Übungen - 1. Gruppenübung Zur Vorlesung 2011 - Ergebnisse und Hinweise zu den Übungen PDF

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Dr. B. Ackermann M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman

1. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung

H¨ohere Mathematik 1

Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. S¨andig

Wintersemester 2010/11

Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 1. Binomialkoeffizienten Berechnen Sie  Taschenrechner:  ohne 10 (a) x1 = 7       8 8 8 + − (b) x2 = 5 6 8 Hinweis: Nutzen Sie dabei die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten geschickt aus. andige Induktion Aufgabe P 2. Vollst¨ Beweisen Sie folgende Summenformeln mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion: (a) (b)

n X k=1 n X

1 n = k (k + 1) n + 1 k · k! = (n + 1)! − 1

k=1

Aufgabe P 3.    Gegeben sei die Menge R2 = (x, y)  x ∈ R ∧ y ∈ R . (a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen    M1 : = (x, y) ∈ R2  x2 + (y + 1)2 = 1 ,    M2 : = (x, y) ∈ R2  (x − 1)2 + y 2 > 1 ,    M3 : = (x, y) ∈ R2  (x − 2)2 + y 2 ≦ 4 .

(b) Skizzieren Sie die Schnittmenge von M2 und M3 , welche wie folgt definiert ist:    M2 ∩ M3 := (x, y) ∈ R2  (x − 1)2 + y 2 > 1 ∧ (x − 2)2 + y 2 ≦ 4 .

Aufgabe P 4. Drei Logiker sitzen auf St¨uhlen hintereinander. Der hinterste sieht die beiden vorderen, der mittlere sieht nur den vordersten, der vorderste sieht niemanden. Alle drei wissen, dass sie jeweils einen Hut aus der Garderobe eines Theaters aufgesetzt bekommen haben, und sie wissen, dass diese Garderobe f¨ unf H¨ute zur Verf¨ugung hat: zwei rote und drei schwarze. Nun wird der hinterste Logiker gefragt, ob er seine Hutfarbe kenne. Er sagt “Nein”. Dann wird der mittlere das gleiche gefragt. Auch er sagt “Nein”. Schließlich wird der vorderste gefragt. Was antwortet er?

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1. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Haus¨ ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung): Aufgabe H 1. Binomialkoeffizienten Beweisen Sie die folgenden Aussagen:       n k n n−j (a) = k j j k−j       n−k n n−j n = (b) k j j k   n X n =0 (c) ∀ n ∈ N : (−1)j j j=0

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1. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Aufgabe H 2. Summen Entscheiden Sie, welche der folgenden Ausdr¨ ucke gleich sind.  n  n l+1 X X 1 + (−1) (a) a2l a2l+1 − 2 l=1 l=0 (b)

n+5 X

a2k−9

k=5

(c)

2X n+1

cos(π + πk )ak

k=1

(d)

n+1 X

a2k−1

k=1

Aufgabe H 3. (a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen:    M1 := (x, y) ∈ R2  |x| < 2 ,    M2 := (x, y) ∈ R2  y < 2x − 1 ,    M3 := (x, y) ∈ R2  (x − 1)2 + (y + 1)2 ≦ 4 .

(b) Skizzieren Sie nun die Menge    M4 := (x, y) ∈ R2  (x − 2)2 + (y − 1)2 ≦ 1 ∨ (x − 2)2 + (y + 1)2 ≦ 1 , und die Schnittmenge von M2 und M3 .

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2. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung

H¨ohere Mathematik 1

Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. S¨andig

Wintersemester 2010/11

Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 5. ¨ berlegen Sie sich, wie viele Zahlenkombinationen bei einem Wurf mit 2 W¨urfeln (a) U m¨ oglich sind. (b) Zeigen Sie allgemein: Wenn Sie zweimal eine Zahl zwischen 1 und n ziehen (wobei jede Zahl auch zweimal gezogen werden darf), dann ist die Anzahl der m¨ oglichen Zahlenkombinationen gegeben durch   n+1 . 2

Aufgabe P 6. Ungleichungen Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erf¨ullen: (a) x ≦ x2 (b) |x + 1| < |x − 3|    1 3  (c)   + ≧5 2x x

Aufgabe P 7. Vollst¨ andige Induktion Beweisen Sie folgende Formeln mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion: ur jedes n ∈ N ist 11n+1 + 122n−1 durch 133 teilbar. (a) F¨ (b) 2n > 2n + 1,

n ≧ 3,

n ∈ N.

Aufgabe P 8. √ Beweisen Sie: 3 ∈ / Q. Hinweis: Schauen Sie mal ins Skript.

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2. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Haus¨ ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung): Aufgabe H 4. Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erf¨ullen: (a) x + 3 > x2 (x + 3) (b) |x2 + 3x − 4| + 1 < |x + 4| + |x − 1| |x − 1| (c) ≦1 |x − 2| andige Induktion Aufgabe H 5. Ungleichungen, Vollst¨ Beweisen Sie folgende Formeln f¨ ur n ∈ N0 mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion: (a) 2n > n2 , n > 4 √ 1 1 1 (b) √ + √ + · · · + √ > n, n 2 1

n>1

(c) cos(x) cos(2x) cos(4x) . . . cos(2n x) =

sin (2n+1 x) 2n+1 sin(x)

Dabei d¨ urfen Sie die folgende Gleichung, die f¨ur alle x, y ∈ R gilt, ohne Beweis benutzen: sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y ) cos(x) . Aufgabe H 6. Betrag Bestimmen Sie alle L¨osungen der folgenden Gleichungen: (a) x2 − 6|x| + 5 = 0

(b) ||3 − 2x| − 1| = |2x|   (c) x2 − x + |x − a| = 0,

a∈R

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H¨ohere Mathematik 1

Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. S¨andig

Wintersemester 2010/11

Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 9. (a) Gegeben seien die Mengen M1 = {0, 1, 2},

M2 = {0, 1, 2, 3},

M3 = {1, 2, 3}.

Existieren injektive, surjektive oder bijektive Abbildungen von M1 nach M2 , von M1 nach M3 oder von M2 nach M3 ? (b) Existiert eine injektive, eine surjektive bzw. eine bijektive Abbildung vom Intervall I1 := [0, 1] $ R ins Intervall I2 := [0, 2] $ R? (c) Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind: f1 : R r {0} → R : x 7→

1 , x

f2 : N → Q : n 7→

n 2

Aufgabe P 10. Aussagen und komplexe Zahlen Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind: (a) ∀z ∈ C ∃(a, b) ∈ R2 : z = a + bi (b) ∀z ∈ C : z = Re z + Im z (c) ∃z ∈ C : z = Re z + Im z

(d) ∀z ∈ C : z = Re z + (Im z)i Aufgabe P 11. Komplexe Zahlen Gegeben √ sind die komplexen Zahlen z1 = 1 + i , z2 = 2 − 3 i , z3 = −i und z4 = (1 + 2) i − 1. Berechnen Sie die folgenden Terme und geben Sie die Ergebnisse sowohl in klassischer Schreibweise ( a + b i) als auch als Paar (a, b) an (jeweils mit a, b ∈ R). (a) z5 = z1 + z4 (b) z6 = z1 · z2

(c) z7 = z2 z1 (d) z8 = z3 √ (e) z9,10 = z3 Skizzieren Sie z1 , . . . , z10 in der Zahlenebene.

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3. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Haus¨ ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung): Aufgabe H 7. Eigenschaften von Abbildungen Untersuchen Sie, ob folgenden Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind: (a) f1 : R → R+0 : x 7→ |x| (b) f2 : R → R+ : x 7→ ex

(c) f3 : R → R : x 7→ sin x h π πi (d) f4 : − , → R : x 7→ cos x 2 2 (e) f5 : R → R+ : x 7→ x4 + 1 Aufgabe H 8. Komplexe Zahlen, Wurzelziehen im Komplexen Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi mit a, b ∈ R an: (a) z1 = (2 + 3i)(3 − 2i) 4 − 3i (b) z2 = 4 + 3i (c) z3 = (1 + i)10 √ (d) Bestimmen Sie alle Wurzeln z4,5,6 = 3 i . Geben Sie das Ergebnis in der Form a + bi mit a, b ∈ R an. Aufgabe H 9. Komplexe Einheitswurzeln Zeigen Sie, dass die n –ten komplexen Einheitswurzeln z0 , z1 , . . . , zn−1 eine abelsche Gruppe bzgl. der Multiplikation bilden.

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4. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung

H¨ohere Mathematik 1

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Wintersemester 2010/11

Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 12. Gegeben sind die Mengen    M1 = z ∈ C  |z + i| + |iz − 1| ≦ 4

   und M2 = z ∈ C 2 Re z + Im z < −1

in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1 , M2 , M1 ∩ M2 und M1 r M2 .

Aufgabe P 13. Es seien die folgenden Vektoren gegeben: v1 =



1 1



, v2 =



0 2



, v3 =



5 4





   1 1 , w1 =  −1  , w2 =  3  . 1 2

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: (a) Die Menge L (v2 ) ist ein Untervektorraum von R2 . (b) Die Vektoren v1 und v2 sind linear unabh¨ angig. (c) Die Vektoren v1 und v2 bilden eine Basis von R2 . (d) Es gilt: L (v1 , v2 , v3 ) = R2 . (e) Die Vektoren v1 , v2 und v3 sind ein Erzeugendensystem von R2 . (f) Die Vektoren v1 , v2 und v3 bilden ein Basis von R2 . (g) Es gilt: hw1 | w2 i = 1 .    (h) Es gilt: L (w1 , w2 ) = (x, y, z) ∈ R3  5x + y − 4z = 0 . Aufgabe P 14. Geraden und Ebenen Gegeben seien  die Punkte A = (−1, −2), B = (7, 3) , C = (2, α) mit α ∈ R und die Gerade g = (0, 4) + λ (6, −7)  λ ∈ R . (a) F¨ ur welche α liegen A, B und C nicht auf einer Geraden? (b) Schneidet g die Gerade, die durch A und B festgelegt wird? Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. (c) F¨ur welche α ist die Gerade durch A und C parallel zu g ?

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4. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Haus¨ ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung): Aufgabe H 10. Komplexe Zahlen (a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Gaußschen Zahlenebene: M1 = {z ∈ C : |z − i| = 2|z + i|} und M2 = {z ∈ C : Re ( z1 ) = 1}. (b) Bestimmen Sie jeweils alle komplexen L¨ osungen der folgenden Gleichungen: (i) z 3 − z 2 − z − 2 = 0 (ii) z 2 + z z¯ = 2 Aufgabe H 11. Vektorrechnung Gegeben ist ein regelm¨ aßiges Sechseck mit den Eckpunkten P1 , . . . , P6 , die in mathematisch positiver Richtung (also gegen den Uhrzeigersinn) durchlaufen werden. Vom Zentrum des − → − → − → afte F1 , . . . , F6 , wobei die Kraft Fk zum Eckpunkt Pk gerichtet ist Sechsecks aus wirken Kr¨ − → − → − → f¨ ur k = 1, . . . , 6. Die Betr¨age der Kr¨afte sind gegeben durch | F1 | = 1, |F2 | = 3, |F3 | = 5, − → − → − → |F4 | = 7, |F5 | = 9 und | F6 | = 11. Skizzieren Sie ein solches Sechseck mit den dazugeh¨origen Kr¨aften! Berechnen Sie den Betrag und die Richtung der resultierenden Kraft. Aufgabe H 12. Geraden und Ebenen Gegeben sind die Punkte P1 = (1, 1, 1), P2 = (2, 1, −3) , P3 = (0, −4, 1), P4 = (−2, −4, 9) , P5 = (−2, −4, 0) und P6 = (1, 1, α). (a) Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene E1 , die die Punkte P1 , P2 und P3 beinhaltet. (b) Liegt der Punkt P4 auf der Ebene E1 ? (c) Bestimmen Sie α so, dass die Gerade g durch die Punkte P5 und P6 parallel zu der Ebene E1 verl¨ auft.

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5. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung

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Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 15. Ebenen, Hessenormalform ⊺ ⊺ Es seien die Vektoren u = (1, 0, 1) und vk = (0, −1, k) mit k ∈ R, sowie die Punkte mit ⊺ ⊺ den Ortsvektoren P = (0, 5, 2) und Q = (1, 2, 3) im Raum R3 gegeben. (a) Bestimmen Sie k so, dass die Geraden       g := P + tu  t ∈ R und ℓk := Q + svk  s ∈ R sich in genau einem Punkt Z schneiden. Geben Sie diesen Punkt Z an. (b) Die Geraden g, ℓ0 liegen auf einer Ebene E . Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene in Hesse-Normalform. Aufgabe P 16. Vektorraum der Polynome Es sei P2 (R) die Menge aller reellen Polynome p mit p′′′ = 0 . (a) Zeigen Sie: P2 (R) ist ein Vektorraum. (b) Geben Sie eine m¨ oglichst einfache Basis f¨ur P2 (R) an. (c) Zeigen Sie, dass die Polynome p1 (x) = x2 + x + 2, p2 (x) = 3x2 + 2x + 6 und p3 (x) = x − 1 linear unabh¨ angig sind. (d) Stellen Sie das Polynom q(x) = x als Linearkombination von p1 , p2 und p3 dar. Aufgabe P 17. Skalarprodukt im R2 ¨ berpr¨ufen Sie, ob es sich bei den folgenden Abbildungen um ein Skalarprodukt handelt: U (a) h· | ·i1 : R2 × R2 → R : h x | yi1 = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x1 y2 + x2 y1 (b) h· | ·i2 : R2 × R2 → R : h x | yi2 = x1 y1 + x2 y2 + x1 y2 + x2 y1 Finden Sie jeweils 2 Vektoren x, y ∈ R2 r {(0, 0)}, so dass hx|y ij = 0 f¨ur j = 1, 2 ist.

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5. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Haus¨ ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung): Aufgabe H 13. Kosinussatz, Vektorprodukt (a) Geben Sie einen elementargeometrischen Beweis des Kosinussatzes an: F¨ ur zwei Vektoren v = (v1 , v2 )⊤ , w = (w1 , w2 )⊤ ∈ R2 gilt |v − w|2 = |v|2 + |w|2 − 2|v||w| cos(α), wobei α der Winkel ist, den die beiden Vektoren einschließen. (b) F¨ ur welche Vektoren a, b, c ∈ R3 gilt a × (b × c) = (a × b) × c?

at, Winkel Aufgabe H 14. Orthogonalit¨ Gegeben sei das Dreieck △ABC mit Ecken A = (2, −1, 3) , B = (1, 1, 1) und C = (0, 0, 5) . Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks, die L¨ange der Seiten, die H¨ohe des Dreiecks ausgehend vom Punkt A und die Fl¨ache des Dreiecks. Aufgabe H 15. Geraden und Ebenen, Vektorprodukt Gegeben sei in R3 das gleichseitige Tetraeder mit den Ecken A = (−2, 0, 0),

B = (2, 0, 0),

C = (c1 , c2 , 0), c2 > 0,

und D = (d1 , d2 , d3 ), d3 > 0.

(a) Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von C und D . (b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g durch A und D sowie den Abstand des Punktes B zur Geraden g . (c) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung und die Hesse-Normalform der Ebene durch die Punkte A, B, D . Unter welchem Winkel schneiden sich diese Ebene und die Ebene durch die Punkte A, B, C ? (d) Berechnen Sie die Oberfl¨ ache des Tetraeders mit Hilfe des Vektorprodukts.

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6. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung

H¨ohere Mathematik 1

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Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 18. Vektorprodukt Gegeben sind die folgenden Vektoren     1 8    a= 5 3 , b= 9 4

 18 und c =  16  . 26 

Berechnen Sie: (a) (a + b) × c , (b) ha + b | a × bi. Aufgabe P 19. Matrizenaddition und -multiplikation Gegeben seien die Matrizen         1 1 0 1 2 A= 1 2 , B= , C= , D= , 2 2 3 3 4

  2 0 1 E= . 4 1 3

Geben Sie an, welche der Matrizenprodukte und Summen AB,

BA,

CE,

EC,

⊺

E C,

⊺

A+B ,

B + D,

C +D

existieren und berechnen Sie diese. Aufgabe P 20. Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten die folgenden Gleichungen ¨uber dem K¨ orper R . (a)

2x1 − x3 + 3x2 = 0 x1 + x3 = 0 3x1 + 3x2 = 0

(b)

1x1 + 3x2 = −1 −2x1 + x2 = 4 7x2 + 0x1 = 2

(c)

2x1 + x2 + 5 = 0 x1 − 4 = 0 3x2 + x2 = 0

Sind die Gleichungssysteme jeweils homogen oder inhomogen? Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf. L¨osen Sie die Gleichungssysteme. F¨uhren Sie eine Probe durch. Aufgabe P 21. Ingenieure beim Gl¨ ucksspiel Andr´e Citro¨en, Rudolf Diesel und Henry Ford spielen ein W¨urfelspiel, bei dem jeder mit einem W¨urfel genau einmal w¨ urfeln darf. Rudolf Diesel w¨urfelt nur eine halb so hohe Augenzahl wie Henry Ford und Andr´e Citro¨en zusammen. Dahingegen w¨urfelt Henry Ford eine genauso hohe Augenzahl wie die anderen beiden gemeinsam. Wenn Andr´e Citro¨en, Rudolf Diesel und Henry Ford zusammengenommen genau die bei einem W¨urfel h¨ochstm¨ ogliche Augenzahl w¨urfeln, welche Augenzahl w¨ urfeln dann die einzelnen Ingenieure?

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6. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Haus¨ ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung): Aufgabe H 16. Matrizenmultiplikationen Gegeben seien die Matrizen √   1 3√5 − 66  2 10 1  1 √  − 3 5 0   −1  2 10  Q= √ √ , A =   −1 6  5  −1  2 10  6 1 √ √ 1 2

5 10

6 3

2 1 0 1

 2 2  , 1  2



1 2

 S =  0 0

− 2√1 5 √1 5

0

1 √ 6 − √36 √2 6



 . 

Berechnen Sie: ⊺ (a) Q Q, ⊺ (b) Q A, ⊺ (c) Q A S , ⊺ ⊺ ⊺ ⊺ ⊺ (d) SQ A S Q A − S S A Q Q A. Hinweis: F¨ ur beliebige Matrizen M und N , f¨ur die das Produkt M N definiert ist, gilt: ⊺ ⊺ ⊺ (MN ) = N M . Aufgabe H 17. Lineare Gleichungssysteme Geben Sie f¨ur die folgenden Gleichungssysteme jeweils die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite an und bestimmen Sie die L¨osungsmenge L. Machen Sie eine Probe. (a) −2x1 − 6x2 + 2x3 = 2 −x1 − x2 + 4x3 = 0 x1 + 3x2 − x3 = 1 (b)

3x1 + x2 − 2x3 = −4 2x1 − 2x3 − 4x2 = 10 x1 − 2x2 + 4x3 = 15

(c)

(1 + i)z1 + 2z2 = 4 (1 − i)z2 + 2z1 = 2

Aufgabe H 18. Lineare Gleichungssysteme Jeden Montag um halb sieben liefert Bauer Klaus Kartoffeln, Zwiebeln und Tomaten an die 3 Gem¨useh¨ andler in der Nordbahnhofstraße. Diese Woche sind es folgende Mengen (in kg): H¨andler 1 H¨andler 2 H¨andler 3

Kartoffeln

Zwiebeln

Tomaten

200 150 280

100 50 150

120 80 120

Der erste H¨ andler bezahlt 600 Euro, der zweite 415 Euro und der dritte 750 Euro. Wieviel kostet also jeweils 1 kg Kartoffeln, Zwiebeln oder Tomaten? Die Preise sind nat¨urlich f¨ur alle H¨andler gleich.

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7. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung

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H¨ohere Mathematik 1 Wintersemester 2010/11

Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 22. Lineare Abbildungen Geben Sie eine lineare Abbildung α : R2 → R3 so an, dass         1 1 1 1 2 1 α 1, − , , −4 ,− ,9 . und α 0, = = 3 3 3 3 3 3    1 Ist es m¨oglich  zus¨ atzlich zu fordern, dass α 1, 0 = 3 , −7, 42 ? Besteht die M¨oglichkeit α 1, 0 = 1, 0, 5 zu fordern? Begr¨unden Sie Ihre Antworten. Aufgabe P 23. Gegeben sind die Abbildungen ⊺

g1 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (x + 2y − 4z, −y + 2z, −x + y − 2z) ⊺

g2 : R3 → R3 : (x, y, z ) 7→ (x2 , xyz, z + 3x − 29y) g3 : R2 → R3 :

⊺

(x, y) 7→ (5x + 2y, 4y, 3y + 4x)

⊺

⊺

⊺

(a) Welche dieser Abbildungen sind linear? Geben Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildungen bez¨uglich der Standardbasis an. (b) Bestimmen Sie jeweils den Kern der gegebenen Abbildungen, falls sie linear sind. Welche Dimension haben jeweils Kern und Bild der linearen Abbildungen? (c) Welche der linearen Abbildungen sind injektiv, surjektiv, bijektiv? (d) Begr¨ unden Sie, warum die Abbildung g1 ◦ g3 linear ist. Geben Sie auch daf¨ur die Matrixdarstellung E (g1 ◦ g3 )E bez¨ uglich der Standardbasis E an. Bestimmen Sie den Kern und das Bild von g1 ◦ g3 . Aufgabe P 24. Bestimmen Sie den Rang  2 0 A :=  1 −1

der folgenden Matrizen:  1 4 −3 1 2 −1  ∈ R4×4 1 3 −2 2 3 −1

  1 i B := ∈ C2×2 i −1

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7. Gruppen¨ubung

H¨ohere Mathematik 1

Haus¨ ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung): Aufgabe H 19. Lineare Abbildungen Es sei ϕ : R3 → R3 eine lineare Abbildung mit     3 −1 ϕ(1, 1, 0) =  7  , ϕ(1, 0, 2) =  9  , −3 6



 2...