Condensateur Plan - L’objectif de ce travail pratique est d’étudier le comportement d’un champ électrique PDF

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Summary

L’objectif de ce travail pratique est d’étudier le comportement d’un champ électrique au borne d’un condensateur. Dans un premier temps nous allons fixer une distance inter-plaque et faire varier la différence de potentiel au borne du condensateur puis dans un second temps nous allons fixer une diff...

Description

DUTILLEUL Guillaume GONÇALVES Léa

TP Condensateur Plan : Le Champ Electrique L’objectif de ce travail pratique est d’étudier le comportement d’un champ électrique au borne d’un condensateur. Dans un premier temps nous allons fixer une distance inter-plaque et faire varier la différence de potentiel au borne du condensateur puis dans un second temps nous allons fixer une différence de potentiel et faire varier la distance inter-plaque.

I.

Etude Théorique

1. On cherche à connaître la dimension du champ électrique D’après la loi de Coulomb :  E F=q 

[ E ]

et son unité SI.

Avec  F la force électrostatique et q est la charge subit par le champ électrique  E . Une force s’exprime toujours en Newton (N) et une charge s’exprime en Coulomb (C). Or, les coulombs et les newtons ne sont pas des unités SI. Les coulombs sont équivalents à des (ampère seconde). Pour exprimer des newtons en unités SI, on prend l’exemple du poids  P . On sait que :

‖P ‖=m‖g ‖ Avec m en kg et g , l’accélération de la pesanteur en m.s-2. Donc les newtons s’expriment en kg.m.s-2. Ainsi on déduit que le champ électrique  E

s’exprime en kg.m.A-1.s-3.

On peut donc en déduire les dimensions de  E . Dimension Longueur (L) Masse (M) Temps (T) Intensité (I) Ainsi, d’après l’unité de  E [ E ]=ML T −3 I −1

Unité SI Mètre (m) Kilogramme (kg) Seconde (s) Ampère (A) :

2. On sait que la capacité du condensateur s’exprime comme le rapport entre la charge totale Q d’une plaque du condensateur et la différence de potentiel V appliquée sur les deux plaques : Q C= V

Or, la charge totale Q peut s’exprimer comme le produit de la densité surfacique de charge σ d’une plaque du condensateur et de la surface S d’une même plaque : Q=σ × S On peut également exprimer la différence de potentiel V comme le produit de la distance entre les deux plaques du condensateur d et la norme du champ électrique  E : V =d × E On obtient donc :

C=

σ×S d×E

Or, on sait que la permittivité du vide ε 0 d’exprime comme le rapport de la densité surfacique de charge et de la norme du champ électrique : ε0 =

σ E

On obtient finalement une expression de la capacité du condensateur par rapport à la surface S , de la permittivité du vide ε 0 et de l’écartement des plaques d . C=

ε 0 ×S d

3. On cherche à déterminer les dimensions d’un condensateur plan de capacité de 1 farad constitué de deux plaques carrées séparées par 1 mm de vide. C=1 F ; d=10−3 m ; ε 0 =8,8542∗10−12 F . m−1

S=

C×d ≈ 1,13× 109 m 2 ε0

Soit c , le côté d’une plaque du condensateur. c= √ S ≈ 10627,4 m≈ 10,6 km

Pour faire baisser la valeur du côté d’une plaque de condensateur, il faudrait diminuer l’écart entre les deux plaques d . On devrait aussi trouver comment « changer » la permittivité du vide. Pour cela, il faudrait utiliser un autre milieu diélectrique que l’air, par exemple l’eau. ε r =80 L’eau à une permittivité relative de 80 : ε =ε 0 × εr −10

ε =7,08× 10

−1

F .m

On calcul alors le coté d’une plaque d’un condensateur de capacité 1 farad, plongé dans l’eau (avec d environ égal à l’épaisseur d’un cheveu, d=10−4 m ) :

c=

√

C ×d ≈376 m ε0

On obtient finalement un résultat plus réalisable que le précédemment mais tout de même difficilement réalisable.

II.

Incertitudes

Dans cette partie, on va déterminer l’incertitude sur le champ électrique. Cette incertitude possède deux origines. On la décompose donc en deux incertitudes : ∆ E=∆ E1 +∆ E 2 ∆ E1 vient de l’erreur donnée par le constructeur du MCE, l’appareil de mesure du champ électrique fixé sur une des plaques du condensateur : ∆ E1 =P × E

Où P est égal à 5% pour une sensibilité du MCE de 1 kV.m-1 ou est égal à 3% pour une sensibilité de 10 et 100 kV.m-1. ∆ E2 est une erreur de lecture sur l’ampèremètre, c’est en fait l’incertitude absolue ∆ I commise sur la mesure de l’intensité du courant (erreur de lecture 1% et classe de l’ampèremètre 2,5%) : ∆ E2 =P I × sensibilité du MCE Avec PI =1 %+2,5 % =0,035 .

III.

Manipulation

2. On cherche à déterminer la valeur de l’intensité maximale du courant qui nous traverserait si on touchait les deux plaques du condensateur (on ferme le circuit), tout en négligeant notre résistance interne. On a U =300 V , la tension maximale applicable au borne du condensateur. On obtient un circuit de cette forme :

On applique la loi d’Ohm :

U =R × I Nous prenons 5000

I=

Ω la résistance du corps humain. Nous obtenons donc :

U 300 =0,3 A = R 1000

Il s’agit d’un courant qui est mortel pour l’homme. 3. Nous fixons une distance d=( 5 ; ± 0,1) cm Calculons la surface S des plaques :

S=l

2

entre les deux plaques.

S=0,0025 m

2

Déterminons l’incertitude sur la surface S de la plaque :

ln S=2 ln l

dl dS =2 l S

| △l l|S

△ S=2

Soit :

△ S=2×

× 0,0025 |0,001 0,05 |

△ S=0,0001 m2 Nous avons vu précédemment que :

C=

S × ε0 d

Donc la capacité du système est égale à :

C=

0,0025× ε0 0,05

C=4,427 ×10−13 F

Déterminons l’incertitude sur la capacité du système :

ln C=ln S+ ln ε 0−ln d △ C=

(

)

△ C=

0,001 × 4,427 ×10 − ( 0,0001 0,0025 0,05 )

△ S + △ ε0 − △ d C S d ε0

△ C=8,854 × 10−15 F

−13

4. Mesure du champ électrique en fonction de la tension, à écartement des plaques constant.

Nous relevons une série d’une dizaine de valeurs du champ électrique en fonction de la tension appliquée. Nous savons que les trois sensibilités permettent d’obtenir un courant continu maximal de 1mA. Nous obtenons les résultats suivant : U (V)

E

△V 30 60 90 120 150 180 210 240 270 301

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

△E 580 1170 1725 2130 2640 2730 3600 4100 4600 5000

I (mA) 64 93,5 121,25 141,5 167 171,5 458 473 488 500

Le champ électrique théorique est obtenu par la relation suivant :

1 ×V = E d Il s’agit d’une relation sous la forme : y=ax + b

Avec :

Calibre (V/m) 0,58 1,17 1,725 2,13 2,64 2,73 0,36 0,41 0,46 0,5

1000 1000 1000 1000 1000 1000 10000 10000 10000 10000

1 d

-

a=

-

b=0

-

y=E

La valeur attendue de la pente est

1 =20. d

Traçons la courbe du champ électrique en fonction de la tension appliquée.

Courbe champ électrique en fonction de la tension appliquée 6000

Champ électrique

5000

f(x) = 16.17 x + 158.62 R² = 0.99

4000 3000 2000 1000 0 0

50

100

150

200

Tension aplliquée U (V)

Calcul de la pente minimale : amin =

y b (min )− y a( max ) =14,18 x b (max )−x a (min)

250

300

350

Calcul de la pente maximale : amax =

y b (max )− y a(min) =18,60 x b (min )−x a (max)

Nous obtenons finalement : aexp =16,17 ±2,435

La pente obtenue expérimentalement est légèrement inférieur à la valeur attendue par la théorie. Nos résultats restent cohérent car proche de ce que nous nous attendions à obtenir.

5. Mesure du champ électrique en fonction de l’écartement des plaques. Nous relevons une série d’une dizaine de valeurs du champ électrique en fonction de l’écartement des plaques. Nous obtenons les résultats suivant : U (V)

△V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

250 250 250 250 250 250 250 250 250 250

d (m) I (mA) Calibre (V/m) E 0,01 1,74 10000 0,02 1,02 10000 0,03 0,72 10000 0,04 0,43 10000 0,05 0,42 10000 0,06 0,35 10000 0,07 0,3 10000 0,08 0,27 10000 0,09 0,24 10000 0,1 0,21 10000

△E 17400 10200 7200 4300 4200 3500 3000 2700 2400 2100

Traçons la courbe du champ électrique en fonction de l’écartement des plaques.

872 656 566 479 476 455 440 431 422 413

Courbe champ électrique en fonction de la distance entre les plaques 100000

log (E)

f(x) = 255.16 x^-0.93 R² = 0.99 10000

1000

0.01

0.09

log (d)

E=α +d

β

β ln E=ln α +ln (d )

ln E=ln α + β ln d Par identification :

y=b + βx Avec :

y=ln E b=ln α

x=ln d Ici, nous avons β=−0,926 . Sur notre graphique utilisant l’échelle du logarithme, la pente obtenue expérimentalement est de -0,926.

IV.

Conclusion

Lorsque nous fixons un écartement entre les deux plaques du condensateur et faisons varier la différence de potentielle entre ces deux plaques, nous observons que le champ électrique crée par le condensateur est proportionnel à cette différence de potentiel. D’après nos résultats expérimentaux, le champ électrique est entre 14 et 19 fois plus grand que le potentiel appliqué. Dans la théorie il l’est 20 fois. Nos résultats obtenus par l’expérience sont donc cohérents. Nous ne pouvons pas tirer de conclusion pour la deuxième expérience car nous n’avons pas pu obtenir la pente attendue par la théorie et déterminer les incertitudes....