Antonio Daniel R2 U1 - Ejercicios de resolución de ecuaciones lineales por el método de eliminación PDF

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Ejercicios de resolución de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss-Jordan...

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R2. Gauss Jordan Universidad Fecha de elaboración

UVEG Friday, 1 de October de 2021

Nombre del Módulo

Álgebra lineal v2

Ejercicio 1. Resuelve por medio del método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes 4 sistemas de ecuaciones.

Ecuación 1 3 x + y =5 {2 x−3 y=−4 Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos por el método de eliminación de Gauss-Jordan. En este caso usaremos un sistema de 2 x 2 para resolver los sistemas de ecuaciones.

(10 01 )

[ | ] 3 1 5 2 −3 −4

Dividimos toda la fila R1 por 3 para obtener el 1 de la primera columna R 1→ R1 /3

[ |] 1 5 3 3 2 −3 −4 1

1 15 5 3 = =1 = 3 3 3 3 3

Multiplicamos la fila R1 por 2 y el resultado lo restamos a la fila R2 para obtener el 0 de la 1 columna. R 2→ R 2−2 R 1

[ |] 1

0

1 5 3 3 −11 −22 3 3

1 x 2=2,

Dividimos toda la fila R2 por R 2→ R

2/−11 ) 3

−3 2 2 − 3 −11 0 3 2

1 2 5 10 x 2= , x 2= 3 3 3 3

−11 3

−4 10 3 −22 3

para obtener el 1 de la segunda columna

1 5 3 3 1 2

[ |] 1 0

0 ÷−

11 −11 ÷− =1 3 3

11 =0 3

Multiplicamos la fila R2 por

1 3

11 −22 ÷− =¿ 2 3 3

y el resultado lo restamos a la fila 1 para obtener

el 0 de la segunda columna. 1 R 1→ R1− R 2 3 1 1 2 1 1 1 0 x =0 , 1 x = ,2 x = 3 3 3 3 3

−0 1

1 3 1 3

5 3 2 3

0

3 =1 3

[ |] 1 01 0 12

Una vez obtenido la matriz identidad del lado derecho, se obtiene el resultado del sistema.

{xx 21==21 Para verificar. Sustituimos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos las operaciones: 3 x + y =5 {2 x−3 y=−4

3∗1+2 =3 +2=5

2∗1−3∗2 =2−6 =−4

Ecuación 2 y=3 {x3−2x +y4=−4 Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos por el método de eliminación de Gauss-Jordan. En este caso usaremos un sistema de 2 x 2 para resolver los sistemas de ecuaciones.

(10 01 )

[ | ] 3 4 3 1 −2 −4

Dividimos toda la fila R1 por 3 para obtener el 1 de la primera columna R 1→ R1 /3 4 43 3 =1 = =1 3 33 3

[ |] 4 1 3 −4 1 −2 1

Multiplicamos la fila R1 por 1 y el resultado lo restamos a la fila R2 para obtener el 0 de la 1 columna. R 2→ R 2−1 R 1

−2 −4 4 1 −1 3 −10 0 −5 3 1

4 4 1 x 1=1, x 1= , 1 x 1=1 3 3

[ |] 1

0

4 3 1 −10 −5 3

Dividimos toda la fila R2 por R 2→ R

2/−10 3

−10 3

para obtener el 1 de la segunda columna

4 1 3 1.5 1

[ |] 1 0

0 ÷−

10 −10 ÷− =1 3 3

10 =0 3

Multiplicamos la fila R2 por

4 3

−5 ÷−

10 3 = =1.5 3 2

y el resultado lo restamos a la fila 1 para obtener

el 0 de la segunda columna. R 2→ R 1−

4 R2 3

[ | ] 1 0 −1 0 1 1.5

1 4 4 4 4 0 x =0 , 1 x = , 1.5 x =2 3 3 3 3

−

0 1

4 1 3 4 2 3 0 −1

Una vez obtenido la matriz identidad del lado derecho, se obtiene el resultado del sistema.

{xx 21=−1 =1.5 Para verificar. Sustituimos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos las operaciones: y=3 {x3−2x +y4=−4 3∗−1+ 4∗1.5=−3+6=3

−1−2∗1.5=−1−3=− 4

Ecuación 3

{

x +2 y−z=7 3 x−2 y + 4 z =−1 −2 x + y −2 z=−1

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos por el método de eliminación de Gauss-Jordan. En este caso usaremos un sistema de 3 x 3 para resolver los sistemas de ecuaciones.

[ ] 1 0 0 0 1 0 0 0 1

[

|]

1 2 −1 7 3 −2 4 −1 −2 1 −2 −1

Multiplicamos la fila R1 por 3 y el resultado se la restamos a la fila R2, para obtener el 0 de la primera columna R 2→ R 2−3 R 1

[

| ]

1 2 −1 7 0 −8 7 −22 −2 1 −2 −1 3 −2 4 −1 3 6 −3 21 0 −8 7 −22

1 x 3=3, 2 x 3=6,−1 x 3=−3,7 x 3=21

-

Multiplicamos la fila R1 por 2 y el resultado lo sumamos a la fila R3, para obtener el 0 de la primera columna R 3→ R 3+2 R 1

[

| ]

1 2 −1 7 0 −8 7 −22 0 5 −4 13

1 x 2=2, 2 x 2=4,−1 x 2=−2,7 x 2=14

+

−2 1 −2 −1 2 4 −2 14 0 5 −4 13

Dividimos la fila R2 por -8 para obtener el 1 de la segunda columna R 2→ R 2/−8

[

| ]

1 2 −1 7 0 1 −0.875 2.75 0 ÷−8=0 ,−8 ÷−8=1,7 ÷−8=−0.875,−22 ÷−8=2.75 13 0 5 −4

Multiplicamos la fila R2 por 2 y el resultado se la restamos a la fila R1, para obtener el 0 de la segunda columna R 1→ R1−2 R 2

0 x 2 =0,1 x 2=2,−0.875 x 2 =−1.75,2.75 x 2=5.5

[

-

1 2 −1 7 0 2 −1.75 5.5 1 0 0.75 1.5

| ]

1 0 0.75 1.5 0 1 −0.875 2.75 0 5 −4 13

Multiplicamos la fila R2 por 5 y el resultado se la restamos a la fila R3, para obtener el 0 de la segunda columna R 3→ R 3−5 R 2

0 x 5=0,1 x 5=5,−0.875 x 5=−4.375,2.75 x 5=13.75

[

-

0 5 −4 13 0 5 −4.375 13.75 0 0 0.375 −0.75

| ]

1 0 0.75 1.5 0 1 −0.875 2.75 0 0 0.375 −0.75

Dividimos la fila R3 por 0.375 para obtener el 1 de la tercera columna R 3→ R 3/0.375 0 ÷ 0.375=0, 0 ÷ 0.375=0, 0.375 ÷ 0.375=1 ,−0.75 ÷ 0.375 =−2

[

| ]

1 0 0.75 1.5 0 1 −0.875 2.75 0 0 1 −2

Multiplicamos la fila R3 por 0.75 y el resultado se la restamos a la fila R1, para obtener el 0 de la tercera columna R 1→ R1−0.75 R3

0 x 0.75 =0, 0 x 0.75 =0,1 x 0.75 =0.75,−2 x 0.75=−1.5

[

-

1 0 0.75 1.5 0 0 0.75 −1.5 1 0 0 3

| ]

1 0 0 3 0 1 −0.875 2.75 0 0 1 −2

Multiplicamos la fila R3 por -0.875 y el resultado se lo sumamos la fila R2, para obtener el 0 de la tercera columna R 2→ R 2+(−0.875 R 3) 0 x−0.875 =0, 0 x− 0.875=0, 1 x −0.875=−0.875 ,−2 x−0.875=1.75

0 1 −0.875 2.75

+ 0 0 −0.875 1.75 0 1

0

1

Se obtiene matriz identidad

[ |] 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 −2

{

x 1=3 x 2=1 x 3=−2

Para verificar. Sustituimos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos las operaciones:

{

x +2 y−z=7 3 x−2 y + 4 z =−1 −2 x + y −2 z=−1

3+2 ·1−(−2 )=3+ 2+ 2=7 3 ·3−2· 1+4 ·(−2 )=9−2−8 =−1 −2· 3+1 −2·(− 2)=−6+ 1 + 4 =−1

Ecuación 4

{

x +3 y−z =−3 3 x− y +2 z =1 2 x − y +z =−1

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos por el método de eliminación de Gauss-Jordan. En este caso usaremos un sistema de 3 x 3 para resolver los sistemas de ecuaciones.

[ ] 1 0 0 0 1 0 0 0 1

[

|]

1 3 −1 −3 3 −1 2 1 2 −1 1 −1

Multiplicamos la fila R1 por 3 y el resultado se la restamos a la fila R2, para obtener el primer 0 de la primera columna. R 2→ R 2−3 R 1

[

|]

1 3 −1 −3 0 −10 5 10 2 −1 1 −1

1 x 3=3, 3 x 3=9,−1 x 3=−3,−3 x 3=− 9

-

3 −1 2 1 3 9 −3 −9 0 −10 5 10

Multiplicamos la fila R1 por 2 y el resultado lo restamos a la fila R3. para obtener el 0 de la primera columna. R 3→ R 3−2 R 1

1 3 −1 −3 0 −10 5 10 0 −7 3 5 2 −1 1 −1 2 6 −2 −6 0 −7 3 5

[

|]

1 x 2=2, 3 x 2=6,−1 x 2=− 2,−3 x 2=− 6

-

Dividimos la fila R2 por -10 para obtener el 1 de la segunda columna R 2→ R 2/−10

[

|]

1 3 −1 −3 0 1 −0.5 −1 0 ÷−10=0, −10 ÷−10 =1,5 ÷−10=−0.5, 10 ÷−10 =−1 5 0 −7 3

Multiplicamos la fila R2 por 3 y el resultado lo restamos a la fila R1. para obtener el 0 de la segunda columna. R 1→ R1−3 R 2

0 x 3=0,1 x 3=3,−0.5 x 3=−1.5,−1 x 3=−3

[

-

1 3 −1 −3 0 3 −1.5 −3 1 0 0.5 0

|]

1 0 0.5 0 0 1 −0.5 −1 0 −7 3 5

Multiplicamos la fila R2 por 7 y el resultado lo sumamos a la fila R3. para obtener el 0 de la segunda columna. R 3→ R 3+7 R 2 0 x 7=0, 1 x 7=7,−0.5 x 7=− 3.5,−1 x 7 =− 7

+

0 −7 3 5 0 7 −3.5 −7 0 0 −0.5 −2

1 0 0.5 0 0 1 −0.5 −1 0 0 −0.5 −2

[

|]

Dividimos la fila R3 por -0.5 para obtener el 1 de la tercera columna R 3→ R 3/−0.5 0 ÷−0.5 =0, 0 ÷−0.5 =0, 0.5 ÷−0.5= 1,−2 ÷−0.5 =4

[

|]

1 0 0.5 0 0 1 −0.5 −1 0 0 1 4

Multiplicamos la fila R3 por 0.5 y el resultado lo restamos a la fila R1. para obtener el 0 de la tercera columna. R 1→ R1−0.5 R 3

0 x 0.5 =0, 0 x 0.5 =0,1 x 0.5 =0.5, 4 x 0.5= 2

[

-

1 0 0.5 0 0 0 0.5 2 1 0 0 −2

|]

1 0 0 −2 0 1 −0.5 −1 0 0 1 4

Multiplicamos la fila R3 por 0.5 y el resultado lo sumamos a la fila R2. para obtener el 0 de la tercera columna. R 2→ R 2+ 0.5 R 3

0 x 0.5 =0, 0 x 0.5 =0,1 x 0.5 =0.5, 4 x 0.5= 2

+

0 1 −0.5 −1 0 0 0.5 2 0 1 0 1

Se obtiene matriz identidad

[ |] 1 0 0 −2 0 1 0 1 0 0 1 4

{

x 1=−2 x 2=1 x 3=4

Para verificar. Sustituimos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos las operaciones:

(-2) + 3·1 - 4 = -2 + 3 - 4 = -3 3· (-2) - 1 + 2·4 = -6 - 1 + 8 = 1 2· (-2) - 1 + 4 = -4 - 1 + 4 = -1

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas por el método de Gauss-Jordan: Problema 1

Una prueba de admisión para un trabajo consta de 20 preguntas. Se sabe que cada acierto da 5 puntos, mientras que cada error resta 2 puntos. Si Jonás obtiene 58 puntos en la prueba: ¿Cuál es el porcentaje de respuestas correctas que obtuvo? datos =aciertos =20 preguntas {xy=errores Problema expresado en forma algebraica, formando un sistema de ecuaciones de 2x2 x + y=20 {5 x−2 y=58 Para resolverlo escribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos por el método de eliminación de Gauss-Jordan. En este caso usaremos un sistema de 2 x 2 para resolver los sistemas de ecuaciones.

(10 01 )

[ |] 1 1 20 5 −2 58

Multiplicamos la fila R1 por 5 y restamos a la fila 2 para obtener el 0 de la primera columna. R 2→ R 2−5 R1 1 x 5=5

[

1 x 5=5

20 x 5=100

5 −2 58 − 5 5 100 0 −7 −42

| ]

1 1 20 0 −7 −42

Dividimos toda la fila R2 por -7 para obtener el 1 de la segunda columna R 2→ R 2/−7

[ |] 1 1 20 0 1 6

0 ÷−7=0

−7 ÷−7=1

−42 ÷−7 =6

Multiplicamos la fila R2 por 1 y restamos a la fila R1 para obtener el 0 de la segunda columna.

R 1→ R1−1 R 2

0 x 1=0

1 x 1=1

6 x 1=6

1 1 20 −0 1 6 1 0 14

Se obtiene matriz identidad

[ | ] 1 0 14 0 1 6

{xx12==146 Esto quiere decir que Jonás obtuvo 14 aciertos y 6 errores en la prueba de admisión de 20 preguntas Para obtener el porcentaje solo realizamos una regla de 3, donde las 20 preguntas, es el 100% y Jonás obtuvo 14 aciertos, estos se multiplican por 100= 1400. El resultado obtenido se divide entre el numero total de preguntas y da un porcentaje del 70%. Esto quiere decir que Jonás obtuvo 70% de aciertos 20 preguntas →100 %

16 aciertos?=70 % Para verificar. Sustituimos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos las operaciones: x + y=20 {5 x−2 y=58

14 + 6 = 14 + 6 = 20 5·14 - 2·6 = 70 - 12 = 58

Problema 2

Imagina una bolsa y un tarro con dulces. Si se transfieren 5 dulces de la bolsa al tarro, este queda con el triple de dulces de la bolsa; sin embargo, si al inicio se transfiriera un dulce del tarro a la bolsa, ambos contenedores quedarían con la misma cantidad de dulces. ¿Cuántos dulces hay entre los dos contenedores? Datos =bolsade dulces {xy=tarro de dulces Se escribe el problema expresado en forma algebraica 3 ( x−5 )=( y +5 )

( y−1 ) =( x +1) Para poder continuar con el método de eliminación de Gauss-Jordan, se necesita escribir o simplificar la expresión, en el sistema de ecuaciones. x − y =20 {3−x+ y=2 Para resolverlo escribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos por el método de eliminación de Gauss-Jordan. En este caso usaremos un sistema de 2 x 2 para resolver los sistemas de ecuaciones.

(10 01 )

[

| ]

3 −1 20 −1 1 2

Dividimos la fila R1 por 3 para obtener el primer 1 de la primera columna R 1→ R1 /3 3 ÷3=1

[

−1÷ 3=

| ]

1 −1/3 20 / 3 2 −1 1

−1 3

20 ÷3=

20 3

Multiplicamos la fila R1 por 1 y sumamos a la fila R2, para obtener el primer 0 de la primera columna

R2 → R2 + 1 R1

−1/3 x 1=−1 /3

1 x 1=1

[

20 /3 x 1= 20 / 3

−1 1 2 1 −1/3 20 / 3 + 2 26 0 3 3

| ]

1 −1/3 20 /3 0 2 / 3 26 /3

Dividimos la fila R2 por 2/3 para obtener el segundo 1 de la segunda columna R 2→ R 2/2/3

0 ÷ 2 /3 =0

[

2/3 ÷ 2 /3=1

26 /3 ÷ 2/ 3=13

| ]

1 −1/3 20 / 3 0 1 13

Multiplicamos la fila R2 por

1 3

y sumamos a la fila R1, para obtener el segundo

0 de la segunda columna

R1 → R1 + 1 R2 1 0 x =0 3

1 1 1x = 3 3

Se obtiene matriz identidad

[ |] 1 0 11 0 1 13

1=11 {xx2=13

1 13 13 x = 3 3

1 −1/3 20 /3 13 1 +0 3 3 1 0 11

Para verificar. Sustituimos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos las operaciones: x − y =20 {3−x+ y=2

3·11 - 13 = 33 - 13 = 20 -11 + 13 = -11 + 13 = 2 1=11 {xx2=13

bolsa de dulces 11+tarro de dulces 13=total 24 dulces

El total de dulces entre los dos contenedores es de 24 dulces. Esto significa que al principio la bolsa contenía 11 dulces y el tarro 13 dulces, donde al pasarle 5 dulces al tarro, este se quedaría solo con 6 dulces y el tarro paso a tener el triple de dulces que la bolsa, ósea 18 dulces. Sin embargo, la otra parte dice que si al inicio, del tarro se transfiriera 1 dulce a la bolsa, estos tendrían la misma cantidad. Ósea

tarro 13−1=12 dulces y bolsa 11+1=12 dulces...