Apuntes Econometría Derecho-ADE PDF

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Econometr ́ıa EmpresarialMarcos Bujosa2 de octubre de 2020Copyright©2002–2020 (mbujosab@ucm)Algunos derechos reservados. Este obra est ́a bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual4 Internacional. Para ver una copia de esta licencia, visitecreativecommons/licenses/by-sa/4.0/...

Description

Econometr´ıa Empresarial Marcos Bujosa 2 de octubre de 2020

Copyright © 2002–2020 ([email protected])

Algunos derechos reservados. Este obra est´a bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual 4.0 Internacional. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ o envie una carta a Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA. Puede encontrar la ´ultima versi´on de este material en http://www.ucm.es/fundamentos-analisis-economico2/marcos-bujosa

´Indice I

Regresi´ on lineal (estad´ıstica descriptiva)

6

´ 1: Geometr´ıa del ajuste MCO LECCION

7

1. Ajuste por M´ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO) 1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ajuste m´ınimo cuadr´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ PRACTICAS Casas: Primer ejemplo sobre el precio de casas unifamiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Replicaci´ on de los cuatro gr´ aficos de la primera transparencia de esta lecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . Incorporando informaci´ on descriptiva sobre las variables cargadas en Gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 14 14 14 15

´ 2: Muticolinealidad exacta y modelos con 1, 2 y 3 regresores 16 LECCION 1.3. Productos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Los productos escalares sirven para medir longitudes y ´angulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Producto escalar usual en estad´ıstica descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6. Ajuste MCO con uno, dos y tres regresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7. Ecuaciones normales del ajuste MCO con k regresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ´ 28 PRACTICAS Simulaci´ on de un modelo sobre el precio de las viviendas con dos regresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Simulaci´ on de un modelo sobre el precio de las viviendas con dos regresores. ¿Qu´ e motiva los errores en la estimaci´ on si todo parece controlado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ´ 3: Propiedades algebraicas del ajuste MCO y R2 LECCION 2. Propiedades algebraicas del ajuste MCO 2.1. Propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Medidas de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

32 32 32 37

´INDICE

2

´ 42 PRACTICAS Datos de Anscombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Propiedades de los residuos MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 El coeficiente de determinaci´ on puede ser negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 El coeficiente de determinaci´ on como cuadrado de la correlaci´ on entre valores observados y ajustados (cuando hay t´ ermino constante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 La importancia a los criterios de ajuste es muy relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ¿Tiene sentido llamar variable explicativa a cualquier regresor? Una regresi´ on infantil . . . . . . . . . . . . 45

II

Modelo Cl´ asico de Regresi´ on lineal

47

´ 4: Especificaci´ on del Modelo Lineal General LECCION

48

3. Las variables aleatorias como modelo. 3.1. Relaci´on con las lecciones anteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. La regresi´ on como descomposici´on ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Modelo Cl´asico de Regresi´ on Lineal 4.1. Los cuatro primeros supuestos en el Modelo Cl´ asico de Regresi´on Lineal 4.2. Primer supuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Segundo supuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Tercer supuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Cuarto supuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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48 49 53

55 . . 56 . 56 . 56 . 58 . 58

´ PRACTICAS

60

´ 5: Estimaci´ LECCION on del Modelo Lineal General

61

5. Estimaci´ on MCO (M´ınimos Cuadrados Ordinarios) 5.1. Una expresi´ on alternativa de las estimaciones MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Algunos casos particulares de MLG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 62

´ 65 PRACTICAS Ejemplo de datos simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Ejemplo de datos simulados (correlaci´ on entre regresores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Efectos del incumplimiento de algunos supuestos (perturbaciones sin esperanza nula) . . . . . . . . . . . . . 65 Efectos del incumplimiento de algunos supuestos (No se cumple la estricta exogeneidad de los regresores) . . 65 ´ 6: Estimaci´ on del Modelo Lineal General: Propiedades estad ´ısticas LECCION 6. Propiedades estad´ısticas de los estimadores MCO 6.1. Esperanza del Estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Varianza del estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 68 69

7. Ap´ endice de definiciones y resultados 7.1. Momentos de los valores ajustados y los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 73

8. Distribuci´ on de los estimadores MCO bajo la hip´ otesis de Normalidad 8.1. Quinto supuesto del Modelo Cl´ asico de Regresi´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Estimaci´on de la varianza residual y la matriz de covarianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. M´as sobre eficiencia de los estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 75 75 76

9. M´ as sobre medidas de ajuste

76

´ 78 PRACTICAS Varianza de los estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Un experimento de Montecarlo: samplinghouses0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Repitiendo el experimento de Montecarlo muchas veces: samplinghouses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Montecarlo con perturbaciones con distribuci´ on no normal: samplinghouses3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

´INDICE

III

3

Inferencia en el Modelo Cl´ asico de Regresi´ on lineal

82

´ 7: Inferencia. Contrastes de hip´ otesis lineales LECCION

83

10.Introducci´on a la contrastaci´ on de hip´ otesis

83

11.Estad´ıstico t de Student

84

12.Contraste de hip´ otesis sobre coeficientes individuales de la regresi´on 86 12.1. Contrastes de dos colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 12.2. Contrastes de una sola cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 12.3. Reglas de decisi´ on para contrastes de una cola y de dos colas usando el p-valor . . . . . . . . . . . . . 88 ´ 89 PRACTICAS Houses: Precio de casas unifamiliares (constante m´ as tres regresores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Contrastes de hip´ otesis simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 p-valor y potencia del contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ´ 8: Inferencia. Contrastes de hip´ LECCION otesis lineales (combinaciones lineales de par´ ametros). Intervalos y regiones de confianza 93 13.Contraste de hip´ otesis sobre combinaciones lineales de coeficientes de la regresi´ on 13.1. El test F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. t versus F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.Regiones e intervalos de confianza

93 94 95 97

´ 101 PRACTICAS Bus travelers: Los determinantes del n´ umero de viajeros de autob´ us . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Intervalos y regiones de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Montecarlo para los intervalos de confianza: samplinghouses5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 ´ 9: M´ınimos cuadrados restringidos y contrastes de hip´otesis lineales LECCION

104

15.Estimaci´ on bajo restricciones lineales generales 104 15.1. Propiedades estad´ısticas del estimador MCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 15.2. Contraste de la F mediante sumas residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 16.Contraste de normalidad Jarque-Bera

111

´ 113 PRACTICAS Houses: Precio de casas unifamiliares (constante m´ as tres regresores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Estimaci´ on restringida v´ıa m´ınimos cuadrados restringidos y v´ıa sustituci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Test de Chow de cambio estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

IV

Interpretaci´ on pr´ actica

115

´ 10: Interpretaci´ LECCION on de coeficientes en modelos con logaritmos

116

17.Funci´ on exponencial, funci´ on logaritmo y elasticidad

116

18.Modelos con logaritmos 118 18.1. Relaciones lineales en las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 C´ alculo de la eslasticidad en un modelo Lin-Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 18.2. Relaciones Lin-Log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 C´ alculo de la elasticidad en un modelo Lin-Log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 18.3. Relaciones semi-logar´ıtmicas (Log-lineal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Interpretaci´ on de coeficientes en un modelo Log-Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Comparaci´ on del ajuste entre un modelo Lin-Lin y otro Log-Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

´INDICE

4

18.4. Modelos Log-Log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Elasticidades en la demanda del transporte en autobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ´ 127 PRACTICAS Precio de casas unifamiliares (Modelo Lin-log) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Relaci´ on entre numero de patentes e inversi´ on en investigaci´ on y desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 ´ 11: Interpretaci´ on de coeficientes en modelos con con regresores cualitativos LECCION

129

19.Dummies 129 19.1. Interpretaci´on de los coeficientes de las variables ficticias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Diferencias salariales entre hombres y mujeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Diferencias salariales entre hombres y mujeres (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 19.2. Contrastes de homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 19.3. T´erminos de interacci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 ´ PRACTICAS Cambio estructural en la participaci´ on de las mujeres en el mercado laboral . . . . Estudio de la demanda de masilla para construcci´ on (con estacionalidad mensual). Modelo Log-lin con variables ficticias: diferencias salariales entre grupos. . . . . . . Precio de viviendas unifamiliares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Relaci´ on entre los modelos de tres regresores y los de dos

137 . 138 . 139 . 140 141 142

B. M´ as propiedades algebraicas de la regresi´ on por m´ınimos cuadrados. 143 B.1. Esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 B.2. Varianza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 C. Demostraciones 153 C.1. Derivaci´on de la varianza del estimador MCO en el modelo con tres regresores . . . . . . . . . . . . . . 153 Solutions to Exercises

155

En estas notas encontrar´a todas las transparencias de clase junto con mucha m´as informaci´on. El desarrollo de la mayor´ıa de los resultados matem´aticos est´a propuesto en forma de problemas al final de cada lecci´on. He pensado que aligerando los detalles se logra una exposici´on m´as directa, pero es importante que en una segunda lectura intente resolver los problemas. Estos problemas de contenido matem´atico est´an indicados en el margen umero que sigue a la P es el n´ umero de problema (y del texto (como por ejemplo a la izquierda de este p´arrafo). El n´ debajo y entre par´entesis se indica la p´ agina donde aparece el enunciado). Al final de las notas encontrar´a las soluciones, pero no debe mirarlas hasta que haya dado con “su respuesta”. Consultar las respuestas sin haber resuelto antes el ejercicio sirve de muy poco cuando se est´a estudiando. Recuerde que el aprendizaje es una tarea activa, es decir, usted debe encontar la soluci´on activamente (es decir, mediante un esfuerzo individual y personal), y no mirar la soluci´ on de otro.

Naturaleza y objetivos de la econometr´ıa Sin duda e´sta es una secci´ on importante e interesante, pero pude prepararla sin ayuda del profesor, as´ı que ¡l´ ease alguno de los cap´ ıtulos introductorios de las referencias de la bibliograf´ıa recomendada! Por ejemplo Wooldridge (2006, Cap´ıtulo 1) o Gujarati (2003, Introducci´ on y Cap´ıtulo 1). Las ideas centrales son: Introducci´ on: ¿Por qu´ e modelar? Modelado consiste en intentar ajustar un modelo matem´atico (estad´ıstico) a un conjunto de datos (“la muestra”). El modelo es u ´til cuando es simple pero capta las caracter´ısticas de los datos que consideramos m´as interesantes. Los objetivos por los que se construyen modelos son variados:

P-2 (46)

´INDICE

5

Algunos objetivos de la econometr´ıa Estimaci´ on: sensibilidad de un valor financiero a movimientos de un ´ındice de referencia (evaluaci´on de exposici´ on al riesgo y cobertura con derivados sobre el ´ındice) Previsiones: probabilidad de impago de pr´estamos (funci´ on de las caracter´ısticas de la operaci´on y del solicitante) Simulaci´ on: Control:

rendimiento de una cartera de valores en diferentes escenarios bancos centrales: intervenci´ on de tipos para controlar la inflaci´ on

6

Parte I

Regresi´ on lineal (estad´ıstica descriptiva)

AJUSTE POR M´INIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO)

1

7

´ 1: Geometr´ıa del ajuste MCO LECCION

Lecci´ on 1 Bibliograf´ıa: B´ asica: Wooldridge (2006) Complementaria: Ramanathan (2002), Johnston and Dinardo (2001), Gujarati (2003)

1.

Ajuste por M´ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO) Cap´ıtulos 2 y 3 de Wooldridge (2006) Ap´endice E1 de Wooldridge (2006)

1.1.

Introducci´ on

En muchas ocasiones es posible lograr una mejor comprensi´on de una variable, si ´esta se relaciona con otras. Supongamos que disponemos de datos relativos al volumen de ventas de un grupo de 50 vendedores; estos datos se “comprenden” mejor si se relacionan con la experiencia de cada vendedor1 : (Lecci´on 1)

T-1 Relacionar unas variables con otras puede mejorar la comprensi´ on

1

En este ejemplo, con datos simulados, parece existir una relaci´ on lineal entre el volumen de ventas y los meses de experiencia del vendedor; pues los pares de datos (ventas, experiencia de los vendedores) est´an dispuestos “aproximadamente” a lo largo de una linea recta y = a + b · x. 1 En

agina 14) se muestra c´ omo generar los cuatro gr´ aficos de la transparencia anterior el Ejercicio en Clase N-1 (p´

1

AJUSTE POR M´INIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO)

8

Puesto que los puntos no est´an “perfectamente” alineados; es c´omo si la relaci´on entre ventas y experiencia fuera del tipo V entas = a + b · Exper + OtrasC osas; donde OtrasCosas es lo que desplaza los puntos ligeramente fuera de la recta y = a + b · x. La cuesti´on que nos ocupa es: ¿podemos “aproximar” los datos de ventas como si fueran una combinaci´ on lineal de la experiencia m´as un t´ermino constante (cte. = 1 ). \ =b ventas a · 1 + bb· exper ?

Y si es posible, ¿c´ omo calculamos las magnitudes de los par´ ametros b a y bb? es decir, ¿cu´ales son los valores de la constante y la pendiente de esta supuesta relaci´on lineal? ¿Y c´omo evaluamos la bondad del ajuste de esta aproximaci´ on lineal? En este tema vamos a contestar estas preguntas.

1.2.

Ajuste m´ınimo cuadr´ atico

Ejemplo 1. Funci´ on de consumo: supongamos que consumo y renta disponible de cada familia n-´esima sigue la relaci´on: conn = β1 + β2 · rdn + (otros f actores)n donde conn y rdn son el consumo y la renta disponible del individuo n-´esimo respectivamente, y (otros f actores)n son otros elementos que afectan al consumo del individuo n-´esimo distintos a su renta disponible y de los que no tenemos datos (quiz´a activos financieros, estado de ´animo, edad, lugar de residencia, etc.). Si disponemos de datos de consumo y renta disponible de N familias y los organizamos en vectores, podemos on lineal de la renta disponible, rd y un t´ermino cte., 1 calcular el consumo ajustado, con, d como una combinaci´ (¡ignorando otros factores!): ! h i c β 1 c1 · 1 + βc d =β = 1; rd c con 2 · rd β2

Nomenclatura:

regresando (vble. end´ogena, o vble a explicar): vector de datos de consumo:

con

regresores (vbles. ex´ogenas, o vbles explicativas): vector de unos (1) y de rentas disp. (rd): vector de par´ametros: Ejemplo 2. Salario:

b= β

! c1 β c β2

h i X = 1; rd

salarion = β1 + β2 · Educ n + β3 · Exper n + β4 · IQn + (otros f actores)n donde Educ son los a˜ nos de formaci´ on del trabajador, Exper son sus a˜ nos de experiencia laboral y IQ su coeficiente intelectual (una medida de la habilidad del trabajador).

1

AJUSTE POR M´INIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO)

9

(Lecci´on 1) T-2 Ajuste MCO: funci´ on lineal en los par´ ametros y del regresando y es una combinaci´on lineal de los regresores X : El ajuste b ...