VL 9 Körper geometrische Modelle PDF

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Zusammenfassungen zur Mathe VL Geometrie bei Plackner SS_15...

Description

Elemente der Schulgeometrie – Körper – Geometrische Modelle

Bewusstheit gegenüber … Lernvoraussetzungen Lernprozessen

auf Seiten des Lehrenden UND des Lernenden

Verhaltensmustern Systematik des Inhalts

Vom Sinn des Innehaltens Bewusstheit entsteht in der Regel dann, wenn wir stutzig werden, und, anstatt sofort zu handeln, innehalten, um die verschiedenen Verhaltensmöglichkeiten im Geiste durchzugehen. Donaldson (1982). Wie Kinder denken: 105 - 106

„…als Lehrer kann man nur auf die Bewusstheit der Schüler Einfluss nehmen.“ Die Mathematik ist durch die Tatsache charakterisiert, dass die von ihr studierten Objekte gedanklicher, nicht materieller Natur sind, und durch die Art und Weise wie Behauptungen begründet werden. Vom Standpunkt des Lehrers aus ist der Mathematikunterricht dadurch bestimmt, dass psychologische und soziale Methoden des Beobachtens angewandt werden, um die mathematische Bewusstheit der Schüler und ihre inneren Kräfte anzuregen und hervorzulocken, damit sie fähig werden, mit den Gedankenobjekten der Mathematik umzugehen und darüber zu kommunizieren. (John Mason 1987)

Modelle Hohlmodell, Vollmodell, Kantenmodell

Vollkörpermodelle Vorteile -

Deckflächen klar erkennbar/ beschriftbar (sehr stabil) plastisch nützlich, um Ecken, Kanten und Flächen zu besprechen Netze können gestempelt werden Tastübungen

Nachteile -

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nicht zerlegbar (aber: bei Körperschnitten entstehen Teilkörper) nicht alle Kanten sichbar Volumen schwer vergleichbar (aber wenn Modelle aus gleichem Material vorliegen, kann die Masse verglichen werden)

Kantenmodelle Vorteile -

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alle Kanten/ Ecken in Frontansicht einsehbar nachbauen (selbst probieren) Umfangberechnung nützlich, um Anzahl der Ecken und Anzahl der Länge der Kanten zu besprechen Schrägbild kann gut abgezeichnet werden Raumdiagonalen können eingezogen werden (besser veranschaulichen) Winkel können erkannt werden

Nachteile -

je nach Material instabil Oberflächen müssen hinzugedacht werden Kugeln an den Ecken verfälschen den Eckenbegriff

Hohlmodelle Vorteile -

Volumenbetrachtung, wenn man Wasser reinfüllt Körpernetze gut sichtbar, wenn man Modell auseinander nimmt aus Papier herstellbar (Material einfach zu beschaffen)

Nachteile -

kann sich verformen, wenn es nicht aus Plexiglas besteht

Würfel

Körper herstellen und zerlegen -

Körper aus Papier an den Kanten auseinanderschneiden Netz (alle Seitenflächen an Kanten zusammenhängend)

Raum-Vorstellung Welcher Würfel passt zum Netz?

Käfer-Wege Ein Käfer bewegt sich auf einem Würfel mit der Kantenlänge 5 cm vom Punkt A auf dem kürzesten Weg zum Punkt B …

Körperformen

Klassifikation -

nur gradlinige Flächen oder mit krummlinigen Flächen Grund- und Deckfläche oder Grundfläche und Spitze

Statische Definition Ein Zylinder (von griech.: kylíndein = rollen, wälzen) ist ein Körper, der von zwei parallelen, ebenen krummlinig begrenzten Flächen (Grund- und Deckfläche) und einer Mantel- bzw. Zylinderfläche, die von parallelen Geraden gebildet wird, begrenzt wird.

Dynamische Definition -

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Ein Kreiszylinder ist die Punktmenge des Raumes, die überstrichen wird, wenn man eine ebene Kreisfläche parallel zu sich im Raum verschiebt. Verschiebungsvektor orthogonal zur Ebene der Grundfläche: gerader Kreiszylinder

Dynamische Vorstellung II Drehkörper / Rotationskörper -

Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet werden. Sowohl Kurve als auch Achse liegen in einer gemeinsamen Ebene.

(Legt man so, dass die Rotations-Achse mit der x-Achse zusammenfällt, so kann die Kurve beschrieben werden als Graph von y=f(x) / Integralrechnung)

Rotationskörper

…schon bei Euklid Buch XI Raumlehre, 21. und 22. Def. „Dreht man ein Rechteck ganz um eine Seite so entsteht ein Zylinder.“ „Die Grundflächen des Zylinders sind die beiden Kreise die bei der Drehung durch die an die Achse anliegenden Seiten erzeugt werden.“

Prisma Ein Körper, der von zwei kongruenten, in parallelen Ebenen liegenden n-Ecken als Grundflächen und von n Parallelogrammen als Seitenflächen begrenzt wird, heißt nseitiges Prisma. Sind alle Seitenflächen Rechtecke, so heißt das Prisma gerade; in allen anderen Fällen spricht man von schiefen Prismen.

Warum handelt es sich bei diesen Körpern nicht um Prismen?

Oberfläche - Mantelfläche -

Mantelfläche bei geraden Prismen besteht aus Rechtecken Anzahl der Rechtecke wird durch Form der Grund- und Deckfläche bestimmt

Quader Ein Quader ist ein geometrischer Körper, der von sechs Rechtecken begrenzt wird.

Würfel und Quader – Vorwissen eines Viertklässlers

Würfel Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, der von sechs Quadraten begrenzt wird.

Pyramide

Begriffe der Pyramide

Definition der Pyramide Ein Körper, der von einem ebenen nEck und von n Dreiecken (deren Eckpunkte jeweils zwei benachbarte Punkte dieses n-Ecks und ein fester Punkt S sind) begrenzt wird, heißt nseitige Pyramide. Liegt der Punkt S senkrecht über dem Mittelpunkt eines regelmäßigen n-Ecks, so heißt die Pyramide gerade; in anderen Fällen spricht man auch von schiefen Pyramiden.

Kugel Die Menge aller Punkte X des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kugel(fläche) k mit einem Mittelpunkt M und dem Radius r:

Geometrische Körper in der Grundschule

Eine Vierklässlerin erklärt Würfel und Quader:...