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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu Inhaltsverzeichnis

1. Grundlagen zu Vektoren, Ebenen und Geraden 1. Das Koordinatensystem 2. Ortsvektor, Richtungsvektor 3. Aufbau und Aufstellung von Geradengleichungen 4. Aufbau und Aufstellung von Ebenengleichungen 2. Rechnen mit Vektoren 1. Länge eines Vektors 2. Skalarprodukt 3. Kreuzprodukt + Normalenvektor 4. Hessesche Normalenform 5. Mittelpunkt + Punktprobe 6. Spurpunkte bei Geraden und Ebenen 3. Umwandeln von Ebenengleichungen 1. Von der Parameterform zur Koordinatenform 2. Von der Koordinatenform zur Parameterform 4. Begründen und beweisen 1. Quadrat, Rechteck und Parallelogramm 2. Drachenviereck, Trapez und Raute 3. Dreiecke 5. Lagebeziehungen 1. Lagebeziehungen von Geraden zu Geraden 2. Lagebeziehungen von Ebenen zu Ebenen 3. Lagebeziehungen von Ebenen zu Geraden 6. Abstände 1. Abstand Punkt - Punkt 2. Abstand Punkt – Ebene 3. Abstand Punkt – Gerade 4. Abstand Ebene – Gerade 5. Abstand Ebene – Ebene 6. Abstand Gerade – Gerade 7. Schnittwinkel

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 1.1 | Das Koordinatensystem Als Koordinatensystem dient das kartesische Koordinatensystem mit drei verschiedenen Achsen. Diese werden x-, y-, z-Achse oder x1-, x2-, x3-Achse genannt. Die x1/x-Achse wird zum Betrachter hin positiv und nach hinten hin negativ. Die Punkte werden allgemein gesehen jeweils mit P(x|y|z) bezeichnet. Koordinaten der drei Achsen (allgemein):  x-Achse: (x|0|0)  y-Achse: (0|y|0)  z-Achse: (0|0|z)

1.2 | Ortsvektor, Richtungsvektor Ein Vektor  AB bezeichnet eine Verschiebung in der Ebene oder in einem Raum. Grafisch wird  BA der Vektor durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt A zum Punkt B zeigt. Der Vektor  zeigt in die entgegengesetzte Richtung, ist aber genauso lang wie . AB Gegeben sei der Ursprung (0 | 0) und Punkt P (5 | 2| 3|). Der Vektor vom Ursprung zum Punkt P nennt sich Ortsvektor zum Punkt P. Ortsvektoren gehen immer vom Ursprung aus. Man rechnet ihn aus, indem man den Punkt P als Vektor aufschreibt. Der Ortsvektor wird dann als Vektor  OP bezeichnet. Richtungsvektoren können jeden Punkt als Startpunkt haben. Sie werden so ausgerechnet:  AB= OB −  OA . Man subtrahiert seinen Zielortsvektor von seinem Startortsvektor. Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleich lang sind und in die gleiche Richtung zeigen. Richtungsvektoren können durch die Multiplikation mit einer Zahl / Konstante vervielfacht werden (oder so in die entgegengesetzte Richtung zeigen). 1.3 | Aufbau und Aufstellung von Geradengleichungen Um eine Geradengleichung zu erstellen, wird ein Stützvektor sowie ein Richtungsvektor benötigt. Mithilfe zweier Punkte kann man schon eine Geradengleichung aufstellen. Der Nullvektor

() 0 0 0

wird bei Gleichungen jeglicher Art oft weggelassen. Eine Geradengleichung kann zum Beispiel so aussehen: g: x = OB +k ∗  BA; k ∈ ℝ .

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 1.4 | Aufbau und Aufstellung von Ebenengleichungen Eine Ebenengleichung in Parameterform ähnelt der Geradengleichung. Jedoch werden hier zwei Richtungsvektoren benötigt. Eine mögliche Ebene wäre zum Beispiel E : X= OB+k ∗  BA+t ∗  BQ ; k , t ∈ ℝ . Daneben sind jedoch verschiedene Fälle zu beachten, wie man eben solche Ebenengleichungen aufstellen kann: Wenn zwei parallele Geraden vorgegeben sind: Zunächst muss überprüft werden, ob die Gleichungen parallel verlaufen. Für diesen Schritt wird überprüft, ob die Richtungsvektoren kollinear verlaufen. Dafür wird ein Richtungsvektor mit einer Variable multipliziert und gleich dem anderen Richtungsvektor gesetzt. Die Gleichung wird nach der Variable aufgelöst. Kommt ein Faktor heraus, sind sie kollinear und es kann weitergerechnet werden. g1:  x = OC +k ∗  BA ; k ∈ ℝ und g2: x =  OA+ j ∗  BA; j ∈ ℝ , dann wird die Ebene durch einen Ortsvektor, einen Richtungsvektor und einen aus den zwei Ortsvektoren gebildeten Richtungsvektoren beschrieben, also z.B. E : X=  OC +k ∗  BA+t ∗  CA ; k ,t ∈ ℝ . Wenn zwei sich schneidende Geraden vorgegeben sind: Zunächst wird gezeigt, dass die Geraden sich wirklich schneiden. Dafür werden beide Geradengleichungen gleichgesetzt und nach den Parametern aufgelöst. Ist das Ergebnis "keine Lösung", dann schneiden sie sich nicht und man kann nicht weiterverfahren. Kommen Ergebnisse, dann die Lösung eines Parameters in die dazugehörige Geradengleichung gesetzt und der Schnittpunkt berechnet. Wird der Schnittpunkt als Stützvektor und die beiden Richtungsvektoren der Geradengleichungen als Ebenenrichtungsvektoren verwendet, dann hat man eine Ebenengleichung. E : X=  OS+k ∗  BA+t ∗  CT ; k , t ∈ ℝ . Wenn drei Punkte vorgegeben sind: Ein Punkt darf aber nicht auf der Geraden liegen. Gegeben seien drei Punkte A(2|1|3), B(4|4|4) und C(1|0|-1). Dann bildet man z.B. eine Geradengleichung von g : x = OA + j ∗  AB ; j ∈ ℝ und überprüft mit der Punktprobe, ob C auf der Geraden liegt. Wenn ja, dann ist keine Ebenengeichung möglich. Wenn nicht, wird ein weiterer Richtungsvektor gebildet. Die Gleichung lautet dann E : X= OA+ j ∗  AB+t ∗  AC ; j , t ∈ ℝ . Wenn eine Gerade und ein Punkt vorgegeben sind: Ähnlich wie bei einer Vorgabe von drei Punkten, jedoch muss man die Geradengleichung nicht alleine bilden, da sie vorgegeben ist. Der Punkt wird, falls er nicht auf der Geraden liegt, mithlfe des Stützvektors der Geraden zu einem Richtungsvektor. 2.1 | Länge eines Vektors

|( )| x

Taschenrechnerbefehl: norm(vektor).

|a|= y = √ ( x 2 + y 2 + z 2 ) Mit dieser Formel lässt sich die z

Länge eines Vektors ausrechnen. Die Betragsstriche sind notwendig. 2.2 | Skalarprodukt Taschenrechnerbefehl: dotP(vektor1, vektor2).

( )()

x a a o b= y o b =x∗ a+ y ∗ b+ z ∗ c . Wenn das Skalarprodukt gleich 0 ist, dann schneiden sich z c die Vektoren in einem rechten Winkel. Ist das Skalarprodukt über 0, dann schneiden sich die Vektoren in einem spitzen Winkel. Bei einem Skalarprodukt unter 0, schneiden sich die Vektoren in einem stumpfen Winkel.

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 2.3 | Kreuzprodukt + Normalenvektor Taschenrechnerbefehl: crossP(vektor1, vektor2). Mithilfe des Kreuzprodukts erhält man den Normalenvektor n . Dieser ist senkrecht zu einer Ebene und damit zu beiden Richtungsvektoren der Ebene. Man kann ihn mithilfe des Kreuzprodukts ausrechnen, aber auch mithilfe eines GLS.

Für den GLS-Weg hier stellvertretend eine Vorgehensweise:

( ) ()

n1 1 n o AB= n2 o 2 =n1∗ 2 n 2 ∗ 3 n3=0 n3 3

( )( )

n1 2 n o  CB= n2 o 2 =2 n 1 ∗ 2 n 2 ∗3 n3=0 n3 3

Aus diesen Gleichungen kann man nun ein LGS formen und dann eben lösen: ( 1) n 1 ∗ 2 n 2∗ 3 n 3=0und ( 2) n1 * 2n2 * 3n3 = 0 Beide Gleichungen dann mithilfe des GaußVerfahrens lösen! Danach hat man den Normalenvektor. 2.4 | Hessesche Normalenform Die Hessesche Normalform spielt vor allem bei der Berechnung des Abstands Punkt-Ebene eine Rolle. Aus diesem Grund findet sich hier die Formel der Hesseschen Normalenform: Für n1, n2 und n3 werden die Werte des Normalenvektors der Ebene eingesetz. Für x1, x2 und x3 werden meistens die Werte eines Punkts eingesetz (dazu jedoch in anderen Kapiteln mehr). 2.5 | Mittelpunkt + Punktprobe Den Mittelpunkt eines Vektors kann man vereinfacht gesagt mit der Formel

1  OA + ∗ O M = AB 2

berechnen, wobei hier nur ein Ortsvektor und ein Richtungsvektor von Nöten sind – mehr nicht. Die Punktprobe für Ebenen und Geraden in der Parameterform läuft nach dem gleichen Prinzip ab, weswegen hier nur exemplarisch Geradengleichungen gezeigt werden.

( )( ) ( )

5 5 5 −7 = − 7 +k ∗ − 3 ; k ∈ ℝ . Per TR oder per Hand wird k so bestimmt, dass die Gleichung 2 1 2

gilt. Falls es kein mögliches k gibt, dann liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Bei Ebenengleichungen hat man zwei Parameter + zwei Richtungsvektoren, der Rest der Schritte ist gleich. Per Handrechnung gilt übrigens ( 1): 5=5+5 k ,k =1 und ( 2) :− 7=−7 − 3 k ,k =0 und (3 ) : 2=1 +2 k , k=0.5 . Somit liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Ist die Koordinatenform bei Ebenen gegeben – z.B. E :5 x − 3 y − 2 z=20 und der Punkt P(2|1|3) dann werden die Koordinaten in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt: E :5 ∗ 2−3 ∗ 1 − 2∗ 3= 13 ≠20 . Somit liegt der Punkte P nicht auf der Ebene.

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 2.6 | Spurpunkte bei Geraden und Ebenen Bei Geraden

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu Bei Ebenen



E :− 6 x1 − 12 x 2 +8 x 3 =−24 . Für die jeweiligen Koordinatenform gegeben – z.B. S 1 ,S 2 , S 3 gelten Spurpunkte jeweils die Koordinaten S 1 ( x 1 / 0 / 0 ) ; S 2 ( 0/ x 2 / 0) ; S3 ( 0/ 0/ x 3) . Um nun die Spurpunkte herauszufinden, wird die Koordinatenform der Ebene durch die Zahl ohne Variable (also -24) geteilt.

1 E : 0.25 x 1 +0.5 x 2 − x 3=1 . Falls man jetzt Spurpunkt S 1 herausfinden will, wird nur 3 der x 1 - Rechnungsteil angeschaut. x 1 wird so bestimmt, dass es gleich der Zahl rechts ist, weil für den Spurpunkt S 1 nur die x 1 - Koordinate wichtig ist. Dies wäre in diesem Fall 4. Der Spurpunkte S 1 hätte somit die Koordinaten S 1 (4/0 /0 ) . Für die anderen Spurpunkte wird genauso vorgegangen. Spurgeraden bezeichnen eine Geradengleichung, die von einem Spurpunkt zu einem anderen verläuft. 3.1 | Von der Parameterform zur Koordinatenform Zunächst hat man eine Ebene in

() () () () ( ) () ( )

Parameterform

gegeben

–

z.B.

1 4 6 E : x = 2 +k ∗ 4 + p∗ 2 ; k , l ∈ ℝ . Für die Koordinatenform wollen wir einen Normalenvektor 3 3 8 herausfinden.

Mithilfe

der

zwei

Richtungsvektoren

n1 n1 4 6 4 o n2 =0∧ 2 o n2 =0 . GLS bilden und 3 8 n3 n3

geht

das

wie

gefolgt:

n1 , n2 , n3 bestimmen. Dadurch hat man einen

Normalenvektor und kann die Koordinatenform folgendermaßen bestimmen: Man hat bis jetzt folgende Gleichung: E : x ∗ n 1 + y ∗ n2 + z ∗ n3=d . Für x,y und z setzt man den Stützvektor aus der Parameterform ein, das Ergebnis ist d und danach hat man eine Koordinatengleichung. 3.2 | Von der Koordinatenform zur Parameterform Gegeben sei eine Ebene in Koordinatenform E : x − 6 ∗ y +5 ∗ z=17 , die in Parameterform angegeben werden soll. Man setzt x=a und y=b. Somit lautet die Gleichung E : a− 6 ∗ b+5 ∗ z=17 . Für z gilt schlussendlich 1.2 b − 0.2 a +3.4 = z . Mit diesen Gleichungen lässt sich die Parameterform aufstellen. Die Zahlen ohne Parameter bilden den Stützvektor. Bei x=a und y=b wäre das 0, bei ... = z 3.4. Die Buchstaben werden zu Parametern, die Zahlen vor den Parametern werden zu den Richtungsvektoren:

() ( ) ()

0 1 0 E : x = 0 +a∗ 0 +b∗ 1 ; a , b ∈ ℝ . 3.4 1,2 −0.2

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 4.1 | Quadrat, Rechteck und Parallelogramm Eigenschaften von Quadraten: Alle Vektoren gleich lang,  AB o  BC=0 - also 90° Grad Winkel. Eigenschaften von Rechteck: Zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang Winkel.

AB|=| DC|) (|

,

 BC=0 - also 90° Grad AB o

Eigenschaften von Parallelogrammen:

 BC AB= DC ∧ AD=

4.2 | Drachenviereck, Trapez und Raute Eigenschaften von Drachenviereck:

 AB= AD ∧ DC= BC ∧ BD=0 AC o 

Eigenschaften von Trapez: Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. Die anderen zwei Seiten werden Schenkel genannt. Die Winkel an einem Schenkel ergänzen sich zu 180° Grad. Im gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel gleich lang. Eigenschaften von Raute: Alle Vektoren gleich lang +

 AC o  BD=0

4.3 | Dreiecke Rechtwinkliges Dreieck Ein Winkel ist 90° Grad groß. Skalarprodukt von zwei Richtungsvektoren ist gleich 0. Gleichseitiges Dreieck: Alle Seiten (Vektoren) sind gleich lang (Betrag bilden) oder alle Winkel sind gleich groß. Gleichschenkliges Dreieck: Zwei Seiten sind gleich lang bzw. 2 Winkel sind gleich groß.

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 5.1 | Lagebeziehungen von Geraden zu Geraden

Sonderfall: g und h schneiden sich und sind orthogonal. Prüfung auf Orthogonalität: Skalarprodukt

der Richtungsvektoren ist Null. 5.2 | Lagebeziehungen von Ebenen zu Ebenen Ebene 1 II Ebene 2 (parallel)  x e 1= x e 2 ; falsche Aussage und somit gilt x e 1 ≠ xe 2  n1 =  n2 ∗ k  Ebene 1 = Ebene 2 (identisch)  Richtungsvektoren / Normalenvektoren sind kollinear zueinander n1 =  n2 ∗ k   Koordinatengleichungen sind kollinear zueinander Ebene 1 und Ebene 2 schneiden sich und bilden eine Schnittgerade g



n1 ≠   n2 ∗ k

Mithilfe der Koordinatenform kann ein Parallel- oder Identischsein gezeigt werden.

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 5.3 | Lagebeziehungen von Ebenen zu Geraden Drei Fälle sind zu unterscheiden: 1. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt, 2. die Gerade verläuft (echt) parallel zu der Ebene (g und E haben keinen gemeinsamen Punkt), 3. die Gerade liegt in der Ebene (g und E haben unendlich viele gemeinsame Punkte). Man setzt die Terme der Geraden- und der Ebenengleichung gleich und prüft, ob das entstehende Gleichungssystem genau eine Lösung hat (Fall 1), gar keine Lösung hat (Fall 2) oder unendlich viele Lösungen hat (Fall 3). 6.1 | Abstand Punkt - Punkt Gegeben seien zwei Punkte A und B. AB der beiden Punkte A und B berechnen  Verbindungsvektor  AB berechnen (mithilfe von) ...  Länge des Vektors 

|( )| x

... Taschenrechnerbefehl: norm(vektor).

|a|= y = √ ( x 2 + y 2 + z 2) Mit dieser Formel lässt sich die z

Länge eines Vektors ausrechnen. Die Betragsstriche sind notwendig. 6.2 | Abstand Punkt – Ebene

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 6.3 | Abstand Punkt – Gerade (Abst (P; g)) Punkt P darf nicht auf Gerade g liegen (überprüfen). Zunächst berechnet man den Normalenvekor der Gerade (ergo des Richtungsvektors):

() ( )

n1 1 2 o n2 =0−nachn 1∧n2∧n3 auflösen. Dann bildet 3 n3

man eine Geradengleichung mit dem Punkt P als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor (+Parameter nicht vergessen). Dieser Geradengleichung muss mit der Gerade, von der der Abstand berechnet werden soll, gleichgesetzt werden und nach den Parametern aufgelöst werden. Mithilfe eines Parameters wird der Schnittpunkt berechnet. Letztlich wird der  (Punkt P zu Schnittpunkt S) berechnet und der Betrag mittels PS Vektor

|( )| x

|a|= y = √ ( x 2 + y 2 + z 2 ) bestimmt. Der Betrag ist der Abstand. z

6.4 | Abstand Ebene – Gerade Ebene in Parameterform: Nur bei Gerade, die parallel zur Ebene ist (ggf. Überpüfen durch Gleichsetzen) --> keine Lösung. Normalenvektor der Ebene aufstellen. Stützvektor der Gerade und Normalenvektor bilden Gerade, die mit der Parametergleichng von Ebene 2 gleichgestellt + gelöst wird. Parameter werden eingesetzt, Vektor zwischen Punkt und Schnittpunkt wird berechnet und sein Betrag (Abstand) offengelegt. Ebene in Koordinatenform:

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Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu 6.5 | Abstand Ebene – Ebene Wenn Ebenen sich schneiden, dann ist ihr Abstand gleich 0, da sie einen gemeinsamen Punkt haben. Gleiches gilt für identische Ebenen, da sie unendlich viele gemeinsame Punkte haben. Somit kann man nur den Abstand berechnen, wenn die Ebenen parallel sind. Windschiefe Ebenen gibt es nicht. Deswegen muss man die Ebenen (Parameterform) gleichsetzen --> Lösungsmenge leer bzw. bei Koordinatenform gleiche Normalenvektoren, aber unterschiedliches "d".

Wenn nur Parameterformen gegeben sind: Normalenvekt or aufstellen. Beliebiger Punkt auf Ebene 1 und Normalenvektor bilden Gerade, die mit der Parametergleichng von Ebene 2 gleichgestellt wird. Parameter werden eingesetzt, Vektor zwischen Punkt und Schnittpunkt wird berechnet und sein Betrag (Abstand) offengelegt. 6.6 | Abstand Gerade – Gerade Wenn Geraden identisch sind oder sich schneiden, ist ihr Abstand 0. Somit ist der Abstand nur bei parallelen oder windschiefen Geraden bestimmbar. Dies muss überprüft werden (Geraden gleichsetzen, Lösungsmenge leer). Windschiefe Geraden: Seien g:  x =a + k∗b∧h:x=c + p∗d windschiefe Geraden. Dann ist der Normalenvektor per Kreuzprodukt zu berechnen: [TR]: crossP(  n steht senkrecht auf b , d ).  beiden Richtungsvektoren. Der Abstand wäre mit der Formel: berechnen.

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Abstand :

|((a −c ) o n )| zu |n|

Zusammenfassung der Q2 – Mathematik: Analytische Geometrie - Ahmet Bekisoglu Parallele Geraden: Geraden gleichstellen, Lösungsmenge leer --> Geraden sind parallel. Dann g1 Zunächst nimmt man sich den Stützvektor (und wandelt ihn in Punkt P um) einer Geraden berechnet man den Normalenvekor der Gerade (ergo des Richtungsvektors):

() ( )

n1 1 o n2 =0−nachn 1∧n2∧n3 auflösen. Dann bildet man eine Geradengleichung mit dem Punkt 2 3 n3

P als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor (+Parameter nicht vergessen). Dieser Geradengleichung muss mit der Gerade g2 gleichgesetzt werden und nach den Parametern aufgelöst werden. Mithilfe eines Parameters wird der Schnittpunkt berechnet. Letztlich  (Punkt P zu Schnittpunkt S) berechnet und der Betrag mittels PS wird der Vektor

|( )| x

|a|= y = √ ( x 2 + y 2 + z 2 ) bestimmt. Der Betrag ist der Abstand. z

7.0 | Schnittwinkel

Je nach Schnittwinkeltyp muss man den Wert, den man herausbekommen hat, mithilfe von cos oder sin in eine Gradzahl umwandeln. Ist der Winkel über 90° Grad groß, wird er von 180° Grad abgezogen.

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