos de Cantor sobre los transfinitos y sobre la teoría de conjuntos no formaban parte de las matemáticas sino del misticismo. Según Kronecker, los enteros naturales son intuitivamente claros y por lo tanto aceptables, mientras que algunas teorías como la de los irracionales son obras humanas de las cuales hay que desconfiar. La crítica global de Kronecker afirma que muchos

sectores de las matemáticas no proporcionan ni criterios ni métodos constructivos para determinar sus objetos, y esto en un número finito de pasos. Estas críticas se encuentran en los trabajos de la conocida escuela francesa. Como Kronecker, Poincaré consideraba que los enteros naturales evidentes y se burla de la complicada definición logicista del número uno por parte de Russell. Pero los conocidos como pre-intuicionistas serian matemáticos como Poincaré, baire, borel, Lebesgue y lusin. En todos ellos prevalece una actitud crítica hacia la existencia de entes que no resultan de la intuición. Esto quiere decir que no saben cómo especificar una afirmación general, como nombrar un elemento de un conjunto, o como obtenerlo de manera computacional, es decir, como pensar un algoritmo, un mecanismo o una regla que forme el ente en cuestión. Una vez que esta actitud crítica de los pre-intuicionistas se verá completada con elementos positivos y unificados se podrá hablar en sentido estricto de la doctrina intuicionista que es lo que hizo brouwer. 3) PRIMER ACERCAMIENTO AL INTUICIONISMO. a) CONCEPTO DE INTUICIÓN DE LA ÉPOCA. En este apartado me permito hacer una comparación de que sería la intuición para nosotros y a que se refieren los intuicionistas cuando hablan de intuición, como veremos más adelante, son totalmente distintos. Para los intuicionistas la intuición sugiere un contacto directo con lo aprendido, la operación del espíritu presenta el carácter de la inmediatez. Reconocen que en la intuición, lo aprendido y la operación de la mente forman un solo proceso, tienen una sola forma, por eso no se plantea el problema de la verdad-adecuación. Los intuicionistas le dan un voto de confianza al conocimiento otorgado debido a la distinción de sujeto-objeto y a la inmediatez atribuida a la intuición misma. Para brouwer, la intuición no es exactamente lo mismo que la aplicación de un algoritmo porque lo último puede hacerse mecánicamente, mientras que la intuición exige la comprensión. Según Poincaré, la matemática requiere intuición, interpretado como un elemento de compresión, no solo en el contexto del descubrimiento, pero igualmente

en el contexto de la justificación. En la aritmética, por ejemplo, la pura intuición es necesaria para justificar el principio complejo de inducción. Es necesario señalar que el termino intuición es bastante ambiguo, un hecho que es bien conocido y discutido explícitamente por el propio Poincaré. En el valor de la ciencia, se distinguió tres tipos de intuición: una apelaba a los sentidos y la imaginación, la generalización de inducción, y la inducción del número de donde viene pura el axioma de inducción en las matemáticas. Este sería el concepto de intuición de la doctrina intuicionista, pero hoy en día el significado es diferente. La intuición es la facultad de comprender las cosas al instante, sin necesidad de realizar complejos razonamientos. En el lenguaje coloquial, intuición se utiliza como sinónimo de presentimiento, en otras palabras, tener la sensación de que algo va a ocurrir o adivinar algo antes de que suceda. A nivel filosófico y epistemológico, la intuición está relacionada al conocimiento inmediato, directo y autoevidente. No requiere por lo tanto de ningún tipo de deducción. La intuición, en definitiva, está vinculada a las reacciones repentinas o a sensaciones más que a pensamientos elaborados y abstractos. Es importante señalar que la ciencia no admite que se compare la intuición con una experiencia paranormal o mágica; siempre intenta justificar aquellas cuestiones que no podemos explicar como producto de procesos mentales a los cuales no se accede mediante la conciencia y promete que, algún día, en un futuro no muy lejano, hallara las razones exactas para dichos fenómenos. b) ¿QUÉ ES EL INTUICIONISMO? Después de todo el camino que llevamos recorrido podemos intuir que es el intuicionismo pero nunca esta demás hacer una aclaración que nos permita saber con certeza a que nos estamos refiriendo. En este apartado, aparte de dar una definición de que es la doctrina intuicionista, también hablare de las características que presenta dicha doctrina. Pues bien, el intuicionismo es una doctrina filosófica que da la prioridad al conocimiento directo de ciertos objetos o verdades considerados como fundamentales en sus campos respectivos, de objetos o verdades que se

ven. La inducción produce visionarios como Platón, descartes o Poincaré. La percepción directa seria prolongada por la imaginación concreta y hasta ahí llegaría lo intuitivamente verdadero. El entendimiento, el intelecto o la razón, atados al lenguaje, a la lógica y a la abstracción son para siempre, en la tradición intuicionista, un medio sospechoso de conocer. Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas, no es gradual como una inferencia, como el conocimiento que presupone el lenguaje, como la aplicación de un algoritmo. Si el intuicionista se priva del lenguaje como medio de conocimiento, puede conocer muy pocas cosas. Hay un gran intervalo entre lo que afirmamos conocer y lo que conocemos efectivamente de manera intuitiva. Las palabras tienen una significación fija que disimula la variabilidad intrínseca de los fenómenos, los signos analizan más allá de lo justo, generalizan y reducen. Bergson critico al lenguaje matemático su incapacidad de describir la duración que él considera como lo esencial de los fenómenos, y a juicio de los intuicionistas, las verdades mueren en el momento en el que son encarnadas en las palabras. Brouwer tuvo opiniones tan fuertes como esas contra el lenguaje y su lógica, agregando que ya el hecho de dirigirse a alguien con la palabrea, como yo lo hago ahora por ejemplo, es imponer una voluntad y atentar contra la libertad. Tras todo lo dicho, y a modo de resumen, el intuicionismo se basa en la idea de que la matemática es una creación de la mente. La verdad de un enunciado matemático solo puede concebirse por medio de una construcción mental que demuestra que es verdad y la comunicación entre los matemáticos solo sirve como un medio de crear el mismo proceso mental en diferentes mentes. 4) DIFERENTES ETAPAS INTUICIONISTAS. Dentro de la doctrina intuicionista encontramos dos etapas: a) DESCONSTRUCTIVA: POINCARÉ. En la etapa destructiva los atures lo que hacen es destruir o deshacer todo lo anteriormente habían realizado los logicistas. En otras palabras, lo que hacen es desmontar y criticar una gran parte de todos los argumentos que se habían formado sobre las cuestiones

centrales de la matemática como es sabido por parte de los logicistas y todos los matemáticos que acompañaban a estos. La mayoría de estos autores encuentran el empleo de un mismo lenguaje la causa de las paradojas lógicas aunque la actividad matemática se reconoce como una actividad lingüística. Ahora pasare a hablar de uno de estos autores, en este caso, hablare del trabajo realizado por Poincaré. Henri Poincaré fue un matemático, físico teórico y filósofo de la ciencia, famoso por los descubrimientos en varios campos. Se refiere como el último gran pensador, hizo aportaciones a varias áreas de la matemática y ciencias físicas. En la filosofía es conocido por su crítica al logicismo y su convencionalismo en geometría. Con respecto al intuicionismo, se puede admitir que una de sus afirmaciones más características seria la definición del número natural. Poincaré afirmaba que el número natural es el único elemento originario totalmente del pensamiento matemático. Poincaré consideraba que los números enteros y los naturales eran evidentes, son famosas sus numerosas burlas a la complicada definición del número propuesta por Russell. No obstante, junto a la intuición objetiva del número aparece también la intuición operativa del principio de inducción, es decir el razonamiento matemático. Poincaré también se oponía enérgicamente a la visión russelliana de la matemática como extensión de la lógica. Expresaba su convencimiento sobre el carácter sintético de las matemáticas poniendo como ejemplo el principio de inducción completa. También establecía una comparación de la matemática y la lógica con el ajedrez. Afirma que las reglas del ajedrez, como las de la lógica, nos indican que movimiento puede hacer cada jugador pero no dan un razonamiento por el cual ejecutan un determinado movimiento o el orden que debe de seguir. No considera que la matemática sea una enorme tautología donde cada enunciado pueda obtenerse de otro mediante una serie de reglas lógicas formales. Otro punto importante a destacar del pensamiento de Poincaré es la negación de la existencia de infinito actual. Con esta negación también niega la imposibilidad de las definiciones impredicativa. Poincaré repudio tanto la teoría de conjuntos propuesta por cantor como el logicismo. El argumento que proporciono a tal rechazo fue

que, según él, en la matemática se requiere más que solo la lógica, en otras palabras, se necesita también de la intuición, de la cual, según él había varias clases. b) CONSTRUCTIVA: BROUWER. En la fase constructivista, lo que hacen estos autores es reconstruir todo lo desecho por la anterior fase, aquí es donde tiene mayor importancia la doctrina de Brouwer, considerado el padre del intuicionismo. i) BIBLIOGRAFÍA BREVE. Brouwer fue un matemático y filósofo de origen holandés, se le conoce como “LEJ Brouwer”, pero sus amigos le llamaban Bertus. Fue el fundador de la topología moderna (estudio de los planos) estableciendo la invariancia topológica de dimensión y el teorema del punto fijo, fue el primero en dar una definición correcta de dimensión. En la filosofía, destaco por su idea del intuicionismo, de hecho, se le conoce como el padre de esta teoría. Entendiendo el intuicionismo en las matemáticas como una actividad que realiza de forma libre la mente, independiente de cualquier lenguaje, esto quiere decir, que las matemáticas se fundarían en una filosofía de la mente. ii) DOS ACTOS INTUICIONISTAS. Una vez que brouwer estudio las matemáticas de los preintuicionistas y de los formalistas llego a la conclusión siguiente que determino su orientación filosófica y matemática: una parte de las matemáticas es autónoma, es decir, exacta, absoluta, confiable y universalmente reconocida sin tener necesidad de la lógica ni del lenguaje. Las dos tesis principales de la filosofía intuicionista, o actos del intuicionismo, son los siguientes: el primer acto intuicionismo, escribe brouwer, es aquel que separa completamente las matemáticas del lenguaje matemático, y en particular, de los fenómenos del lenguaje descritos por la lógica teórica, y reconoce que la matemática intuicionista es esencialmente una actividad mental desprovista de lenguaje cuyo origen se encuentra en la percepción del movimiento del tiempo, es decir, de la separación

de un momento de vida en dos cosas distintas, una de las cuales hace surgir la otra pero queda retenida por la memoria. El segundo acto del intuicionismo o segunda tesis, es constructivo y prolonga lo que el primer acto hace posible; así el autodesarrollo de la intuición primordial del paso del tiempo es la base de la construcción de los números naturales y del continuo intuicionista. iii) MATEMÁTICA EN RELACIÓN CON LA FILOSOFÍA DE LA MENTE. Para brouwer la matemática es una arquitectura interior, mental. Una de las fuentes principales del intuicionismo brouweriano, Kant, había visto en el tiempo y en el espacio, que son según el formas puras a priori de la sensibilidad, la posibilidad de los juicios sintéticos a priori de las matemáticas. El intuicionismo brouweriano puede ser asociado solo parcialmente a Kant porque, por una parte, si bien para ambos las matemáticas dependen del tiempo y este está íntimamente ligado al sentido interno, a la conciencia, por otra parte de los dos solo brouwer piensa que se puede reducir la geometría al algebra, como lo mostro descartes. iv) MATEMÁTICA Y MOVIMIENTO. Brouwer mediante su descripción del movimiento del tiempo habla de la matemática argumentando que se trata de una actividad interna de la mente que conduce a construcciones que cada vez resultan de mayor complejidad a partir de una serie de intuiciones elementales. Aquí, el lenguaje estaría en segundo plano, realizando la acción de retener las construcciones o transmitirlas a otros seres, pero no nos da la opción de inventar nuevos sistemas matemático. En el siguiente apartado mencionare la diferencia que establece brouwer sobre el lenguaje y las matemáticas que fue bastante importante para su pensamiento. v) DISTINCIÓN MATEMÁTICA Y LENGUAJE. Se produce una separación importante entre la matemática y el lenguaje. Esto ocurre al obtener la matemática un papel más significativo y notorio que el lenguaje, pero esto no quiere decir que el lenguaje pierda su importancia, puesto que, sin él no se podría comunicar ningún proceso u operación matemática.

Brouwer realiza una separación entre la matemática del lenguaje y de la lógica. Esta distinción lo lleva a concebir dos tipos de contradicciones: la contradicción lógica de la contradicción matemática. La contradicción lógica no es más que un hecho lingüístico; en cambio, la contradicción matemática es la imposibilidad de efectuar una construcción. La presencia de un elemento matemático esta dad por la contingencia de su edificación mental y de esta forma la ruptura de matemática y lenguaje conduce al intuicionismo a una manera de constructivismo. E intuicionismo que realiza brouwer negaba la tesis que defendía el logicismo, alegaba que la matemática no era ninguna construcción lógico-simbólica, sino que la matemática es ingenio que la lógica demuestra pero es con la intuición como se inventa esta. Brouwer confirmaba de forma rotunda que la matemática es una producción libre del pensamiento sin reducción alguna a objetos o símbolos. 5) TEMAS TRATADOS POR LOS INTUICIONISTAS. a) EL PROBLEMA DEL INFINITO. Un intuicionista, en el sentido filosófico o matemático del término, hace hincapié en el hecho que no hay conocimiento sin contacto concreto con lo que se describe o en el hecho que no hay conocimiento sin contacto concreto con lo que se describe o se afirma, que el sujeto es un ser humano cuyos órganos sensoriales e intelectuales son limitados o finitos. Así el método por excelencia, tanto en las ciencias naturales como en las matemáticas, tienen que ser la inducción puesto que todo contacto de una mente finita con algo no puede ser sino parcial, local y de ahí se intentara generalizar. Nuestro hori...