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Zusammenfassung Sachrechnen 1. Didaktik des Sachrechnens 1.1 Der Begriff „Sachrechnen“

Sachrechnen ist der „Oberbegriff für die Auseinandersetzung mit Aufgaben, die einen Bezug zur Wirklichkeit aufweisen“. Wechselspiel von Umwelt, Mathematik und Schüler

Umwelt

Mathematik

Schüler

1.2 Geschichtliches zum Sachrechnen

„Traditionell“: Betonung auf dem Rechnen; mathematisches Modellieren von Umweltsituationen; Sache spielt keine allzu große Rolle; starke Verknüpfung mit arithmetischen Unterrichtsinhalten

„Neu“: entstand in den 80. Jahren des 20. Jh.; soll dem Erschließen von Sachsituationen aus dem Alltag, der Umwelt oder einer Fernwelt dienen; Sachrechnen dient nicht vordergründig dem Anwenden des Rechnens (es sollen Fach-, Sach-, und Kindorientierung miteinander verbunden werden) Zum Sachrechnen gehört mehr als nur Rechnen: Messen, Zählen, Schätzen, Vergleichen, Daten erfassen und darstellen, Zufallsprozesse beschreiben, Zuordnungen.

1.3 Ziele und Funktionen des Sachrechnens

Sachorientierung Ziel: Umwelterschließung

Sachorientierung Ziel: Umwelterschließung

Kindorientierung Ziel: Problemlösefähigkeiten auf- & ausbauen

Ziele des Sachrechnens nach Winter 1) Anwendung von Mathematik bzw. Modellierung von Mathematik

1) Anwendung von Mathematik bzw. Modellierung von Mathematik - Sachrechnen als Anwendung des Rechnens - Betonung der Fachorientierung

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- Einseitiger Schwerpunkt Arithmetik (aktuelles Thema aus der Arithmetik bestimmt zu behandelnde Sachaufgabe) PRO Verbindung zwischen den jeweiligen Operationen & einfachen Situationen im täglichen Leben werden deutlich !

KONTRA

- Aufgaben haben zwar Realitätsbezug, sind aber künstlich

- Sachbezug ist stark reduziert - Die Sache ist in der Regel sogar austauschbar

Beispiel: 1. Im Kühlschrank stehen zehn Gläser Erdbeermarmelade und vier Gläser Orangenmarmelade. Wie viele Marmeladengläser sind es zusammen? 2. Auf einem Flohmarkt verkauft Frau Kratz fünf Kinderbücher zu je 4€ und acht spiele zu je 6€. Wie hoch ist ihr Gewinn, wenn sie 6€ Standgebühren zahlen muss? Möglichkeiten im aktiv-entdeckenden Unterricht → Welche Rechengeschichte passt zu 24:3? Welche nicht? Warum? → Schreibe Rechengeschichten zu 17-5, 22:3,.. 2) Entwicklung allgemeiner Problemlösefähigkeiten

- Sachaufgaben können in der Regel nicht algorithmisch gelöst werden - Betonung der Kindorientierung - individuelle Bearbeitungswege müssen erst erschlossen werden PRO

- Entwicklung und Anbahnung heuristischer Strategien

- Probierendes Vorgehen lässt sich zunehmend

HINWEIS Sachaufgaben im traditionellen Sinne eignen sich nicht als Aufgabenmaterial zum Probemlösen

systematisieren

Beispiel: Ein Esel und ein Maultier sind mit schweren Säcken beladen. Sie trotten nebeneinander her. Dabei stöhnt der Esel fürchterlich unter der großen Last. Das Maultier spricht zu ihm: „Warum stöhnst du denn so? ich trage doch mehr Säcke als du. Würdest du mir einen abnehmen, dann hätten wir gleich viele Säcke auf dem Rücken. Würdest du mir aber einen Sack abgeben, so hätte ich dreimal so viele Säcke wie du.“ Wie viele Säcke trägt das Maultier, wie viele der Esel? Exkurs: Heuristik:

Lehre, Wissenschaften von den Verfahren Probleme zu lösen; methodische Anleitung, Anweisung zur Gewinnung neuer Erkenntnisse. (Duden) Heuristische Strategien:

-

Analogiebildung: Vergleichbare Aufgaben suchen Suchraumeingrenzung: Wie groß ist das Ergebnis in etwa? Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten: Anwenden verschiedener Strategien (Teufel Aufgabe) Hilfsmittel konstruieren: Tabelle, Skizze, sonstige Hilfsmittel

- Zerlegen in Teilschritte: Was kann man als erstes berechnen?

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3) Umwelterschließung

-

Betonung der Sachorientierung Sachaufgaben sollen zur Alltagsbewältigung beitragen (Rechnungen, Größen abschätzen,…) Situationen müssen komplex sein und dürfen nicht reduziert werden Projektarbeit bietet sich an

PRO

- Es lässt sich eine Verbindung zw. mathematischer Welt & Alltagswelt herausstellen. - Kinder erleben die Mathematik als Werkzeug, als Hilfsmittel zur Bewältigung von Alltagsproblemen. - Die Mathematik tritt teilweise in den Hintergrund, sodass Kinder die Mathematik gar nicht bewusst wahrnehmen

KONTRA

- Die Umsetzung von Projekten erweist sich als schwierig & Zeitintensiv.

- Für die Grundschule findet man wenig echte für Kinder interessante Sachthemen.

- Lernen erfolgt in einem situativen Kontext. - Das erworbene Wissen ist nur in Abhängigkeit von der speziellen Lernsituation verfügbar.

Beispiel: Fermi- Aufgaben: Wie lange würdest du brauchen, um zu Fuß von Landau nach Flensburg zu kommen?

Funktionen des Sachrechnens nach Winter

Die Konzentration auf nur eins der drei Ziele ist nicht sinnvoll. Erfolgreiches Lernen erfordert das Wechselspiel der drei Zielsetzungen

1) Sachrechnen als Lernstoff (mathematische Inhalte) (heißt: etwas lernen was man noch nicht kann)

- Sachrechnerischer Stoff muss „bürgerliche Größe“ enthalten - es gilt Wissen über Größen und Fertigkeiten im Umgang mit Größen aufzubauen - Erfahrungen mit elementaren Verfahren und Begriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (Umgang mit Daten und Größen)

- Sachrechnen ist mehr als Rechnen; es ist eigener Lernstoff - Im Vordergrund stehen: • Zählen, Messen und Schätzen als Methoden zum Gewinnen von Daten! → Zählen: Haben wir mehr oder weniger Mädchen oder Jungen in der Klasse? ! Wie viele Schultage haben wir im Kalenderjahr?! →Messen: Wie groß ist der Durchmesser einer Münze?! →Schätzen: Hier ist eine Banane, schätze wie schwer sie is. • Kennenlernen der Maßsysteme und verankern von Stützpunktwissen (Einheiten und Repräsentanten für Einheiten und Zahlen) • Modellieren, Symbolisieren, Zeichnen als Methoden des Darstellens von Daten • Sortieren, Anordnen von Daten, Rechnen mit Größen als Formen der Verarbeitung von Daten.

Beispiel: Wie oft müssen sich die Kinder aus deiner Arbeitsgruppe aufeinander stellen, um ungefähr so groß zu sein wie der Kirchturm der St. Michels Kirche in Hamburg? Der Turm ist 132m hoch.

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2) Sachrechnen als Lernprinzip

- von den Erfahrungen der Kinder ausgehen und dadurch Interesse wecken - Sachsituationen als Ausgangspunkt von Lernprozessen - mathematische Begriffe, Verfahren und Zusammenhänge werden verlebendigt, verdeutlicht, veranschaulicht und eingeübt, wenn sie sich im alltäglichen Situationen wiederfinden lassen

- Interpretation einer Situation unter einem mathematischen Blickwinkel (Verbindung von Mathematik &

Sache als Lernprinzip) Beispiel: Für unser Klassenfest 40 Brötchen, 20 Tomaten, 32 Scheiben Käse, … Teile die mitgebrachten Dinge auf. 20 Tomaten. Pro Teller 5 Tomaten, wie viele Teller werden benötigt? 3) Sachrechnen als Lernziel

- Sachsituationen sollen durch mathematisches Modellieren besser verstanden, bewusster erlebt und

kritischer gesehen werden - Erwerb von fachunabhängigen Kompetenzen durch Modellierungsprozesse/Problemlöseprozesse - Sachrechnen muss im Unterricht die Funktion erfüllen, einen wesentlichen Beitrag zur Umwelterschließung des Kindes zu leisten

1.4 Sachrechnen in den Bildungsstandards

Die Bildungsstandards beschreiben mathematische Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler am Ende der vierten Jahrgangsstufe erreichen sollen. Es wird zwischen inhaltsbezogenen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen unterschieden.

→ es geht um den Lösungsprozess

Einteilung früher (zum Vgl.) → Sachaufgaben lösen, Ergebnisse auf Plausibiliät prüfen, System variie

→ können in allen Leitideen auftauchen

Intention!: keine Einschränkung durch traditionelle Einteilung

Sachrechnen tritt nicht als Leitidee auf. Sachrechnen ist in den anderen Leitideen integriert. Sachrechnen erhält über die allgemeine mathematische Kompetenz Modellieren zusätzliches Gewicht. Zahlen und Operationen (in Kontexten rechnen)

- Sachaufgaben lösen, dabei die Beziehung zw. Sache und einzelnen Lösungsschritten beschreiben - Ergebnis auf Plausibilität prüfen

- bei Sachaufgaben entscheiden, ob Überschlagsrechnung ausreicht oder genaueres Ergebnis nötig ist - einfache kombinatorische Aufgaben (z.B. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw. systematisches Vorgehen lösen

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Allgemein mathematische Kompetenzen 1.) Problemlösen

- mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten & Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden

- Lösungsstrategien entwickeln & nutzen (z.B. systematisches Probieren) - Zusammenhänge erkennen, nutzen & auf ähnliche Sachverhalte übertragen Beispiel: Zahlengitter Lösungsstrategien entwickeln und nutzen - Unsystematisches/systematisches Probieren - Ableiten von Pluszahl-Paaren aus einem Tauschpaar - Zerlegen der Mittelzahl in zwei Summanden - Operatives Verändern der Pluszahlen

2.) Kommunizieren

- eigene Vorgehensweise beschreiben, Lösungswege anderer verstehen & gemeinsam darüber reflektieren - mathematische Fachbegriffe & Zeichen sachgerecht verwenden - Aufgaben gemeinsam bearbeite, dabei Verabredungen treffen & einhalten 3.) Argumentieren

- mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen - mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln - Begründungen suchen und nachvollziehen

Beispiel: Dreier-Zahlenmauer (Die Basissteine werden vertauscht unter welcher Bedingung wird die Zahl im Zielstein am größten? Stelle eine Vermutung auf) 4.) Modellieren

- Sachtexte und andere Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen - Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch läsen und diese Lösung auf die Ausgangssituation beziehen

- zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben formulieren Beispiel: 4000 Schüler, 48 Klassen, kann das stimmen? → Nein, das wären ca. 80 Schüler pro Klasse. 4000 : 50 (überschlagen) = 80 5.) Darstellen

- für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen - Darstellung in eine anderen übertragen - Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten Beispiel: große Hunde & kleine Hunde

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Verknüpfung der inhaltsbezogenen und prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen

1.5 Typen von Sachaufgaben Traditionelle Einteilung:

- Eingekleidete Aufgaben

• der Sachkontext ist unwichtig & austauschbar • die Formulierung gibt Auskunft über die zu verwendeten Rechenoperationen • Ziele: Anwenden v. Rechenverfahren; Festigen mathematischer Begriffe; Erfassen von Zahlbeziehungen Beispiele: 1. 35 Luftballons werden an 7 Kinder verteilt. Wie viele Luftballons erhält jedes Kind? 2. Was ist das Fünffache von 8? 3. Der Vater hat ein Schlüsselbrett gebastelt. Es hat drei Reihen mit je 8 Haken, Wie viele Schlüssel kann man aufhängen? 4. Welche Zahl ist um 3 größer als die Hälfte von 30?

- Textaufgaben

• Aufgaben in Textform, bei denen die Sache zwar sinnvoll, aber nebensächlich ist • Reihenfolge der Angaben im Text muss nicht der Reihenfolge ihrer Verwendung in einem mathematischen Term / einer mathematischen Gleichung entsprechen Eindeutige Bearbeitung und meistens genau eine Lösung • • Textaufgaben bildeten den Schwerpunkt des traditionellen Sachrechnens (auch Sachrechenaufgaben genannt) • Ziele: Zusammenhang zwischen den angegebenen Zahlen erkennen; Zuordnung einer mathematischen Gleichung (Schwierigkeit: Übertragung der Textstruktur in eine mathematische Struktur) Beispiele: 1. Frau Schneider kauft für 88 € Vorhangstoff. Der Preis für 1 m beträgt 8 €. Wie viel Stoff hat Frau Schneider gekauft? 2. Herr Tietze hat 1972 € auf seinem Lohnkonto. Er überweist 624 € für Miete, 48 € für Gas und Elektrizität sowie 16 € Vereinsbeitrag. Und er hebt 900 € ab.

- Sachaufgaben

• die Sachsituation stellt einen Bezug zu den Alltagserfahrungen der Kinder her • Mathematik ist Hilfsmittel zur Bearbeitung • Mathematische Verarbeitung soll das Verständnis der Sache unterstützen • Anwendung mathematischen Wissens in realistischen Situationen Beispiele: 1. Planung eines Schulfestes, einer Klassenfahrt 2. Erkundung im Zoo, Daten selbst sammeln 3. Klassenausflug mit Bus oder Bahn. Was ist preiswerter, praktischer? Welche Kosten kommen

noch hinzu?

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Weitere Unterscheidungsmöglichkeiten / Einteilungsmöglichkeiten

- Einteilung der Aufgaben nach der beschriebenen Situation • Sachaufgaben zu realen Situationen - einfache Sachaufgaben - Sachprobleme - Sachtexte - Projekte • Sachaufgaben zu fiktiven Situationen - Märchen und Fantasiegeschichten - Denk- und Knobelaufgaben - Scherz- bzw. Kapitänsaufgaben - Sachaufgaben in Kinderbüchern

- Einteilung der Aufgaben nach dem mathematischen Inhalt • • • • •

Sachaufgaben mit vorwiegend geometrischem Inhalt Sachaufgaben mit vorwiegend stochastischem Inhalt Sachaufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt Sachaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen Sachaufgaben zum Aufbau von Größenvorstellungen

- Einteilung der Aufgaben nach der Präsentationsform • • • • • • •

reale Phänomene authentische Materialien und Imitationen Bildaufgaben Bild-Text- Aufgaben Textaufgaben Sachtexte Projekte

Einteilung der Aufgaben nach Simplex- und Komplexaufgaben Unterteilung der Aufgaben: Welche?: (Text-) Aufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt Worin?: nach arithmetischer Struktur und semantischer Struktur Was sind Simplex- und Komplexaufgaben?

SIMPLEXAUFGABEN

KOMPLEXAUFGABEN

Aufgaben, bei denen nur zwei Größen gegeben sind und sich eine dritte daraus eindeutig berechnen lässt.

Aufgaben, die mehrere zusammenhängende Simplexe enthalten.

z.B. Ein Verein will eine Busfahrt unternehmen. Die Fahrt kostet 20 €. Jeder muss 2,50 € bezahlen. Aus wie vielen Personen besteht der Verein?

z.B. Gerd und Gerda sammeln Kastanien, Gerd fand 13, Gerda fand 19. Sie wollen ihren Fund teilen. Wie viele Kastanien erhält jeder?

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Es wird unterschieden nach: 1.) Additiven Simplexen Auf dem Teich schwimmen 12 Enten, 5 fliegen weg. Wie viele Enten sind jetzt noch auf dem Teich? Martin ist 12 Jahre alt. Er ist 7 Jahre älter als sein Bruder. Wie alt ist sein Bruder?

➳ Operationserkennungsfaktor = Schwierigkeitsfaktor Erkennungsleistung unterstützen (Renate Rasch):

- beim Erarbeiten von Rechenoperationen auf vielfältige Sachsituationen aufmerksam machen, bei denen die jeweilige Operation zugrunde liegt

- Erkennen/Wiedererkennen der Operation(en) über den Sachverhalt trainieren — Wahl der Rechenoperation begründen lassen Grundvorstellung/Grundveranschaulichung der Operationen Addition und Subtraktion Addition: zu einer Menge von Gegenständen kommen welche dazu Grundmodell: a + b = x Subtraktion: von einer Menge von Gegenständen werden welche weggenommen Grundmodell: a - b = x

-

Das Grundmodell ist in der Regel ein Handlungsprozess, ein dynamischer Vorgang. Aufgaben werden schwieriger je weiter sich die Aufgabensituation vom Grundmodell entfernt. Der Schwierigkeitsgrad kann sich durch Veränderung der mathematischen Struktur erhöhen. Der Schwierigkeitsgrad kann durch semantische Aspekte beeinflusst werden.

Exkurs: Schwierigkeiten im Verstehensprozess

-

Vor- und Erfahrungswissen Arbeitsgedächtnis Repräsentationsbedingte Schwierigkeiten mathematisch bedingte Schwierigkeiten sprachlich bedingte Schwierigkeiten semantische Aspekte

Semantische Aspekte

Dynamische Situationen: sind meist einfacher zu interpretieren als statische; spiegeln eine Handlung wider, die zugehörige Rechenoperationen können leichter erkannt werden Statische Situationen: es wird etwas gegenübergestellt oder miteinander verglichen; die Zuordnung einer passenden Rechenoperation fällt oft schwerer Beispiel: Paul hat 3 Steine, Anna hat 5 Steine. Zusammen haben sie 8 Steine. Hier wird eine statische Situation beschrieben. Sie wird aber auch dem Grundmodell zugeordnet. Sprachlich bedingte Schwierigkeiten

Verben und andere Satzbausteine können die zugrunde liegende Operation mehr oder weniger deutlich machen. Wenn der Text, einzelne Sätze oder die Bedeutung einzelner Wörter nicht verstanden wird, dann hat dies zur Folge, dass die geschilderten Zusammenhänge und dessen Strukturen nicht als Ganzes erfasst werden. Sachrechnen erfordert ausgeprägte sprachliche Kompetenzen, um geschilderte Sachsituationen richtig zu erfassen.#

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Niveaustufen : Additive Simplexe NIVEAU 0 — Aufgaben, die dem Grundmodell entsprechen →direkte Einheiten

Auf einem Teich schwimmen 7 Enten, 5 kommen hinzu (oder fliegen weg). Oder: 5 Enten kommen von links und fliegen auf den Teich, 7 Enten kommen von rechts angeflogen. Wie viele Enten sind dann auf dem Teich?

NIVEAU 1 — Andere Sachsituationen, aber dynamisches Grundmodell des Mehr- oder Wenigerwerdens bleibt erhalten → abstrakte Einheiten Uwe hat 7 €. Er verkauft sein altes Mathematikbuch für 5 €. Er hat 12 € und schenkt seiner Schwester davon 5 €. Uwe bekommt von seinem Onkel 5 € und von seiner Tante 7 € geschenkt. Wie viele hat er dann? Uwe ist 8 Jahre alt. Wie alt ist er in 4 Jahren? Wie alt war er vor 3 Jahren? Verben wie: kaufen, verkaufen, verschenken, geschenkt, bekommen, verlieren, gewinnen..; Vereinigung Älter werden, jünger werden

NIVEAU 2 — Aufgaben können nur über entsprechende Umkehraufgaben gelöst werden; dynamischer Charakter bleibt erhalten

Martin will mit seinem Geld zum Jahrmarkt gehen. Sein Onkel schenkt ihm noch 7 € dazu. Jetzt hat er 12 €. Wie viel Geld hatte er vorher? (x + a = b) Martin hatte 6 €. Nachdem ihm sein Onkel noch etwas geschenkt hatte, besaß er 13 €. (a + x = b) Martin hatte 12 €. Nach dem Einkauf hatte er noch 9 €. (a - x = b) Martin kaufte etwas für 6 €. Danach hat er noch 7 €. (x - a = b) NIVEAU 3 — Statische Vergleiche; es findet kein dynamischer Prozess mehr statt

Uwe hat 12 €, Martin hat 7 €. Wie viel hat Uwe mehr? (mehr: Schlüsselwort für Addition, hier aber Subtraktion) Uwe hat 13 €, Martin hat 5 €. Wie viel hat Martin weniger? Schwieriger (sprachliche Formulierung): Uwe hat 12 €. Das sind 5 € mehr als sein Freund hat. Wie viel hat sein Freund? Die sprachliche Formulierung wirkt hier erschwerend: „mehr als“, obwohl subtrahiert werden muss. NIVEAU 4 — Aufgabe zum Ausgleichen; teilweise ist mehr als eine Operation auszuführen

Martin hat 5 €. Martina hat 13 €. Wie viel müsste Martina an Martin abgeben, damit beide gleich vie haben? Martin und Martina haben zusammen 20 €. Martin hat 6 € mehr als Martina. Wie viel hat Martin, wie vie Martina?

Weitere Unterteilung mit Blick auf die semantische Struktur

- Kombinationsaufgaben: Tom hat 4 Äpfel. Paul hat 5 Äpfel. Wie viele Äpfel haben beide zusammen? - Austauschaufgaben: Tom hat 5 Nüsse. Dann gab im Tanja 4 Nüsse. Wie viele Nüsse hat Tom jetzt? !

→ werden häufiger richtig gelöst als Vergleichsaufgaben (Austauschphasen haben einen dynamischen Charakter, sie spiegeln dadurch die Rechenoperation gut wieder)

- Vergleichsaufgaben: Lea hat 5 Murmeln. Maren hat 5 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Lea mehr als Maren? → es werden Größen gegenübergestellt, kein deutlicher Hinweis auf die passende Rechenoperation

- Ausgleichsaufgabe: Anton wünscht sich einen Computer für 1299 €. Von Oma hat er 800 € erhalten. Den

Rest des Kaufpreises zahlen seine Eltern. Wie viel Geld müssen...