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INECUACIONES

CAPÍTULO III INECUACIONES 3.1. IGUALDAD, ECUACIÓN, DESIGUALDAD E INECUACIÓN Antes de dar una definición de inecuación, es conveniente dar el concepto y algunos ejemplos de igualdad, ecuación y desigualdad. Igualdad: Es una expresión donde interviene el símbolo objeto o miembro es igual a otro. Ejemplos de igualdades: a)

b) x

, usado para identificar cuando una cosa,

c) Sen

Cos

d)

Ecuación: Es una igualdad que contiene al menos una letra y que se verifica para ciertos valores de un conjunto referencial. Ejemplos de ecuaciones: x a) x b) c) x d) F m a x x x x Observación: Cuando se nos pide resolver una ecuación, debemos mediante conocimientos y procedimientos previamente establecidos, encontrar los valores de las letras que satisfacen la igualdad planteada. El conjunto formado por todos estos valores, lo llamaremos conjunto solución S de la ecuación dada. Desigualdad: Es una expresión matemática donde intervienen al menos uno de los símbolos , utilizados para definir las relaciones de orden. Ejemplos de desigualdades: a)

b)

x

c) x

x

d)

e)

,

,

ó

x x

Inecuación: Es una desigualdad donde intervienen al menos una letra y que se verifica para ciertos valores de un conjunto referencial. Ejemplos de inecuaciones: x x x x a) b) c) d) x x Inecuaciones reales: Son inecuaciones cuyo conjunto solución es un subconjunto de los números reales. Observación: Por lo general, cuando se nos pide resolver una inecuación y no se nos dice en que conjunto numérico está definido, suponemos que es una inecuación real. Para resolverla, debemos mediante conocimientos y procedimientos previamente establecidos, encontrar los valores 123

INECUACIONES

reales de las letras que satisfacen la desigualdad planteada. El conjunto formado por todos estos valores reales, lo llamaremos conjunto solución S de la inecuación dada. Ejercicios Propuestos: Dadas las siguientes proposiciones, indicar cuáles son verdaderas y cuáles son falsas. Explicar en cada caso su respuesta. 1) Toda igualdad es una ecuación. 2) Toda ecuación es una igualdad. 3) Toda inecuación es una desigualdad. 4) Toda desigualdad es una inecuación. 5) Toda inecuación es una ecuación. 6) es una desigualdad. 7) es una igualdad. 8) es una desigualdad. Respuestas: Verdaderas: 2) ,3), 7), 8) Falsas: 1), 4), 5), 6) 3.2. INTERVALOS REALES Sean a y b dos números reales, tal que a b . Definimos los tipos de intervalos así: Intervalos abiertos y cerrados de extremos a y b (I) Intervalo abierto desde a hasta b : Es el conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b , excluyendo a ambos. Notación: a b Por definición: a b

x

R a

x

b

x

ab

a

x

b

Representación gráfica: (xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

a

b

(II) Intervalo cerrado desde a hasta b : Es el conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a incluyendo a ambos. Notación: a b Por definición: a b

x

R a

x

b

x

Representación gráfica: [xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] b

a 124

ab

a

x

b

yb ,

INECUACIONES

Intervalos semiabiertos o semicerrados de extremos a y b (III) Intervalo semicerrado por la izquierda o semiabierto por la derecha: Es el conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b , Incluyendo a a y excluyendo a b . Notación: a b Por definición: a b

x

R a

x

b

x

ab

a

x

b

Representación gráfica: [xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

a b (IV) Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha: Es el conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a excluyendo a a e Incluyendo a b . Notación: a b Por definición: a b

x

R a

x

b

x

ab

a

x

b

Representación gráfica: (xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]

a

b

Intervalos infinitos (V) Intervalo abierto en a por la izquierda y (más infinito) por la derecha: Es el conjunto formado por todos los números reales mayores que a . Notación: a Por definición: a

x

R x

a

x

a

x

a

Representación gráfica: (xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

a (VI) Intervalo cerrado en a por la izquierda y (más infinito) por la derecha: Es el conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que a . Notación: a Por definición: a

x

R x

a

x

a

x

a

Representación gráfica: [xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

a (VII) Intervalo (menos infinito) por la izquierda y abierto en b por la derecha: Es el conjunto formado por todos los números reales menores que b . 125

yb ,

INECUACIONES

Notación:

b b

Por definición:

x

R x

b

x

b

x

b

Representación gráfica: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) b

(VIII) Intervalo (menos infinito) por la izquierda y cerrado enb por la derecha: Es el conjunto formado por todos los números reales menores o iguales que b . Notación: b Por definición:

b

x

R x

b

x

b

x

b

Representación gráfica: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] b

(IX) Intervalo (menos infinito) por la izquierda y (más infinito) por la derecha: Es el conjunto formado por todos los números reales. Notación: Por definición:

x

R

x

x

R

Representación gráfica: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Intervalos degenerados: (X) a a (XI) a a

a

(XII) a a

(XIII) a a

Ejercicios resueltos: 1) Escribir cada conjunto como un intervalo real: a) x

R

 d)  x 

R x

x

  

b) x

R x

 e)x 

R

x

  

c) x

R

 f) 

  

x

Solución: a) c)

x x

R R

b)

x

d)x 

x 126

x

R x

R x

  

  

  

INECUACIONES

e)  x 

R

  

x

  

  

 f)  

  

  

  

2) Dados los siguientes intervalos reales, expresar cada uno de ellos en forma de conjunto y hacer la representación gráfica sobre la recta real:    a) b)  c)      d)

e)

Solución: a)

x

R

x (xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

b) 

 c) 

d)

 

 

x

 x 

R

R

x

x [xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]

x

   (xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]

R x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]

e)

x

R x (xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

f)

127

f)

INECUACIONES

Ejercicios propuestos: 1) Escribir cada intervalo real como un conjunto: a)

b)

c)

  e)  f)    2) Dados los siguientes conjuntos, expresar cada uno de ellos en forma de intervalo real y hacer la representación gráfica sobre la recta real. d)

a) x

R

x

b) x

d) x

R

x

e)

R

x

c) x

R

x

f)

Operaciones con intervalos reales: Para resolver las operaciones de unión, intersección, resta y complemento con intervalos reales, representamos gráficamente los intervalos dados sobre la recta real de una manera en que podamos visualizarlos bien, para poder establecer las relaciones entre ellos. Luego, aplicamos la definición de las operaciones correspondientes para determinar el conjunto solución. Veamos, la utilización de estas sugerencias en los siguientes ejercicios. Ejercicios resueltos: Dados los intervalos reales: A

y B

Hallar: a) A B b) A B c)A B d)CBA e)A C Solución: Representemos gráficamente sobre la recta real, los intervalos dados. Preferiblemente un intervalo por encima y el otro por debajo, para así poder apreciar mejor las operaciones que se nos pide. A xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] B a) Por definición: A

B

x

R x

A

x

B

Para determinar A B , trasladamos A hasta B ó B hastaA y observamos en la gráfica que parte de la recta resulta. Nos da, un intervalo que va desde hasta . Luego, estudiamos si los extremos pertenecen o no pertenecen a la solución. Basta que uno de los extremos pertenezca a algunos de los intervalos, para que dicho número pertenezca a la unión. En el ejercicio dado, sabemos que siempre es abierto y como A B B⇒ A B . Por lo tanto, concluimos que: 128

INECUACIONES

b) Por definición: A B x R x A x B Para hallar A B , observamos en la gráfica la parte de la recta real que contiene los elementos comunes de ambos intervalos. En el ejercicio, es el intervalo que va desde hasta . Ahora bien, para que un extremo pertenezca a A B , este debe pertenecer tanto a A como a B . Como A B⇒ A B . Ya que

A

⇒

A

B . Luego, A

B

x R x A x B c) Por definición: A B Para encontrar A B , observamos en la gráfica la parte de la recta real que está en A y no en B . En el ejercicio, corresponde al intervalo que va desde hasta . Para que un extremo pertenezca a A B , se debe cumplir que el extremo pertenezca a A y no a A B ⇒ A B , es abierto y además : B . Como entonces se concluye que: A B d) Por definición: CBA A Para calcular CB

x B

R x

B

x

B

A

A , se hace un razonamiento similar al de A B . De donde

podemos deducir que: CBA C e) Por definición: A

A

A

. x x

R

x

A

CRA

R

A

Para determinar A C , se observa en le gráfica la parte de la recta real que está en R y no está en A , resultando el intervalo que va desde hasta . Ahora bien, un extremo C C pertenece a A si no pertenece a A ( x A ⇒ x A ). En el ejercicio, siempre A ⇒

se toma abierto y como

A C . Luego, AC

.

Ejercicios propuestos: Dados los intervalos reales: A Hallar: 1) A B Respuestas: 1)

2) A

y

B

2)

5)

4) C AB

3) A B

B

5)A C

6) BC

3)

4)

6)

3.3. DEFININICIONES Y PROPIEDADES SOBRE DESIGUALDADES Definiciones: b a 1) a b

b a es positivo

8) a

b

b

a

2) a

b

b a

b a es positivo o cero

9) a

b

a

b

a

b

3) a

b

a b

a b es positivo

10) a

b

a

b

a

b

129

INECUACIONES

11) a

x

b

a

x

x

b

a

12)a

x

b

a

x

x

b

b

a

13)a

x

b

a

x

x

b

b

a

14)a

x

b

a

x

x

b

4) a

b

a b

5) a

b

b

6) a

b

7) a

b

a b es positivo o cero

Propiedades: 1) a

a es positivo

15) a b

⇒a

b

a

b

2) a

a es negativo

16) a b

⇒a

b

a

b

3) a

a

a 17) b

⇒ a

b

a

b

4) a

a

a 18) b

⇒ a

b

a

b

5) a

b

b

c⇒ a

c

19)

a

6) a

b

b

c⇒ a

c

20)a

b

7) a

b⇒ a

c

b c

21)a

b

⇒a b

a b

8) a

b⇒ a c

b c

22)a

b

⇒a b

a b

9) a

b

23)a

b

⇒a b

a b

24)a

b

⇒a b

a b

d⇒a

c

c

d ⇒a

b d c

b d

b c

10) a

b

c

11) a

b

c

⇒a c

b c

25)a

⇒

12) a

b

c

⇒a c

b c

26)a

⇒

13) a

b

c

⇒a c

b c

27) a

b

14) a

b

c

⇒a c

b c

28)a

b

c

d ⇒a c

b d

d

⇒a c

b d

a a ⇒a

b

⇒ a

b

3.4. PROPIEDADES BÁSICAS PARA RESOLVER INECUACIONES 1) x a

b ⇒x

x 10) a

b a 130

b

a

⇒x

b a

INECUACIONES

a

b ⇒x

b

a

x 11) a

b

a

⇒x

b a

3) x a

b ⇒x

b a

x 12) a

b

a

⇒x

b a

4) x a

b ⇒x

b a

13) x

b

x

b

14) x

b

x

b

2) x

5) a x

b

a

6) a x

b

a

7) a x

b

a

8) a x

b

a

9)

x a

b

a

⇒x

b a

b a b ⇒x a b ⇒x a ⇒x

⇒x

b a

15)a

x

b

b

x

a

16)a

x

b

b

x

a

17)a

x

b

b

x

a

18)a

x

b

b

x

a

Observación: a) De acuerdo a las propiedades básicas de las desigualdades para resolver inecuaciones, podemos concluir que si una cantidad está sumando a un miembro de una desigualdad, ésta la podemos trasladar hacia el otro miembro restando y viceversa. Si una cantidad positiva está multiplicando a todo un miembro de una desigualdad, ésta la podemos trasladar hacia el otro miembro dividiendo y viceversa. Ahora bien, en caso de que una cantidad sea negativa y está multiplicando a todo un miembro de una desigualdad, ésta la pasamos hacia el otro miembro dividiendo, pero le cambiamos el símbolo a la desigualdad y viceversa. b) Las demostraciones de las propiedades de las desigualdades es un objetivo de algunos programas de matemática superior y se realizan apoyándonos en la axiomática de los números reales y de todos aquellos conocimientos previamente establecidos. Como a manera de ejemplo y para tener una idea de la forma en que se hacen estas demostraciones, vamos a probar sólo dos de ellas. Ejercicios resueltos: Demostrar las siguientes propiedades de las desigualdades: x b a 1) x a b ⇒x b a 2) ⇒x a b a Solución: 1) x a b ⇒x b a Demostración: x a b ⇒x a a b a (Por propiedad 7 de las desigualdades) 131

INECUACIONES

⇒x

 a

⇒x ⇒x

2)

a 

(Por propiedad asociativa y la definición de

b a

sustracción en R ) (Por elemento simétrico u opuesto en R )

b a b a

(Por elemento neutro de la adición enR )

x ⇒x a b b a a Demostración: x x b a a b a ⇒ a a   ⇒ x  a a  

(Por propiedad 13 de las desigualdades)

a b (Por definición de división y propiedad conmutativa del producto en R )

  ⇒ x  a a   ⇒x

a b

⇒x

a b

a b (Por propiedad asociativa de la multiplicación en R ) (Por elemento simétrico o inverso de la multiplicación en R ) (Por elemento neutro de la multiplicación enR )

Ejercicios Propuestos: Hacer las demostraciones de las propiedades básicas para resolver inecuaciones. 3.5. INECUACIONES EQUIVALENTES Y SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN Se dice que dos inecuaciones son equivalentes, si tienen el mismo conjunto solución. Para resolver una inecuación se deben obtener en forma sucesiva, inecuaciones equivalentes que sean más reducidas hasta llegar al conjunto solución S . Cuando se nos pida resolver una inecuación, debemos hallar el conjunto solución S , luego expresar éste en forma de intervalo y finalmente hacer la representación gráfica de S sobre la recta real. Ejemplo ilustrativo: Resolver la inecuación: x Solución:

x x

⇒ x

⇒ x ⇒

⇒

Conjunto solución S

Conjunto solución en forma de intervalo es: S

Representación gráfica: S xxxxxxxxxxxxxxxx)

132

x

R x

INECUACIONES

3.6. TIPOS DE INECUACIONES REALES CON UNA SOLA VARIABLE Las que generalmente se estudian son las siguientes: Inecuaciones Polinómicas: ⋯⋯⋯ a x Sea el polinomio: P x an x n an x n

a x a , las inecuaciones

polinómicas son aquellas que presentan algunas de las siguientes formas: P x P x P x

P x

Inecuaciones Racionales: Sean los polinomios: P x

Q x

an xn bn xn

a n xn

⋯⋯⋯ a x

bn xn

⋯⋯ b x

ax a

bx b

Las inecuaciones racionales son aquellas que ti...