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Apuntes completos álgebra superior 1...

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´ Algebra Superior I

30 de noviembre de 2011

Pr´ ologo ´ que se han Este libro trata de algunos temas introductorios de Algebra ense˜ nado en la Facultad de Ciencias de la UNAM en las u´ltimas d´ecadas, en el primer semestre de las carreras de Matem´aticas, de Actuar´ıa, y hasta hace algunos a˜ nos, de F´ısica. Estos temas son fundamentales para todas las ramas de las matem´aticas. El objetivo es que los alumnos de los primeros semestres de las carreras de Matem´aticas, Actuar´ıa, Ciencias de la Computaci´on y F´ısica cuenten con un texto simple y breve donde puedan entender sin mucha dificultad los temas ´ Superior I. Esta materia es un fundamento que se cubren en el curso Algebra esencial en la formaci´on de los estudiantes de estas carreras, y no solamente ´ Los temas que se discuten de aqu´ellos que se van a especializar en Algebra. son los del programa vigente, es decir, conjuntos, funciones, relaciones de equivalencia, inducci´on, c´ alculo combinatorio, el espacio vectorial Rn , matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Adem´as se incluye el tema del anillo de los enteros y los anillos Zm . Existen dos buenos libros sobre el tema: el primero, Algebra superior, de los autores H. C´ ardenas, E. Lluis, F. Raggi y F. Tom´as [2], y el segundo, editado en a˜ nos recientes con el mismo t´ıtulo, de los autores A. Bravo, C. Rinc´ on y H. Rinc´on [1]. Estos dos libros han constituido la herramienta de los estudiantes en los u´ltimos a˜ nos para estudiar esta importante materia del inicio de la carrera. Sin embargo, el primero [2] contiene un n´ umero excesivo de erratas, no ha sido actualizado y en algunos temas es impreciso y poco formal; algunos resultados no los prueba como el hecho de que los anillos Zm , en efecto lo son. El segundo [1] es, en cierto sentido, m´ a s adecuado que el primero al ser m´ as actual y al profundizar m´as en los temas; el problema radica en que es demasiado extenso, lo cual, aunque lo convierte en un excelente libro de referencia, no resulta adecuado como texto.

i

II

Por otro lado, el libro Algebra superior, de C´ ardenas et al. [2] es, de alguna manera, bastante bueno. Esto se debe, en parte, a que contiene ejemplos muy did´ acticos, como son los de la baraja inglesa. Otra cualidad que presenta, es la de estar ordenado conforme al temario vigente. Sin embargo, desde que se edit´ o, hace ya m´ as de cuarenta a˜ nos, s´ olo se han hecho reimpresiones (sin revisi´ on), y no parece que se vaya a actualizar. Este hecho, junto con la demanda de mis estudiantes por mis notas manuscritas, motiv´o la elaboraci´on del presente libro, el cual retoma varios de los ejemplos de [2], pero enmarca la teor´ıa en un discurso matem´ atico m´as actual. Cabe se˜ nalar que esta materia tiene un alto ´ındice de reprobaci´ on, ya que un sector amplio de los estudiantes viene de la preparatoria con una formaci´ on deficiente, por lo que un texto de apoyo como el presente puede coadyuvar a mejorar el aprovechamiento de los alumnos. El presente texto, basado principalmente en el de C´ardenas et al [2], pretende presentar los temas de manera simple y rigurosa. En la parte inicial se hace ´enfasis en algunos aspectos de la l´ogica formal, con el objeto de describir la simbolog´ıa y facilitar el manejo de las pruebas formales en matem´ aticas. En la parte de combinatoria se hace claramente la diferencia de la parte formal y de la intuitiva. En general, se subraya la relaci´on con otras ramas como el c´ alculo y la geometr´ıa anal´ıtica, por ejemplo, en el cap´ıtulo del espacio vectorial Rn , se hace una breve descripci´on de las ecuaciones de los planos; en el cap´ıtulo de determinantes, se proporcionan tambi´en las ideas geom´etricas de este tema. Adem´ as, en el cap´ıtulo de ecuaciones, probando algunos teoremas simples de a´lgebra lineal, se demuestran de manera rigurosa los resultados necesarios para resolver cualquier sistema de m ecuaciones con n inc´ognitas; la inclusi´ on de estos resultados, f´aciles de probar, ciertamente aclaran al estudiante el tema, el cual se entiende mejor a la luz de la teor´ıa que mediante una aplicaci´on mec´ anica de algoritmos. Finalmente, en el cap´ıtulo de los enteros se prueba formalmente que los conjuntos Zm son en efecto anillos. En este libro aparecen tambi´en algunos temas m´as avanzados que no forman parte del material b´ asico que se pretende cubrir en un curso dise˜ nado para el primer semestre de la carrera, la raz´ on de incluirlos es motivar a los estudiantes. Por ejemplo, la discusi´on del significado geom´etrico del determinante ciertamente es un tema m´as avanzado, por lo que se sugiere verlo al final del curso y no incluirlo como tema por examinar. En resumen, el esp´ıritu del libro es proporcionar a los alumnos un texto breve, simple, formal, que pone ´enfasis en que las matem´ aticas no son ramas aisladas, sino que interact´ uan unas con otras.

III

Los temas del libro se pueden cubrir en un semestre, una posible distribuci´ on de ellos es la siguiente: 5 semanas para cubrir los primeros dos cap´ıtulos (conjuntos, funciones, inducci´ on, relaciones de equivalencia y combinatoria); otras 5 semanas para estudiar el espacio vectorial Rn , las matrices y las permutaciones; las siguientes 5 semanas para los temas de los determinantes (aspectos algebraicos), las ecuaciones y los enteros; y la u´ltima semana para la interpretaci´ on geom´etrica del determinante. ´ Nu˜ nez Rodr´ıguez que captur´o en Quiero agradecer a Cristina Angelica Latex y elabor´o las figuras de las notas que fui escribiendo por varios a˜ nos, al impartir el curso en m´ as de diez ocasiones. Mi agradecimiento tambi´en a Manuel Flores Galicia que revis´o cuidadosamente el texto y sugiri´o muchas mejoras. Y a varios de mis alumnos de esta materia por sus pertinentes intervenciones. Asimismo, a algunos de mis colegas que me han enriquecido con sus comentarios sobre la ense˜ nanza de esta materia. Finalmente, a las autoridades de la Facultad de Ciencias y la Direcci´ on General de Asuntos del Personal Acad´emico (DGAPA), que me apoyaron en la publicaci´ on de este libro, con el proyecto PAPIME PE-103811.

Contenido 1. Fundamentos 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Composici´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas . . . . . . . 1.9. Cardinalidad y conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Inducci´on matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. El teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . . . . . . . . 1.13. Estructuras num´ericas y algebraicas . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3 8 9 10 12 15 17 19 21 23 28

2. C´ alculo combinatorio 2.1. Ordenaciones con repetici´on (versi´ on intuitiva) . . . . . . . . . 2.2. Ordenaciones (versi´ on intuitiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Permutaciones (versi´ on intuitiva) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Funciones (2a visita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas (2a visita) 2.7. Ordenaciones con repetici´on (versi´ on formal) . . . . . . . . . . 2.8. Ordenaciones (versi´ on formal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Permutaciones (versi´ on formal) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Combinaciones y coeficientes binomiales . . . . . . . . . . . .

31 31 32 33 34 36 39 41 43 45 46

v

Contenido

VI

3. El espacio vectorial Rn 3.1. Vectores y sus operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal 3.5. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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53 53 60 63 69 74

4. Matrices y determinantes 81 4.1. Def iniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2. El rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.6. Desarrollo por menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7. C´ alculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.8. Caracterizaci´ on del rango de una matriz usando determinantes 109 4.9. El determinante como ´area o volumen . . . . . . . . . . . . . . 113 5. Sistemas de ecuaciones lineales 5.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Existencia de soluciones . . . . . . . . . 5.3. Sistemas de n ecuaciones y n-inc´ognitas 5.4. Sistemas homog´eneos, funciones lineales 5.5. Sistema homog´eneo asociado . . . . . . . 5.6. Resoluci´ on de sistemas . . . . . . . . . .

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121 . 121 . 123 . 126 . 132 . 136 . 138

6. Los 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

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anillos Z y Zm Anillos . . . . . . . . . . . Anillos Zm . . . . . . . . Propiedades de los enteros Orden y unidades en Z . . Principio de inducci´on . .

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147 147 148 152 155 158

Cap´ıtulo 1

Fundamentos 1.1.

Conjuntos

No se profundizar´ a en la definici´on axiom´ atica de conjunto, simplemente se tratar´ a de manera intuitiva como una colecci´ on de elementos, por ejemplo, una colecci´ on de libros, o de peces, o de n´ umeros. Se dir´ a que 2 conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Se usar´ an las letras may´ usculas A, B, C... para los conjuntos y las min´ usculas a, b, c, . . . , n, m, . . . para los elementos. Para especificar los elementos de un conjunto se usar´ a n llaves, por ejemplo A = {a, b, c}. Un conjunto importante son los enteros positivos llamados n´ umeros naturales, denotado por N = {1, 2, 3, ...}, y por supuesto los enteros Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Notaci´ on: x ∈ A significa que el elemento x pertenece al conjunto A, y x 6∈ A querr´ a decir que x no pertenece al conjunto A. Ejemplos 1) Sea el conjunto A = {1, 3, 5, 7}. Se tiene que 5 ∈ A y 6 6∈ A. 2) Sea A = {1, 4, 9, 16, ..., n2 , ...}. En este caso 169 ∈ A, pero 50 6∈ A. 3) El conjunto de las letras de la palabra Uaxact´ un es {a, c, n, t, u, x}. 1

2

1.2. Subconjuntos

Otros ejemplos importantes son los n´ umeros reales, que son los puntos de la recta, este conjunto se denota por R. Tambi´en, el plano cartesiano. R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}, as´ı como sus subconjuntos, por ejemplo, la recta y = 3x + 3.

Figura 1.1: La recta y = 3x + 3 es un subconjunto del plano El s´ımbolo ∅ se usar´a para describir el conjunto que no tiene elementos, a este conjunto se le llama el conjunto vac´ıo. Es conveniente usar condiciones para describir conjuntos: {2, 4, 6, 8, ...} = {n ∈ N | n es par} = {n ∈ N | n = 2m, m ∈ N}, o {1, 3, 5, 7, 9} = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 9 y n es impar}. Otro ejemplo ser´ıa {1, 4, 9, 25, 36, ..., m2 , ...} = {n ∈ N | n = m2 , m ∈ N}.

1.2.

Subconjuntos

Definici´ on 1 Sean A y B conjuntos, se dice que B es un subconjunto de A, si cada elemento de B lo es tambi´en de A, se denota B ⊂ A, en caso contrario se escribir´ a B 6⊂ A. Obs´ervese que si B ⊂ A, se tiene x ∈ B ⇒ x ∈ A y, viceversa, si para todo x ∈ B se tiene x ∈ A, entonces B ⊂ A. En general, cuando la proposici´on P se cumple si y s´ olo si se cumple la proposici´on Q, escribiremos P ⇐⇒ Q.

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1. Fundamentos

La proposici´on de arriba se puede reescribir B ⊂ A ⇐⇒ (x ∈ B ⇒ x ∈ A) . Si B ⊂ A, escribiremos tambi´en A ⊃ B, y se dir´ a que B est´a contenido en A, o que A contiene a B . Ejemplos 1. Si A = {golondrinas}, B = {aves} y C = {reptiles}, A ⊂ B, pero B 6⊂ C. 2. A = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 7}, B = {2, 3, 7} y C = {2, 3, 8}, B ⊂ A, pero B 6⊂ C. 3. Si z, w ∈ L, donde L es una recta en R2 y si A = {t ∈ L | t ∈ zw}, entonces z ∈ L y A ⊂ L, donde zw es el segmento en L que une z con w.

1.3.

Operaciones con conjuntos

Al comparar 2 conjuntos es conveniente pensar que ambos son subconjuntos de un mismo conjunto fijo, llamado universal. Definici´ on 2 La uni´ on de dos conjuntos A y B se define como el conjunto: A ∪ B = {x | x ∈ A o

x ∈ B}.

Las propiedades siguientes son consecuencia inmediata de la definici´on. i) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, ii) A ∪ B = B ∪ A (conmutatividad), iii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociatividad). La u ´ltima observaci´on permite no poner par´entesis al denotar la uni´ on de m´ as de dos conjuntos.

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1.3. Operaciones con conjuntos

Definici´ on 3 La intersecci´on de dos conjuntos A y B se define como A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}. De nuevo se sigue de manera inmediata que iv) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B, v) A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad), vi) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociatividad). Como antes se pueden quitar los par´entesis.

A

B

A

A∪B

B

A∩B

Figura 1.2: Uni´ on e intersecci´ on de conjuntos Proposici´ on 1.3.1 (Ley distributiva) Sean A, B y C conjuntos, entonces se tiene vii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) viii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ). ´ n. Probamos vii) y dejamos viii) como ejercicio. Demostracio L´ease primero ⇒ y luego ⇐ x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ x ∈ A y x ∈ (B ∪ C ) ⇔ x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C) ⇔ (x ∈ A y x ∈ B) o (x ∈ A y

x ∈ C)

⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 

5

1. Fundamentos

 significa fin de la prueba. Otras t´ecnicas de prueba muestran que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

⊂

A ∩ (B ∪ C) :

Se tiene A ∩ B ⊂ A y A ∩ C ⊂ A, adem´ as A ∩ B ⊂ B ⊂ B ∪ C y A ∩ C ⊂ C ⊂ B ∪ C, por lo cual (A ∩ B) ⊂ A ∩ (B ∪ C) y

(A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C ).

Recordamos que un conjunto universal es un conjunto fijo que contiene a todos los conjuntos en discusi´ on. Por ejemplo, en la geometr´ıa anal´ıtica 2 el plano R es el conjunto universal y los subconjuntos son las rectas, las par´ abolas, los c´ırculos, etc´etera. En otras geometr´ıas, los subconjuntos del plano pueden ser objetos simples, o muy complejos como los fractales. Definici´ on 4 Sea X un conjunto universal y A un subconjunto de X se define el complemento del conjunto A, denotado por Ac, como los elementos de X que no pertenecen a A, espec´ıficamente Ac = {x | x ∈ X, x 6∈ A}. Evidentemente el complemento de un conjunto var´ıa si el universal donde vive cambia, por ejemplo, el complemento de A = {1, 2} en X = {1, 2, 3} es {3} pero en X = {1, 2, 3, 4} es {3, 4}. Las propiedades b´ asicas de la complementaci´ on son: ix) (Ac)c = A, x) A ∪ Ac = X, xi) A ∩ Ac = ∅. Las propiedades x) y xi) se siguen directamente de la definici´on, para probar ix) sea x ∈ (Ac)c, entonces como x ∈ X y x 6∈ Ac, se sigue de x) que x ∈ A. Viceversa, si x ∈ A, entonces x ∈ X pero x 6∈ Ac ∴ x ∈ (Ac)c. ∴ significa de donde.

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1.3. Operaciones con conjuntos

Otra propiedad importante es xii) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac.

B A A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac

Figura 1.3: La contenci´on de conjuntos se invierte al tomar complementos Probamos primero ⇒) Se debe probar que si x ∈ B c, entonces x ∈ Ac. Suponiendo que no es cierto lo afirmado se tendr´ıa que existe una x ∈ B c que no pertenece a Ac, i.e., ( del lat´ın id est, que significa es decir) x 6∈ Ac, por lo que x ∈ A, pero entonces se sigue por hip´otesis que x ∈ B, lo cual contradice x ∈ B c. Por lo tanto se concluye que suponer lo contrario de lo afirmado llevo a una contradicci´on, por lo que lo afirmado debe ser cierto. Este tipo de demostraci´ on usada por Arist´ oteles, se le llama por reducci´ on al absurdo, y conlleva el razonamiento elemental de la l´ogica formal que dice: (La proposici´on M ⇒ La proposici´on N ) ⇔ (∼ N ⇒ ∼ M ), ∼ significa no. ⇐) Esta propiedad es dual de la anterior, solo tendr´ıamos que escribir E = B c y F = Ac. Por la primera parte, como E ⊂ F, se sigue F c ⊂ E c, i.e., A ⊂ B.  Proposici´ on 1.3.2 (Leyes de De Morgan) Sean A y B conjuntos, entonces xiii) (A ∪ B )c = Ac ∩ B c, xiv) (A ∩ B )c = Ac ∪ B c.

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1. Fundamentos

A

B

A

B

( A ∩ B ) c = Ac ∪ B c

( A ∪ B ) c = Ac ∩ B c

Figura 1.4: Complementos de uni´on e intersecci´on ´ n. Probamos xiv) y dejamos xiii) como ejercicio. Demostracio L´ease primero ⇒ y luego ⇐ x ∈ (A ∩ B)c ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x x x x

6 ∈ 6∈ ∈ ∈

(A ∩ B) A o x 6∈ B Ac o x ∈ B c Ac ∪ B c. 

Otra demostraci´ on de (A ∩ B )c ⊃ Ac ∪ B c : Se tiene A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B, por lo que (A ∩ B)c ⊃ Ac y (A ∩ B )c ⊃ B c, entonces (A ∩ B )c ⊃ Ac ∪ B c. Definici´ on 5 La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto: A − B = {x | x ∈ A y x 6∈ B}. N´ otese que A − B = A ∩ B c.

Proposici´ on 1.3.3 A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C ).

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1.4. Producto cartesiano

´ n. Demostracio A − (B ∩ C) = A ∩ (B ∩ C)c = A ∩ (B c ∪ C c ) = (A ∩ B c) ∪ (A ∩ C c) = (A − B) ∪ (A − C ).  EJERCICIOS 1.3 1. Demuestre la Proposici´on 1.3.1 viii). 2. Demuestre la Proposici´on 1.3.2 xiii).

1.4.

Producto cartesiano

Definici´ on 6 Sea A un conjunto, las parejas ordenadas de A son aqu´ellas de la forma (a, b), tal que a ∈ A y b ∈ A. Por ejemplo, el plano cartesiano consiste de las parejas ordenadas de reales: R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}. Si A = {1, 2} las parejas ordenadas de A son (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2). Tambi´en se pueden considerar parejas ordenadas de un par de conjuntos A y B, de tal manera que el primer t´ermino est´e en A y el segundo en B .

Figura 1.5: Ret´ıcula N × N Definici´ on 7 Sean A y B conjuntos, el producto cartesiano de A y B , denotado por A × B, es el conjunto de parejas ordenadas A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}.

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1. Fundamentos

Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {a, b}, entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Otros ejemplo es la ret´ıcula descrita en la Figura 1.5 N × N = {(n, m) | n ∈ N y m ∈ N}. Tambi´en, son ejemplos de productos cartesianos Z × Z y R × R. Obs´ervese que (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c y b = d. En particular, (1, 2) 6= (2, 1) (6= significa es distinto). Se escribir´ a A2 por A × A. EJERCICIOS 1.4 1. Sea A = {a, b} demuestre que N × A es infinito.

1.5.

Relaciones

Definici´ on 8 Sean A y B conjuntos, una relaci´on entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano. Por ejemplo, si A = {a} y B = {1, 2}, A × B tiene 2 relaciones de un elemento R1 = {(a, 1)} y R2 = {(a, 2)}, tambi´en tiene una sola relaci´ on de 2 elementos (la total) R3 = {(a, 1), (a, 2)}, finalm...