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Unidad 1 de calculo integral, procedimientos paso a paso con formulario, com explosión...

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UNIDAD 1

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Cada una de las reglas de derivación que se estudiaron en el curso de Cálculo Diferencial (Matemáticas II) pueden escribirse en forma diferencial. Definición de Diferenciales Considerar que 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa una función que es derivable en un intervalo abierto que contiene a 𝑥 . La diferencial de 𝑥 (denotada por 𝑑𝑥 ) es cualquier número real distinto de cero. La diferencial de 𝑦 (denotada por 𝑑𝑦 ) es 𝒅𝒚 = 𝒇′ (𝒙) 𝒅𝒙

Cálculo de Diferenciales FUNCIÓN

DERIVADA

DIFERENCIAL

𝒚 = 𝒙𝟐

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝒚 = 𝟒 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒚 = 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒚=

𝟏 𝒙

𝒚 = √ 𝒙𝟐 + 𝟏

𝑑𝑦 = 12 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 =− 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 √ 𝑥2 + 1

𝑑𝑦 = 12 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑦 =

1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥

√ 𝑥2 + 1

𝑑𝑥

Integrar Significa: a) Encontrar la función conociendo su derivada la cual llamaremos Integral Indefinida ∫ 𝑓′ (𝑥) 𝑑𝑥 b) Suma de partes o un total de algo ( Áreas, Volúmenes, Trabajo, Centros de Gravedad, etc) a la que llamaremos Integral Definida 𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

Respectivamente al integral la derivada tendremos consigo la función original (bajo cierta condición) y si integramos una función se obtiene área bajo la curva de esa funci ón. Definición de Antiderivada o Primitiva Se dice que una función 𝑭 es una antiderivada o primitiva de 𝒇 , en in intervalo 𝑰 si cumple la siguiente condición: 𝑭′ (𝒙) = 𝒇(𝒙)

para todo 𝒙 en 𝑰 1

El proceso de cálculo de primitivas se suele llamar Integración y se denota por el símbolo ∫ es llamado signo Integral. Al símbolo ∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 se llamará integral indefinida y su resultado será denotado por la familia de curvas de 𝑓(𝑥). Considere dos cosas importantes en el cálculo integral a) La derivación es un proceso inverso a la integración. 𝑑𝑦 [ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ] = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 b) La integración es un proceso inverso a la derivación. ∫ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 Donde: a) La letra C es llamada Contante de Integración. b) 𝒇(𝒙) se llama Primitiva de la función. y c) 𝒇(𝒙) + 𝑪 llamada Familia de Curvas. Si recordamos en el estudio del Cálculo Diferencial para tener éxito en el proceso de derivación se toma en cuenta dos pasos importantes siendo estos: a) Derivar Directo; esto es aplicar directamente una de las fórmulas de derivación al problema planteado. b) Usar Álgebra y enseguida derivar; es decir que cuando no existe fórmula directa será necesario el uso del algebra para así aplicar una de las formulas. De manera muy semejante en el Cálculo Integral y para lograr el éxito en el proceso tomaremos en cuenta tres aspectos importantes, que son: a) Integrar Directo; significa aplicar directamente una de las formulas al problema planteado. b) Usar Álgebra y después integrar; esto significa que cuando ninguna de las formulas se puede aplicar directamente debe usarse el álgebra, para así enseguida aplicar una de las formulas y resolver el problema. c) Usar técnica de integración. INTEGRALES ALGEBRAICAS Fórmulas básicas de integración. 𝟏. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 𝟒. ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

𝟐. ∫ 𝑐 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑢 𝑑𝑥

𝑥 𝑛+1 + 𝑐; 𝑛 ≠ −1 𝑛+1

𝟑. ∫(𝑢 ± 𝑣) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑥 ± ∫ 𝑣𝑑𝑥

𝟓. ∫ 𝑢 𝑛 𝑑𝑢 =

𝑢 𝑛+1 + 𝑐; 𝑛 ≠ −1 𝑛+1

2

Ejemplos: Determinar la familia de curvas o Resolver las integrales siguientes. 𝟏. ∫ 𝟖𝒙 𝟑 𝒅𝒙 Todas las Integrales están conformadas por 3 partes: a) ∫ El Operador integral b) 𝑑𝑥 El Diferencial de la variable que se tomará en cuenta, éste caso es diferencial de x c) 8𝑥 3 El Integrando = 8 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥

⟸ Usando fórmula 2 y enseguida se aplica fórmula 4 … 𝑛 = 3

𝑥 3+1 8 4 𝑥 + 𝑐 = 2𝑥 4 + 𝑐 ⟸ 𝑹 +𝑐 = 4 3+1

= 8

Si el resultado anterior se deriva, observe que regresamos al integrando inicial, esto comprueba que la derivada es lo inverso a la integral. Donde: 2𝑥 4 Primitiva y 2𝑥 4 + 𝑐 Familia de Curvas. 𝟐. ∫( 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟕 ) 𝒅𝒙 = 2 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + 6 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 7 ∫ 𝑑𝑥

⟸ Primero Usando fórmula 3 y 2, luego aplicar fórmula 4 y 1

𝑥 3+1 2 4 6 3 𝑥 2+1 1 4 − 7𝑥 + 𝑐 = +6 𝑥 + 𝑥 − 7𝑥 + 𝑐 = 𝑥 + 2𝑥 3 − 7𝑥 + 𝑐 ⟸ 𝑹 2+1 3+1 4 3 2

=2

𝟑. ∫(𝟐𝒕)𝟒 𝒅𝒕

Como no existe fórmula directa, se usará primero álgebra

= 16 ∫ 𝑡 4 𝑑𝑡 ⟸ Usando fórmula 2 y luego Aplicar fórmula 4 … 𝑛 = 4 𝑡 4+1 16 5 𝑡 +𝑐 ⟸𝑹 +𝑐 = 5 4+1

= 16

familia de curvas y sin C se llama primitiva

𝟑 𝟒. ∫ √𝒙 𝒅𝒙 No existe fórmula directa para raíces, por tanto se usará álgebra (cambio expresión)

= ∫𝑥 =

𝑥

1 3

1 +1 3

1 +1 3

𝑑𝑥

⟸ Aplicar fórmula 4 …. 𝑛 =

+𝑐=

Lo siguiente

4 3

𝑥 4 3

1 3

4

+𝑐=

𝑥3 1 + 𝑐 ⟸ Usar algebra de extremos y medios para obtener 4 3 3

4

3𝑥3

3 3√𝑥 4 + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin C se llama primitiva +𝑐 = 4 4 Otra manera más rápida de dar solución en potencias fraccionarias y suprimir la multiplicación de extremos y medios es que a la fracción del denominador se determina el inverso y se multiplica por el resultado que sale al integrar.

=

𝒅𝒙 = ∫ 𝑥

∫ √𝒙 𝟑

=

1 3

𝑑𝑥 =

1

𝑥 3 +1 1 +1 3

4 3 3 3 √𝑥 4 + 𝑐 𝑥3 +𝑐 = 4 4

𝟓. ∫

𝒅𝒚

4 3 el cual se multiplica es 4 3

el inverso de

⟸ 𝑹 Da el mismo resultado que el anterior

No existe fórmula directa, usar algebra. Luego fórmula 4…. 𝑛 = −

𝒚 √𝒚

= ∫

+𝑐=

4

𝑥 3 +𝑐 4 3

𝑑𝑦

= ∫ 𝑦

3

𝑦2

− 32

3 2

1

2 2 −1 𝑦−2 𝑦 2 +𝑐 =− + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas 𝑑𝑦 = 1 +𝑐 = − 1 −2 √𝑦

𝟑 𝟔. ∫ (𝟓 √𝒛 − 𝟔√𝒛 + 𝟏𝟎𝒛) 𝒅𝒛 ⟸ Aplicar fórmula 3 y 2; enseguida álgebra(cambiar expresión)

= 5∫𝑧

1 3

𝑑𝑧 − 6 ∫ 𝑧

4

𝑧3 =5 −6 4 3

=

15 3 4 √𝑧 4

𝟕. ∫

1 2

𝑑𝑧 + 10 ∫ 𝑧 𝑑𝑧

3

10 2 𝑧2 3 𝑧2 4 2 3 + 10 + 𝑐 = 5( 𝑧2)+ 𝑧3 ) − 6 ( 𝑧 +𝑐 3 2 3 2 4 2

− 4 √𝑧3 + 5 𝑧2 + 𝑐

𝟐𝒚 𝟒 − 𝟑𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 − 𝟓 √𝒚

= ∫(2𝑦 4 − 3𝑦 2 − 4𝑦 − 5) 𝑦 −

= 2∫𝑦 = 2( =

7 2

⟸ Usar en cada integral fórmula 4

𝑑𝑦 − 3 ∫ 𝑦

3 2

𝒅𝒚 1 2

⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin C se llama primitiva No hay fórmula directa, usar algebra para poder integrarlo − 3𝑦

3 2

𝑑𝑦 − 5 ∫ 𝑦−

1 2

𝑑𝑦 = ∫ ( 2𝑦

𝑑𝑦 − 4 ∫ 𝑦

1 2

7 2

− 4𝑦

1 2

𝑑𝑦

1

− 5𝑦 − 2 ) 𝑑𝑦 ⟸ Usar fórmula 3 y 2

⟸ Usar en cada integral fórmula 4

2 9 2 1 2 3 2 5 𝑦 2) + 𝑐 𝑦2) − 4 ( 𝑦 2) − 5 ( 𝑦2 ) − 3 ( 1 3 5 9

4 6 8 √𝑦 9 − √𝑦 5 − √𝑦 3 − 10 √𝑦 + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin C se llama primitiva 3 9 5

4

𝟖. ∫(𝟐𝒕 − 𝟏) (𝟑𝒕 + 𝟒) 𝒅𝒕

⟸ No existe fórmula directa, usar álgebra y luego integrar

= ∫(6𝑡 2 + 5𝑡 − 4) 𝑑𝑡 ⟸ Aplicar fórmula 3 y 2 = 6 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + 5 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 − 4 ∫ 𝑑𝑡 =6 𝟗. ∫ ( =

⟸ usar fórmula 4 y 1 en cada caso

𝑡3 𝑡2 5 +5 − 4 𝑡 + 𝑐 = 2𝑡 3 + 𝑡 2 − 4𝑡 + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin C se llama primitiva 3 2 2 𝟒 𝟓 𝟗 ) 𝒅𝒙 ⟸ No hay fórmula directa, usar álgebra y aplicar fórmula 3 + − 𝟐 𝟑 𝟓𝒙𝟒 𝟑𝒙 𝟕𝒙

4 5 9 ∫ 𝑥 −4 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥 − 5 3 7

⟸ Aplicar fórmula 4 en cada caso

4 𝑥 −1 5 𝑥 −2 9 𝑥 −3 4 −1 5 9 𝑥 −3 + 𝑐 + − +𝑐= − 𝑥 − 𝑥 −2 + 15 3 −1 7 −2 5 −3 3 14 4 5 9 = − − + ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva +𝑐 2 3𝑥 14 𝑥 15 𝑥 3

=

Antes de continuar con ejemplos de Integrales Algebraicas es necesario recordar la jerarquía de las funciones, las cuales de menor a mayor jerarquía son: Con Constan stan stantes tes ⟹ Alg Algeb eb ebraica raica raicass ⟹ Trigo Trigonomét nomét nométricas ricas ⟹ Hiperb iperbólicas ólicas ⟹ Tra rascen scen scendental dental dentales es Siendo éstas últimas las Trigonométricas inversas, Logarítmicas y Exponenciales. De la misma manera también dentro de las funciones Algebraicas existen niveles de jerarquía las cuales de menor a mayor son: Mon Monom om omio io ⟹ Bino Binomio mio ⟹ Trino rinomio mio ⟹ etc… El objetivo de jerarquizar las funciones de ésta manera es que para resolver cualquier integral debemos enfocarnos únicamente en la función de mayor jerarquía que existe en el integrando del problema, dando con ello mayor prioridad a dicha función. 𝟏𝟎. ∫ 𝟐𝒙 ( 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓)𝟕 𝒅𝒙 ⟸ primero se da prioridad o jerarquiza las funciones en el integrando = 𝟐 ∫( 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓) 𝟕 𝒙 𝒅𝒙 ⟸ Aplicar fórmula 5 obteniendo los parámetros 𝒖 𝑦 𝒏 Nótese algo importante que la diferencia entre la fórmula 4 y la 5, es que la 4 es 𝑑𝑥 (diferencial de 𝑥) y la 5 es 𝑑𝑢 (diferencial de 𝑢) lo anterior significa que la fórmula 5 5

necesita de un proceso llamado completar el elemento diferencial para poder usar la fórmula. 𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 (mayor jerarquia) 𝒏=𝟕 𝒅𝒖 Derivada = 𝟔𝒙 ⟹ Diferencial 𝒅𝒖 = 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑢 𝑛+1 𝑛 + 𝑐 eso significa que debemos tener el 𝒅𝒖 en integrando la fórmula a usar es ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑛+1 que salió en el problema para poder usar la fórmula 5, digamos que es el requisito de uso de fórmula; a éste proceso de completar se le denomina ajuste del elemento diferencial. =

𝟐 ∫( 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓) 𝟕 𝟔𝒙𝒅𝒙 ⟸ El ajuste es el número 6 para que 𝒅𝒖 este completo 𝟔

Al completar el número 6 en du se debe ajustar afuera de la integral el 6; lo que significa que si un número se añade, afuera se ajusta. Si un número en el elemento diferencial multiplica afuera de integral hace lo inverso; además si dividiera afuera de la integral multiplica. Nota: Únicamente las constantes se ajustan, un elemento diferencial no le debe sobrar ni faltar nada y si falta que sean únicamente constantes. =

𝟏 𝟑

( 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)

𝟕+𝟏

𝟕+𝟏

+𝒄 =

𝟏 𝟖 ( 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓) + 𝒄 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva 𝟐𝟒

𝟏𝟏. ∫ 𝟗𝒕𝟑 √( 𝟐𝒕𝟒 − 𝟏) 𝟓 𝒅𝒕 ⟸ primero jerarquizar las funciones en el integrando 5

= 9 ∫(2𝑡 4 − 1) 2 𝑡 3 𝑑𝑡 ⟸ Aplicar fórmula 5 obteniendo parámetros de 𝒖 y 𝒏 𝑢 = 2𝑡 4 − 1

𝑑𝑢 = 8𝑡 3 𝑑𝑡

𝑛=

5 2

⟹ 𝑑𝑢 = 𝟖𝒕𝟑 𝒅𝒕 5

7

(2𝑡 4 − 1) 2 9 9 9 (2𝑡 4 − 1) 2 +1 5 +𝑐= ∙ ∙ = ∫(2𝑡 4 − 1) 2 𝟖𝒕𝟑𝒅𝒕 = +𝑐 5 7 8 8 𝟖 +1 2 2

=

7 9 2 9 √(2𝑡4 − 1) 7 + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva ∙ ∙ (2𝑡4 − 1) 2 + 𝑐 = 28 8 7

𝟏𝟐. ∫

𝟓𝒚𝟐

√ 𝟕 − 𝟐𝒚𝟑

𝟒

𝒅𝒚 ⟸ No existe fórmula directa, usar algebra y dar prioridad de funciones 1

= 5 ∫( 7 − 2𝑦 3 )− 4 𝑦 2 𝑑𝑦 ⟸ Aplicar fórmula 5 obteniendo parámetros de 𝒖 y 𝒏

6

𝑢 = 7 − 2𝑦 3

𝑑𝑢 = −6𝑦 2 𝑑𝑦

=

1 4 Observe que al integrando del problema le falta –6 y es que el se ajusta 𝑛=−

5 1 ∫( 7 − 2𝑦 3 )− 4 − 𝟔𝒚𝟐𝒅𝒚 ⟸ Ajuste del elemento diferencial −𝟔 3

1

( 7 − 2𝑦 3 )−4 +1 ( 7 − 2𝑦 3 )4 5 5 4 5 3 ∙ ∙ ( 7 − 2𝑦 3 )4 + 𝑐 =− +𝑐 =− ∙ +𝑐 =− 3 1 6 6 6 3 − 4 +1 4 10 4 √(7 − 2𝑦 3 ) 3 + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva = − 9 𝟏𝟑. ∫

𝟑 𝒅𝒙

√𝒙 (𝟐 + 𝟑√ 𝒙 ) (2 + 3√ 𝑥 )

=3 ∫

= 3

−7

𝑑𝑥

√𝑥

𝑢 = 2 + 3√ 𝑥 3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 √𝑥

⟸ Función de mayor jerarquía siempre debe estar en numerador

𝑛 = −7

⟸ Aplicando fórmula 5, identificando parámetros 𝒖 y 𝒏

𝟐 𝟑 −7 𝒅𝒙 ⟸ Se aplicó álgebra para mover √𝑥 y ajustar diferencial ∫ (2 + 3√ 𝑥 ) 𝟑 𝟐 √𝒙 (2 + 3√ 𝑥 ) −7 + 1 1

=2 = − 𝟏𝟒. ∫

⟸ No hay fórmula directa, usar algebra y jerarquizar integrando

𝟕

−7+1

3 (2 + 3√ 𝑥 )

+𝑐= 2 +𝑐

6

𝟔𝒙𝟐 − 𝟏

√( 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟗 ) 𝟗

𝟒

(2 + 3√ 𝑥 ) −6

2 −6 (2 + 3√ 𝑥 ) + 𝑐 6

𝒅𝒙 ⟸ No hay fórmula directa, usar algebra y jerarquía de funciones

9

𝑑𝑢 = (12𝑥 2 − 2) 𝑑𝑥

+𝑐=−

⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva

= ∫ (4𝑥 3 − 2𝑥 + 9)− 4 (6𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥 𝑢 = 4𝑥 3 − 2𝑥 + 9

−6

𝑛=−

9 4

⟸ Aplicar fórmula 5, identificar parámetros 𝒖 y 𝒏

Nota: observe que en el integrando la función de menor jerarquía es de grado 2, igual que el du, pero en éste último no concuerdan las constantes. Cuando eso pasa existe la posibilidad de manipular (usar álgebra) el integrando o el diferencial o ambos, de tal manera que puedan ajustarse. 7

𝑑𝑢 = 2(6𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥

=

9 1 ∫ (4𝑥 3 − 2𝑥 + 9)− 4 𝟐

⟸ Se manipuló únicamente el 𝒅𝒖 para poder ajustar al integrando

𝟐(𝟔𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 ⟸ Ajuste elemento diferencial y aplicar fórmula 5 3

9

− 3 (4𝑥 3 − 2𝑥 + 9)− 4 +1 1 1 ∙ (4𝑥 − 2𝑥 + 9) 4 + 𝑐 ∙ = +𝑐 = 2 3 9 2 − − + 1 4 4 1 2 4 1 3 = ∙ (− ) (4𝑥 3 − 2𝑥 + 9)− 4 + 𝑐 = − ∙ 3 +𝑐 2 3 (4𝑥 3 − 2𝑥 + 9) 4 3

= −

2

3 √( 4𝑥 3 − 2𝑥 + 9 ) 3 4

+𝑐

⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva

𝟏𝟓. ∫(𝟏𝟓𝒙𝟑 + 𝟔) (𝟓𝒙𝟒 + 𝟖𝒙 − 𝟕)𝟔 𝒅𝒙

⟸ No hay fórmula directa, jerarquizar integrando

= ∫ (5𝑥 4 + 8𝑥 − 7)6 (15𝑥 3 + 6) 𝑑𝑥 𝑢 = 5𝑥 4 + 8𝑥 − 7 𝑑𝑢 = (20𝑥 3 + 8) 𝑑𝑥

𝑛=6 ⟸ Álgebra en integrando y diferencial 𝒅𝒖 para poder ajustar

= ∫(5𝑥 4 + 8𝑥 − 7)6 𝟑(5𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 =

3 ∫(5𝑥 4 + 8𝑥 − 7)6 𝟒(5𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 𝟒 𝑑𝑢 = 4(5𝑥 2 + 2)

= =

⟸ Usar fórmula 5, identificar parámetros 𝒖 y 𝒏

⟸ La contante 3 sale de la integral, aplicar fórmula 2

𝑛=6

(5𝑥 4 + 8𝑥 − 7)7 (5𝑥 4 + 8𝑥 − 7)6+1 3 3 ∙ ∙ +𝑐 = +𝑐 4 4 6+1 7 3 (5𝑥 4 + 8𝑥 − 7)7 +𝑐 28

𝟏𝟔. ∫ 𝟔𝒚𝟑 √√ 𝒚 𝟒 − 𝟓 = 6 ∫ √𝑦 4 − 5 4

𝒅𝒚

⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva

⟸ No hay fórmula directa, usar álgebra y jerarquía de funciones 1

𝑦 3 𝑑𝑦 = 6 ∫(𝑦 4 − 5) 4 𝑦 3 𝑑𝑦 𝑢 = 𝑦4 − 5

=

⟸ Ajuste elemento diferencial y aplicar fórmula 5

6 1 ∫(𝑦 4 − 5) 4 𝟒𝑦 3 𝑑𝑦 𝟒

𝑑𝑢 = 4𝑦 3 𝑑𝑦

⟸ Usar fórmula 5 𝑛= 4

1

⟸ Ajuste del elemento diferencial

8

=

3

2

5 6 4 4 4 ) (𝑦 4 − 5) 4 + 𝑐 = √(𝑦 − 5)5 + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva ∙( 5 5

𝟏𝟕. ∫(𝒚𝟐 + 𝟐)𝟑 𝒚𝟐 𝒅𝒚 𝑢 = 𝑦2 + 2 𝑑𝑢 = 2𝑦 𝑑𝑦

⟸ Usar fórmula 5 a función de mayor jerarquía 𝑛=3

Nótese que no se puede usar la fórmula 5 puesto que no podemos ajustar el diferencial en el integrando ya que un diferencial no le debe sobrar ni faltar variables, y si falta que sean constantes; y en éste problema no se puede. ∫(𝑦 2 + 2)3 𝑦 2 𝑑𝑦

⟸ Usar álgebra que es el segundo para integrar

= ∫(𝑦 6 + 6𝑦 4 + 12𝑦 2 + 8) 𝑦 2 𝑑𝑦 = ∫(𝑦 8 + 6𝑦 6 + 12𝑦 4 + 8𝑦 2 ) 𝑑𝑦 ⟸ Aplicar fórmulas 2, 3 y 4 =

1 9 6 7 12 5 8 3 𝑦 +𝑐 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + 3 9 7 5

⟸𝑹

… familia de curvas y sin la C se llama primitiva

18.- Sabiendo que 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕 y 𝒇(𝟏) = −𝟐, hallar la función 𝒇(𝒙) exactamente y no la familia de curvas. Donde a 𝒇(𝟏) = −𝟐 se le llama condición adicional. 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(3𝑥 2 + 7) 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 7𝑥 + 𝑐 𝒂) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 7𝑥 + 𝑐

𝑓(1) = (1) 3 + 7(1) + 𝑐

Usando 𝑓(1) = −2 tenemos Despajar la contante 𝐶

−2 = 1 + 7 + 𝑐 ⟹ 𝑐 = −10

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 7𝑥 − 10

⟸𝑹

Al sustituir en 𝒂) hallamos la función

9

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Fórmulas de integración. 𝟔. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐

𝟕. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐

𝟗. ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛| 𝑠𝑒𝑛 𝑢 | + 𝑐

𝟖. ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛| 𝑠𝑒𝑐 𝑢 | + 𝑐

𝟏𝟎. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑡𝑎𝑛 𝑢| + 𝑐

𝟏𝟏. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡 𝑢| + 𝑐 𝟏𝟒. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑐

𝟏𝟐. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑢 + 𝑐

𝟏𝟑 . ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑢 + 𝑐

𝟏𝟓. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑢 + 𝑐

Ejemplos: Resolver las integrales siguientes. 𝟏. ∫ 𝒙 𝟐 𝑺𝒆𝒏(𝟐𝒙𝟑 − 𝟓) 𝒅𝒙

⟸ Aplicar jerarquía de funciones en integrando

= ∫ 𝑆𝑒𝑛(2𝑥 3 − 5) 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑢 = 2𝑥 3 − 5 𝑑𝑢 = 6𝑥 2 𝑑𝑥

=

⟸ Usar la fórmula 6 y checar el 𝑑𝑢 𝑑𝑢 debe estar completo en el integrando, falta contante 6

1 ∫ 𝑆𝑒𝑛(2𝑥 3 − 5) 𝟔𝑥 2 𝑑𝑥 ⟸ Ajuste del elemento diferencial, para poder usar la fórmula 𝟔

1 (− 𝐶𝑜𝑠(2𝑥 3 − 5)) + 𝑐 6 1 = − 𝐶𝑜𝑠(2𝑥 3 − 5) + 𝑐 ⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva 6 =

Nota: Si este último resultado es derivado, se dará cuenta que nos lleva al integrando del problema; eso demuestra que la derivada es la inversa de la integral. 𝟐. ∫(𝟕 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 − 𝟒 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 ) 𝒅𝒙

⟸ No existe fórmula directa, usar fórmulas algebraicas 3 y 2

= 7 ∫ 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥

𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥

⟸ Usar las fórmulas 6 y 7, checar los 𝒅𝒖 Observe que faltan las constantes 3 y 2 en integrando

7 4 ∫ 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 𝟐𝑑𝑥 ⟸ Ajustes de los elementos diferenciales ∫ 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 𝟑𝑑𝑥 − 𝟐 𝟑 7 = (− 𝐶𝑜𝑠 3𝑥) − 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐 ⟸ Los ángulos no deben cambiar 3

=

10

= − 𝟑. ∫

7 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 − 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐 3

⟸ 𝑹 … familia de curvas y sin la C se llama primitiva

𝑺𝒆𝒄(√𝒙 + 𝟒) 𝒕𝒂𝒏(√𝒙 + 𝟒) √𝒙

𝑢 = √𝑥 + 4 1 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = 2√ 𝑥 2√ 𝑥

= 𝟐 ∫ 𝑆𝑒𝑐(√𝑥 + 4) 𝑡𝑎𝑛(√𝑥 + 4) = 2 𝑆𝑒𝑐(√𝑥 + 4) + 𝑐 𝟒. ∫

𝟖𝒚 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒚𝟐 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝟑𝒚𝟐

𝒅𝒚

⟸𝑹

𝒅𝒙 ⟸ Aplicar fórmula 14, checar el 𝒅𝒖 que se necesita ⟸ Éste diferencial debe estar en el integrando 𝑑𝑥

𝟐√ 𝑥

⟸ Usando álgebra y ajustando elemento diferencial

⟸ No existe fórmula directa, aplicar álgebra y jerarquizar integrando

= 8 ∫(𝐶𝑜𝑠 3𝑦 2 )−5 𝑦 𝑆𝑒𝑛 3𝑦 2 𝑑𝑦

Usar fórmula 5 de integrales algebraicas

𝑢 = 𝐶𝑜𝑠 3𝑦 2 𝑛 = −5 2 𝑑𝑢 = −6𝑦 𝑆𝑒𝑛 3𝑦 𝑑𝑦 Observe que únicamente falta en integrando la constante − 𝟔

=

8 ∫(𝐶𝑜𝑠 3𝑦 2 )−5 − 𝟔𝑦 𝑆𝑒𝑛 3𝑦 2 𝑑𝑦 −𝟔

=−

4 3

⟸ Ajuste del diferencial y usar fórmula 5 tenemos

(𝐶𝑜𝑠 3𝑦 2 )−5+1 4 (𝐶𝑜𝑠 3𝑦 2 )−4 1 +𝑐= − +𝑐 = +𝑐 3 −5 + 1 −4 3 𝐶𝑜𝑠 4 3𝑦 2

⟸𝑹

𝟓. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝟒𝒙 𝒅𝒙 ⟸ No hay fórmula trigonométrica directa, cambiar de expresión = ∫(𝑆𝑒𝑛 4𝑥 )2 𝑑𝑥 ⟸ Tratar de usar fórmula 5 de 𝒖𝒏 𝑢 = 𝑆𝑒𝑛 4𝑥 𝑛=2 𝑑𝑢 = 4𝐶𝑜𝑠 4𝑥 𝑑𝑥

Nota: Observar que no se podrá completar el elemento diferencial puesto que no tenemos 𝐶𝑜𝑠 4𝑥 en el integrando y no se pueden ajustar variables es decir que no es 𝒖𝒏 , por lo que usaremos el segundo paso que es álgebra, que en trigonometría es utilizar identidades trigonométricas.

1 1 1 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝐴 ⟹ 𝑆𝑒𝑛 2 4𝑥 = − 𝐶𝑜𝑠8𝑥 ⟹ Sustituir en problema 5 2 2 2 2 1 1 𝐶𝑜𝑠8𝑥 ) 𝑑𝑥 ⟸ Separar integral usando fórmulas 3 y 2 = ∫( − 2 2 𝑆𝑒𝑛 2 𝐴 =

11

=

= =

1

1 ∫ 𝐶𝑜𝑠 8𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Usar fórmulas 1 y 7, checar 𝒅𝒖 ∫ 𝑑𝑥 − 2 2 𝑢 = 8𝑥 𝑑𝑢 = 8 𝑑𝑥

1 1 1 𝑥− ∙ ∫ 𝐶𝑜𝑠 8𝑥 𝟖𝑑𝑥 ⟸ Ajuste del elemento diferencial, faltaba constante 8 2 2 𝟖 1 1 𝑆𝑒𝑛 8𝑥 + 𝑐 ⟸ 𝑹 …el ángulo cambio porque usamos identidad 𝑥− 16 2 𝟑

𝟔. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 √ 𝟒 + 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ⟸ No hay fórmula directa, usar álgebra y jerarquía en integrando = ∫(4 + 𝑆𝑒𝑛 5𝑥)

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𝐶𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥 ⟸ Usar fórmula 5, identificar 𝒖, 𝒏 y checar 𝒅𝒖

𝑢 =...