5 -Tweedegraadsfuncties PDF

Preview

Summary

algemene economie...

Description

TWEEDEGRAADSFUNCTIES 1. DEFINITIE....................................................................................................................................1 2. GRAFIEK VAN EEN TWEEDEGRAADSFUNCTIE.......................................................................1 3. KENMERKEN VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES......................................................................3 4. GRAFIEK VAN EEN TWEEDEGRAADSFUNCTIE TEKENEN ZONDER GRM............................7 5. OEFENINGEN..............................................................................................................................8 6. OPLOSSINGEN.........................................................................................................................10

1. DEFINITIE Een tweedegraadsfunctie is een veeltermfunctie die een tweedegraadsvergelijking als voorschrift heeft. Met andere woorden: x komt voor in de tweede graad. Een tweedegraadsvergelijking heeft de standaardvorm: ax2 + bx + c Daarbij geldt dat a nooit gelijk kan zijn aan 0 (b en c wel). Immers: als a = 0 dan wordt het voorschrift y = bx + c en dan hebben we niet meer te maken met een tweedegraadsfunctie. Een tweedegraadsfunctie kan vier vormen hebben: • f : y = ax 2 + bx + c • f : y = ax 2  0x  0 → f : y = ax 2 • f : y = ax 2  bx  0 → f : y = ax 2  bx • f : y = ax2  0x  c → f : y = ax 2  c De tweede graad = het kwadraat, daarom spreken we ook wel over kwadratische functies.

2. GRAFIEK VAN EEN TWEEDEGRAADSFUNCTIE De grafiek van een tweedegraadsfunctie is altijd een parabool. Kenmerken van een parabool: • u-vorm • gewone u → dit noemen we een dalparabool • omgekeerde u → dit noemen we een bergparabool • het is altijd mogelijk om een symmetrie-as te tekenen • het snijpunt van de grafiek en de symmetrie-as, noemen we de top van de parabool

Tweedegraadsfuncties - p.1 van 11 / versie 3

dalparabool

bergparabool

Het teken van a bepaalt of het een berg- of een dalparabool is • a positief = dalparabool • a negatief = bergparabool

f : y = 2x 2 is een dalparabool 2 f : y = −2x is een bergparabool

Tweedegraadsfuncties - p.2 van 11 / versie 3

a = 2 = positief a = -2 = negatief

De absolute waarde van a bepaalt de breedte van de opening • hoe groter de absolute waarde van a, hoe steiler en smaller de grafiek is • hoe kleiner de absolute waarde van a, hoe minder steil en breder de grafiek is.

3. KENMERKEN VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES 3.1. VOORSCHRIFT Het voorschrift is een tweedegraadsvergelijking.

3.2. BELANGRIJKE WAARDEN: a: de coëfficiënt van x² b: de coëfficiënt van x c: het getal zonder x p: eerste getal van de coördinaat van de top → te berekenen met de formule

p=

−b 2a

q: tweede getal van de coördinaat van de top → het beeld van p door de functie f(p)

3.3. GRAFIEK De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool. • een bergparabool als a negatief is • een dalparabool als a positief is Kenmerken parabool (nog maar eens want extreem belangrijk): • heeft een top met coördinaat (p,q) • heeft een symmetrie-as met vergelijking x = p • de breedte van de parabool hangt af van a • hoe groter de absolute waarde van a, hoe smaller de parabool • hoe kleiner de absolute waarde van a, hoe breder de parabool

Tweedegraadsfuncties - p.3 van 11 / versie 3

3.4. DOMEIN Voor alle tweedegraadsfuncties geldt: dom f = ℝ

3.5. BEREIK Voor tweedegraadsfuncties met a > 0 (dalparabolen) geldt: ber f = [ q ,  ∞ [ Voor tweedegraadsfuncties met a < 0 (bergparabolen) geldt: ber f = ] −∞ , q ]

3.6. STIJGEN EN DALEN Voor tweedegraadsfuncties met a > 0 (dalparabolen) geldt: • de functie is dalend in het interval ] −∞ , p ] • de functie is stijgend in het interval [ p ,  ∞ [ Voor tweedegraadsfuncties met a < 0 (bergparabolen) geldt: • de functie is stijgend in het interval ] −∞ , p ] • de functie is dalend in het interval [ p ,  ∞ [

3.7. MINIMUM EN MAXIMUM Tweedegraadsfuncties met a > 0 (dalparabolen) hebben een minimum. Het minimum = q Tweedegraadsfuncties met a < 0 (bergparabolen) hebben een maximum. Het maximum = q

3.8. NULWAARDE Als je alle x-en vervangt door een getal en de uitkomst is 0, dan is dat getal een nulwaarde van de functie. Een tweedegraadsfunctie kan 0, 1 of 2 nulwaarden hebben. (niet meer, niet minder). De nulwaarden kan je aflezen op de grafiek (= snijpunten met de x-as) maar moet je ook kunnen berekenen. De nulwaarden berekenen = een tweedegraadsvergelijking oplossen. • y = ax 2  bx  c → gebruik de discriminant

• y = ax 2  bx → gebruik buiten de haakjes zetten (1 nulwaarde is dan sowieso 0) • y = ax 2  c → x 1 = –

√

c en x 2 = a

Tweedegraadsfuncties - p.4 van 11 / versie 3

√

c a

Herhaling: tweedegraadsvergelijkingen oplossen met de discriminant Deze methode kan je altijd toepassen, maar is niet noodzakelijk de meest efficiënte. 1. herschrijf je functie in de standaardvorm • zet alles in de juiste volgorde (eerst x², dan x, dan het getal) • als het getal of de x ontbreekt, schrijf je een nul in de plaats: bv. 3x² + 0x + 6 2. noteer de waarden van a, b en c a) 8x² + 5x - 3 a=8 b) 5x² + 6 a=5 c) x² - 2x - 5 a=1 d) -x² - x - 8 a = -1 e) 3x² + 5x a=3

b=5 b=0 b = -2 b = -1 b=5

of 3x² + 5x + 0

c = -3 c=6 c = -5 c = -8 c=0

3. vul de getallen in, in de formule D = (b)² - (4 . a . c) en reken uit (let goed op de tekens). Uitkomsten bij voorbeelden vorig punt: a) D = 121 d) D = -31 b) D = -120 e) D = 25 c) D = 24 De discriminant vertelt je vooraf hoeveel nulwaarden er zullen zijn: * D < 0 → geen nulwaarden * D = 0 → één nulwaarde * D > 0 → twee nulwaarden 4. Vul de discriminant in, in de volgende formules en reken uit: Als D > 0 x1 =

−(b) − √D 2a

Als D = 0 →

x=

x2 =

−(b) + √D 2a

−b 2a

nulwaarden van de voorbeelden: a) -1 en 3/8 c) 1 + √6 en 1 – √6 e) -1,6 en 0 b) geen: de discriminant is negatief d) geen: de discriminant is negatief

De nulwaarden berekenen van een tweedegraadsfunctie, moet je zeer goed kunnen. Maak extra oefeningen!

Tweedegraadsfuncties - p.5 van 11 / versie 3

3.9. TEKENVERLOOP D < 0 (geen nulpunten) • dalparabool: het teken is overal positief • bergparabool: het teken is overal negatief D = 0 (1 nulpunt) • dalparabool: • bergparabool:

positief negatief

0 0

positief negatief

D > 0 (2 nulpunten) • dalparabool: • bergparabool:

positief negatief

0 0

negatief positief

0 0

positief negatief

3.10. BELANGRIJKE COÖRDINATEN Coördinaat van de top De coördinaat van de top noteren we als: (p,q) Je kan de coördinaat aflezen van de grafiek, maar je kan hem ook berekenen. −( b ) 2a De waarde van q vind je door het beeld van p te zoeken.

De waarde van p vind je met de formule:

p=

voorbeeld: y = 0,5x2 – 3x + 4,5 p=

3 -(b) -(-3) = = =3 2a 2 . 0,5 1

q = 0,5 . 32 − 3 . 3  4,5 = 0,5 . 9 − 9  4,5 = 4,5 − 9  4,5 = 0

De coördinaat van de top = (3,0) De symmetrie-as van de parabool is de rechte die door de top loopt. Hij heeft als voorschrift x = p voor y = 0,5x2 – 3x + 4,5 is dat dus x = 3

Snijpunt met de x-as: • de parabool snijdt de x-as niet: er zijn geen snijpunten en dus ook geen coördinaten: Dit is het geval bij een dalparabool volledig boven de x-as en een bergparabool volledig onder de x-as. • de top van de parabool raakt de x-as: één coördinaat (nulwaarde, 0) Dit is het geval bij een parabool die de x-as raakt • de parabool snijdt de x-as: twee coördinaten → (eerste nulwaarde,0) en (tweede nulwaarde,0) Dit is het geval wanneer de top van een dalparabool onder de x-as ligt en wanneer de top van een bergparabool boven de x-as ligt.

Tweedegraadsfuncties - p.6 van 11 / versie 3

Snijpunt met de y-as: • de parabool snijdt de y-as niet (c = 0, voorschrift zonder c) • de parabool snijdt de y-as wel. Het snijpunt heeft als coördinaat (0,c)

Snijpunt van een parabool en een rechte Drie mogelijkheden: • de parabool en de rechte hebben geen gemeenschappelijke punten (geen snijpunt) • de parabool en de rechte hebben één gemeenschappelijk punt (één snijpunt) • de parabool en de rechte hebben twee gemeenschappelijke punten (twee snijpunten) Coördinaten van de snijpunten zoeken: • je krijgt twee voorschriften (y = ax² + bx + c en y = ax + b). • je stelt de twee voorschriften aan elkaar gelijk (ax + b = ax² + bx + c) • je brengt alles naar één kant en rekent uit • je houdt een tweedegraadsvergelijking over: los die op (= zoek de nulwaarden) • bepaal het beeld van die nulwaarde(n) door een van beide functies (voor beide doen is een goede test) • coördinaten: (x-waarde 1, beeld) en eventueel (x-waarde 2, beeld)

Snijpunt van twee parabolen Drie mogelijkheden: • de twee parabolen hebben geen gemeenschappelijke punten (geen snijpunten) • de twee parabolen hebben één gemeenschappelijk punt (één snijpunt) • de twee parabolen hebben twee gemeenschappelijke punten (twee snijpunten) Coördinaten van de snijpunten zoeken: zelfde werkwijze als bij snijpunten parabool en rechte

4. GRAFIEK VAN EEN TWEEDEGRAADSFUNCTIE TEKENEN ZONDER GRM 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

bepaal aan de hand van a of het om een berg- of dalparabool gaat bereken de coördinaat van de top (p,q) teken een assenstelsel en duid daarop de top aan teken de symmetrie-as van de functie = een lijn evenwijdig aan de y-as die door het punt (p,q) gaat duid het punt (0,c) aan en spiegel dit ten opzichte van de symmetrie-as bereken de nulwaarden van de functie en duid de snijpunten met de x-as aan kies enkele waarden kleiner dan p en maak aan de hand daarvan een functiewaardentabel. Duid de punten aan op het assenstelsel en spiegel ze daarna ten opzichte van de symmetrie-as verbind nu alle punten voorzichtig, zodat je een mooie parabool krijgt. Controleer met je rekenmachine

Tweedegraadsfuncties - p.7 van 11 / versie 3

5. OEFENINGEN Oefening 1: Zijn de volgende functies tweedegraadsfuncties? e) y = 2x2 – 10x + 25 a) y = x + 2 – x3 f) y = 4  x + x b) y = 2x2 c) y = 2.π.r g) y = x(x2 +1) d) x = 52 Oefening 2 • Zeg voor elke functie of het gaat om een dalparabool of een bergparabool. • orden de dalparabolen van smal naar breed • orden de bergparabolen van breed naar smal • welke parabolen zullen elkaars tegengestelde zijn? d) y = -4x2 + 6 e) y = x2 + 2 f) y= -2x (x + 1)

a) y= -1/4x2 b) y = 3x2 c) y = 4x2 + x + 5

g) y = 1/2x2 + 3x + 1 h) y = x3 + 8 i) y = -3x2

Oefening 3: • bereken de coördinaat van de top • noteer de coördinaat van het snijpunt met de y-as a) y = x2 – 3x + 2

b) y = 2x2 – 8x + 12

c) y = 1/2x2 + x – 5/2

d) y = -5x2 – 3x – 4

Oefening 4: • bepaal het bereik • bepaal het tekenverloop • zeg of de functie stijgend of dalend is in het interval [0,5;1] • zeg of de functie een minimum of een maximum heeft en bereken de getalwaarde daarvan d) y = -2x2 + 3x

a) y = -2x2 + 3 c) y = x² -2x + 2

e) y = -2x2 + 3x - 1

b) y = x2 + 2x

Oefening 5: Bereken b en c en schrijf het volledige voorschrift. gegeven: f: y = x2 + bx + c coördinaat top (2,4)

Oefening 6: bepaal de nulwaarde van c) y = 2x2 + 5x – 1 a) y = –x2 – 3x - 4 b) y = 2x2 – x – 1

d)

7 1 2 x −x+ 3 12

Oefening 7: parabool met gegeven vergelijking herkennen zie website

Tweedegraadsfuncties - p.8 van 11 / versie 3

e) y = 3(x – x2) – 1

Oefening 8: voorschrift van een tweedegraadsfunctie bepalen zie website Lees (p,q) af van de grafiek. Lees c af van de grafiek (0 als er geen snijpunt met de y-as is). Noteer de formule om p te berekenen → p = (-b) : 2a Je kent de waarde van p, vervang p door die waarde en vorm om naar b → b = -p . 2a Noteer de standaardvorm van de tweedegraadsfunctie: y = ax² + bx + c • Vervang b door de waarde gevonden in de vorige stap → y = ax² + (-p . 2a) + c • Je kent één koppel van de functie, nl. (p,q) → vervang de x-en door p en de y door q • vervang c door de afgelezen waarde => je hebt nu een vergelijking met alleen nog a als onbekende. Bereken a. Bereken nu de echte waarde van b → b = -p . 2a Vul a, b en c in op de juiste plaats. Oefening 9: Volledige beschrijving van een tweedegraadsfunctie zie website Oefening 10: Snijpunten van een rechte en parabool zie website Oefening 11: Snijpunten van twee parabolen zie website

Tweedegraadsfuncties - p.9 van 11 / versie 3

6. OPLOSSINGEN Oefening 1 a) nee b) ja

c) nee d) nee

e) ja f) nee

g) nee

Oefening 2 dal: b, c, e, g, berg: a, d, f, i geen van beide: h dalparabolen van smal naar breed: c, b, e, g bergparabolen van breed naar smal: a, f, i, d tegengestelden: b en i Oefening 3 a) (3/2;-1/4) b) (2,4) c) (-1,-3) d) (-0,3;-3,55)

snijpunt: (0,2) snijpunt: (0,12) snijpunt: (0, -5/2) snijpunt: (0, -4)

Oefening 4 a) bereik: ]-∞, 3]

b) bereik: [-1,+∞[ tekenverloop:

tekenverloop: x

−1,5

 1,5

y - 0

+ 0

x -

-2

0

y + 0 - 0 +

De functie is dalend in het interval [0,5;1]. De functie bereikt een maximum in 0, nl. 3.

De functie is stijgend in het interval [0,5;1]. De functie bereikt een minimum in -1, nl. 1.

c) bereik: [1,+∞[

d) bereik: ]-∞; 1,12] tekenverloop:

De functie is positief over haar hele verloop.

x

De functie is dalend in het interval [0,5;1]. De functie bereikt een minimum in 1, nl. 1.

e) bereik: ]-∞, 0,12] tekenverloop: x

0,5

y - 0

1 + 0 -

De functie stijgt tot 0,75 en daalt vanaf 0,75. De functie bereikt een maximum in 0,75, nl. 0,12 Tweedegraadsfuncties - p.10 van 11 / versie 3

0

1,5

y - 0 + 0

-

De functie stijgt tot 0,75 en daalt vanaf 0,75. De functie bereikt een maximum in 0,75, nl. 1,12.

Oefening 5 Gebruik de waarden van de top! p=2 formule voor p =

−(b) (met b onbekend en a = 1) 2a

p. 2a = -b -p . 2a = b -2 . 2 . 1 = b -4 = b y = x² - 4x + c 4 = 2² - 4.2 + c 8=c Het volledige voorschrift: y = -x² - 4x + 8

Oefening 6 a) geen

d) x 1 =

b) -0,5 en 1 c) x 1 =

−5 − √ 33 4

en

x2 =

−5 + √ 33 4

Tweedegraadsfuncties - p.11 van 11 / versie 3

e) geen

1 (3 − √2) 2

en

x2 =

1 (3 + √2) 2...