Clase 6. Vectores Unitarios. Plano osculador.Curvatura y Torsión. 2018 PDF

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Cálculo en Varias Variables

Clase 6 .Vectores Unitarios. Plano osculador.Curvatura y Torsión Vectores unitarios: tangente, normal y binormal Sea C : P  t, t  I una curva regular en I  a, b, descrita por una función  : I  R  Rn Definición.El vector tangente unitaria en el punto t de la curva C, se define por:  t Tt :   t Observación. (a) Como la función  tiene derivada continua sobre a, b, la curva C descrita por  es de clase C1. La longitud stdel arco de C correspondiente a la transformación  de a, t es st 

a udu, t  a, b t

( el número es la distancia a lo largo de la curva C del punto a al punto t ).De acuerdo con el primer teorema fundamental del cálculo integral se tiene: s t    t Luego, usando  tenemos   t   tTt  stTt (b)Supongase ahora que  es diferenciable sobre a, b; es decir que  t existe sobre a, b .entonces   t  s tTt  s tT t (c) Como Tt  1, para todo t  I y por teorema anterior se deduce que :Tt  T t, para todo t  I. Definición.Si suponemos que la función Tt es derivable y T t  0, entonces podemos definir el vector normal unitario a la curva C en el punto t, por: T t   Nt : T  t Así, Nt  1, para todo t  I. Observación. (a) De la observación anterior,   t  s tTt  s tT t y T  t  T tNt podemos escribir:   t 

s  t 

Tt s  tT t Nt

Comp.tangencial

Comp.normal

Osea la segunda derivada del vector t, tiene componentes en la dirección de Tt , y en la dirección de Nt. A la componente en la dirección de Tt se denomina componente tangencial y a la componente en la dirección de Nt se denomina componente normal. (b) Si t describe el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una C, entonces la primera derivada de t es la velicidad y esta tiene la dirección tangencial. la N. Chau

1

segunda derivada es la aceleración y esta componente tangencial llamada aceleración tangencial y componente normal llamada aceleración normal.Osea, at   t  aT Tt  aN Nt, donde comp Tt   t  aT    t  Tt  s t comp Tt   t  aT    t  Nt  s  tT t (c)Como Tt  Nt  Tt y Tt  Nt  Nt, entonces Tt  Nt  TtNt sen  2 Así, Tt  Nt es unitaria. Definición.El vector unitario dado por Bt : Tt  Nt. se llama vector binormal unitario a la curva C en el punto t.

 1,

Observación. En cada punto de t de C los vectores Tt, Nt y Bt forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales, llamada la triada móvil de C. Note que T, N y B en este orden, es un triedo positivamnete positivamente orientado: T  N  B, N  B  T, B  T  N Definición.- Dada una curva Γ, para cada punto Γ : P  t, t  I , el conjunto Tt, Nt, Bt forma un sistema de referencia ortonormal centrado en P y orientado positivamente, llamado triedro de Frenet. Plano Osculador El par de vectores Tt y Nt definen un plano,en cualquier punto t de la curva C, así la ecuación del plano que pasa por t de la curva C y es generado por los vectores Tt y Nt es dado por :

P : P  t  Bt  0

N. Chau

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Este plano es conocido como el plano osculador a la curva C en el punto t. El par de vectores Nt y Bt definen un plano,en cualquier punto t de la curva C, así la ecuación del plano que pasa por t de la curva C y es generado por los vectores Nt y Bt es dado por : P : P  t  Tt  0 Este plano es conocido como el plano normal a la curva C en el punto t. El par de vectores Tt y Bt definen un plano,en cualquier punto t de la curva C, así la ecuación del plano que pasa por t de la curva C y es generado por los vectores Tt y Bt es dado por :

P : P  t  Nt  0 Este plano es conocido como el plano rectificante a la curva C en el punto t.

Ejemplo.Demuestre que si una curva C se encuentra en el plano P en R3 entonces el plano osculador en cualquier punto de C es P. Solución. Sea P : P : P  n  c y supongamos que C está descrita por al función  como C  P, para cada t  Df, t  n  c. Diferenciando tenemos:   t  n  0 y, de aquí ,

N. Chau

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Tt  n  0 Diferenciando de nuevo tenemos: T t  n  0 y, por tanto, Nt  n  0 y, por tanto, esto muestra que n es ortogonal a Tt y Nt.Además, t pertenece al plano P y al plano osculador de C en t. Por tanto estos planos deben coincidir. Observación. La normal de P es n : Btconstante. La curva es plana si la binormal Bt es constante.

Curvatura y torsión Curvatura de una curva Sea C una curva regular(Lisa o suave) descrita por una transformación  de a, b. Nuestro objetivo es definir una medida de pandeo de la curva C en un punto. La curvatura de una curva en el instante t es un número que expresa la magnitud del cambio de su vector tangente con respecto a la longitud de arco.Es decir, la curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. F  t  Concretamente tenemos: Sea Tt  F  t el vector tangente unitario de una curva en el tiempo t. Entonces tenemos: dT ds dT ds



dT ds





dT dt . dt ds 1 T  t s t 1 F t

T t,

obtenemos  dT  T t Nt. ds F t que dice que el vector curvatura tiene la misma dirección que la normal principal Nt.El factor escalar que multiplica a Nt en la relación anterior es un número no negativo llamado curvatura de la curva en t y se designa por t.Así, la curvatura t definida como la longitud del vector curvatura: T t t  . F  t

Vemos que t es la norma de un vector que tiene la misma dirección del vector normal unitario. Si este número es muy grande nos indica que la curva se tuerce mucho en trayectos muy cortos y si es pequeño nos indica que la curva se tuerce poco. Por ejemplo, consideremos la recta Ft  P  tA, t  a, b. Vemos entonces que Tt es constante y por lo tanto dT  0. Así que t  0. Esto es: la linea recta no tiene ninguna ds tendencia a torcerse. Ejemplo.Curvatura de una circunferencia. Sea C la circunferencia de radio r, dada por la parametrización t  r cos t, r sin t, t  0, 2, tenemos  t  r sin t, r cos t,  t  r   t   Tt   sin t, cos t   t Luego tenemos T N. Chau

 t

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T  t   cos t,  sin t .  1, así que t  1r . Esto prueba que una circunferencia tiene

curvatura constante. El recíproco de la curvatura es el radio de la circunferencia. Cuando t  0 su inverso se denomina radio de curvatura y se designa por t  1 . t La circunferencia en el plano osculador de radio t y centro situado sobre la normal y hacia el extremo del vector curvatura se llama círculo osculador. Se puede demostrar que el círculo osculador es la posición límite de las circunferencias que pasan por tres puntos próximos de la curva cuando dos de los puntos se aproximan al tercero. Debido a esta propiedad se dice que el círculo oscula.Además veremos el círculo osculador, que por así decirlo es el que “besa” a la curva en un punto dado. Una definición un poco más técnica sería esta: es una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la normal a la curva y tiene la misma curvatura que la curva dada en ese punto. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz, en un punto de la curva, son llamados centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. El plano en el que está contenida la circunferecia osculatriz se denomina plano osculador.

Si el punto C es el centro de la circunferencia de curvatura entonces OC  t  tNt. Sean t0  y t1  dos puntos sobre C. El cambio promedio de dirección por unidad de distancia sobre este arco es Tt 1   Tt0  |st 1   st0 |

Torsión La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia la torsión, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano, la curvatura es distinta de cero, la torsión es nula, ya que, el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene.

N. Chau

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La variación del vector binormal nos proporciona la torsión de la curva. cuando más rápido cambia ésta, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida es la curva. Supongamos que C es un curva regular en R3 descrita por  : I  R  R n y que el vector B t binormal Bt es diferenciable en todos los puntos t. En t el vector  describe la s t raz´ón de cambio del vector binormal con respecto a la distancia a lo largo de la curva. B t es paralela a Nt, es igual al número real por Nt.Es decir, Se puede demostrar que  s t el negativo de este número se llama torsión de C en t y se denota por t. Es decir, la torsión  está definida por la relación B t  ts tNt Observación. (a) La binormal de una curva plana es constante, la torsión de una tal curva es cero. (b) Si la curva no es plana, entonces la torsión da una medida del torcimiento de la curva respecto al plano osculador. (c) Si k  0  C es una recta Si k  0 y   0  C es curva plana Si k es constante y   0  C es circunferencia Si k es constante  0 y  es constante  0  C hélice circular Si  es constante C hélice cilíndrica k

N. Chau

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Teorema.Si  : I  R  R 3 es una parametrización de clase C2 de la curva , entonces los vectores unitarios asociados a la parametrización  en cualquier punto t de la curva  son :  t  t t    t . Bt :  t    t Tt :

Nt : Bt  Tt Además, la curvatura de  en cualquier punto t de la curva  está dada por :  t   t kt : 3 t Teorema.Si  : I  R  R 3 es una parametrización de clase C3 de la curva , entonces la torsión de  en cualquier punto t de la curva  está dada por :  t   t    t t : 2  t   t Observación. T N





B

0

k

0

T

k

0



N

 0

B

0

Fómulas de Frenet

Integración La integración de funciones vectoriales la definimos así:

 a Ftdt   a f 1tdt, . . . , a f ntdt b

b

b

.

Como en el caso de funciones de variable y valor real, tenemos acá los teoremas fundamentales del cálculo que enunciaremos sin demostración pues ésta sigue los mismos pasos que la que conocemos en los primeros cursos de cálculo. Teorema.(Primer Teorema Fundamental del Cálculo). Sea F : a, b  R n continua y sea c  a, b. Entonces la función Gx   Ftdt x c

cumple que G  x  Fx. Teorema. (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo). Supongamos que F  es continua en a, b. Entonces para cada c, x  a, b tenemos que Fx  Fc 

c F tdt. x

Ejemplo 1.Dada la curva

C:

x2  2y  2z  0 x2  y2  4y  0

a Parametrice la curva C en términos de senos y cosenos, indicando su respectivo dominio. b Halle los vectores unitarios Tt, Bt y Nt en el punto genérico Q  0, 0, 0 de la curva C, donde el vector tangente es paralela a la recta

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y  0

L:

.

z  0

c Halle la curvatura kt y la torsión t de la curva C y la ecuación del plano osculador en el punto Q hallado en b. Solución.

a

C:

2z  2y  x 2 x2  y  2 2  4

Parametrizando la curva C : x  2 cos t y  2  2 sen t

, t  0, 2

Reemplazando en el plano 2z  2y  x2 , se tiene 2z  22  2 sen t  4 cos2 t  z  2  2 sin t  2 cos 2t Así, x  2 cos t

C:

; t  0, 2

y  2  2 sin t z  2  2 sin t  2 cos t 2

b t  2 cos t, 2  2 sin t, 2  2 sin t  2 cos2t; t  0, 2    t  2 sin t, 2 cos t, 2 cos t  2 sin 2t ; t  0, 2   t  2 cos t, 2 sin t, 2 sin t  4 cos 2t Como el punto Q  t  C, entonces existe un r  R tal que 2 sin t, 2 cos t, 2 cos t  2 sin 2t  r, 0, 0 , de donde t   , 3 . 2 2 Así,   0, 2, 2,  3 0, 0, 0(se descarta) 2 2       2, 0, 0 . 2       0, 2, 6 2

N. Chau

8

         2, 0, 0   0, 2, 6  0, 12, 4  2 2    t   t  4 10 Bt  1 0, 1, 3 10   2, 0, 0 2   1, 0, 0 T    2, 0, 0   2  2         2 2  1 0, 3, 1  0, 3, 1 . B    10 2         2 2 N    B    T    1 0, 3, 1  1, 0, 0  1 0, 1, 3 . 10 10 2 2 2        4 10 10 2 2 . c k     3 3  2 2 2   2   t  dtd 2 cos t, 2 sin t, 2 sin t  4 cos 2t  2 sin t, 2 cos t, 2 cos t  8 sin 2t       2 sin  , 2 cos  , 2 cos   8 sin 2   2, 0, 0 2 2 2 2 2              2  0, 12, 4   2, 0, 0   0 2 2    : 2 2 2 4 10        2 2 Hallando la ecuación del plano osculador en el punto Q  C :  : B    P      0   : 0, 3, 1  x, y  2, z  2  0 2 2   : 3y  z  4  0. Ejemplo 2. Considere la curva :

xy  0 z  sen y

a Encuentre todos los puntos de  donde la curvatura es cero. b Halle la torsión de  en el punto  2 , 2 , 1 . Solución. a Parametrizando la curva: Sea y  t y de: x  y  0 se tiene que x  t. Ahora de la ecuación: z  sin y  z  sin t, t  R. Así, una parametrización para  es entonces  : R  R3 definida por

t  t, t, sin t, t  R.  1, 1, cos t para todo t  R, vemos que  es de clase C 1 y que Como   t  0, 0, 0 para cualquier t  R. Esto prueba que  es regular. t

N. Chau

9

La curvatura en cada punto t   se calcula por:  t    t kt : 3  t Como  t  0, 0,  sin t ,  t  1, 1, cos t  2  cos 2t y   t   t  1, 1, cos t  0, 0,  sin t   sin t,  sin t, 0  sin t1, 1, 0,   t  t  2 |sin t | Así vemos que   t  t kt    t   t  sin t1, 1, 0  0  sin t  0,  t3 y las soluciones únicas son t  k : k  R . Por lo tanto, los puntos busacdos son k, , 0 : k  R  b Se tiene   t  1, 1, cos t ,  t  0, 0,  sin t y t  0, 0,  cos t , por lo tanto,   t   t  t t :  2  t   t  sin t,  sin t, 0  0, 0,  cos t t   0, t  k : k  R 2 sin 2 t    :  0. 2 Ejemplo 3.Sea la curva C :

x2  y

3 2

y

 z  x2

.

a Parametrizar C. b Hallar el plano osculador P en los puntos Q de C donde el plano P es paralela a la recta L : P  0, t, 2t, t  R. c Calcular la curvatura y torsión de la curva C. Solución. a Parametrizando la curva C:

N. Chau

10

Sea x  t  y  t2  z  t 2  t3 . Así, t  t, t 2, t 2  t 3, t  R. b   t  1, 2t, 2t  3t2 ,   t  0, 2, 2  6t  t  0, 0, 6   t   t  1, 2t, 2t  3t 2  0, 2, 2  6t  6t 2, 6t  2, 2   23t 2, 3t  1, 1 Bt    t   t  Bt  3t 2, 3t  1, 1 Por condición : existe un punto Q  t  C tales que P osc L  Bt  0, 1, 1  3t2 , 3t  1, 1  0, 1, 2  0  t  1. Así, Q  1  1, 1, 0.Luego,  1  1, 2, 1,  1  0, 2, 4 Luego, hallando la ecuación del plano osculador en el punto Q  C,   1   1  1, 2, 1  0, 2, 4  6, 4, 2  3, 2, 1 P osc : P  1  B1  0  x  1, y  1, z  0  3, 2, 1  0. Por tanto, la ecuación del plano osculador en el punto Q  C es,

P osc : 3x  2y  z  1  0 c)   1  1, 2, 1  6   1   1  6, 4, 2   1   1  6, 4, 2  2 14 2 14  1   1 1 21 .  k1  3  9 1 3  6  1   1   1 6, 4, 2  0, 0, 6   143 .  1 : 2 2    1   1 2 14 Ejemplo 4.Dada la curva , parametrizada por t cos t, sen t, f t

con t 

R,

donde f : R  R tiene derivadas hasta de tercer orden. a)Demostrar que la curvatura t es no nula. b)Hallar la torsión t en cualquier punto de . c)Encontrar una función f t no constante tales que la curva  sea plana. Solución a)  t  dtd cos t, sin t, f t   sin t, cos t, f t   t  dtd  sin t, cos t, f  t   cos t,  sin t, f t  t  ddt  cos t,  sin t, f t  sin t,  cos t, ft  t    t   sin t, cos t, f t   cos t,  sin t, f t  t    t  f t cos t  f t sin t, f t sin t  ft cos t, cos 2t  sin 2t Luego   t   t  ft 2  f t2  1   t  N. Chau

1  f t 2 11

kt 

 t  t   t

3

f t f  t 1 2



1f t

2

2

3

0



b)  t   t    t  f t cos t  f  t sin t, f t sin t  f t cos t, 1  sin t,  cos t, f t   t    t    t  f t cos t sin t  f t sin 2 t  f  t cos t sin t  f t cos 2t  f  t     t   t   t  f t  f t   t    t   t f t  f t t   2 2 2 ft  f  t  1  t   t c)La curva  es plana: si kt  0 y t  0, para todo t  R  ft  f t  0. Sea u  ft u   u  0, entonces la solución exacta es: u  ft  A cos t  B sin t  C. Otra forma: Una curva es plana si existe un plano que la contiene.

Sea P   

P : ax  by  cz  d  0 entonces a cos t  b sen t  cf t  d  0  f t   ca cos t  cb sen t  dc f t  A cos t  B sin t  C.

Ejemplo 5.Dada la curva  descrita por la parametrización Ft  a cos t, c  c sin t, b cos t, t  0, , donde a  b  0 y c  a2  b2 . aCalcular la curvatura de  en cualquier punto de la curva . bDeterminar el plano osculador de la curva  en el punto donde la recta tangente es paralela al plano XZ. cLas rectas tangentes a la curva  cortan al plano XY en una curva B. Hallar las ecuaciones paramétricas para B. Solución. aSea Ft  a cos t, c  c sin t, b cos t, entonces F t  a sin t, c cos t, b sin t F t  a cos t, c sin t, b cos t F txF t  cb, 0, a F t  c F t  F  t  c 2 Ft  F t

 c1 . 3 F t bLa derivada de F es paralela al vector j  0, 1, 0, entonces se tiene cos t  0, de donde

Así, kt 

N. Chau

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t . 2 Así el punto P  0, 0, 0 y el plano osculador es : P : x, y, z. b, 0, a  0, de donde

P : bx  az

0 cLas rectas tangentes a la curva  en cualquier punto es: x  a cos t  a sin t y  c  c sin t  c cos t;   R z  b cos t  b sin t Reemplazando en la ecuación del plano XY : z  0 Resulta que   cos t/ sin t  cot t. Así la curva B, está dada por las ecuaciones paramétricas : x0 y  c1  csc t; 0  t   z0 1 , 2t 2  2 . Ejemplo 6.Sea Ft  lnt  1, t t...