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Professor J. Hempel 1

DG 1-2 Die Darstellende Geometrie im zweiten Semester

Okt.2011

HAW Hamburg, Fakultät TI, Department F+F

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Professor J. Hempel

1. 1.1.

Das Prisma in allgemeiner Lage

Prisma und Profilschnitt

Als Prisma wird ein Körper bezeichnet, dessen Körperkanten zueinander parallel sind. Aufgabenstellung : Geg. : Zwei Höhenlinien einer ebenen Vorderwand sowie zwei Höhenlinien gleicher Höhe einer ebenen Seitenwand (siehe Skizze). Ges. : Ein Prisma mit den Abmessungen 30x20. Es soll so liegen, daß die Schnittgerade der beiden Ebenen eine der Körperkanten darstellt. Des Weiteren ist die Seite mit der Länge 20 mm zur Seitenwand hin ausgerichtet. Begrenzt wird es durch π1 und durch die Ebene z = 60. Lösungsweg : 1. Schritt : Die Schnittgerade g1 ist die Verbindungslinie der Schnittpunkte der Höhenlinien. Diese stellt die Begrenzungsgerade einer A-Säule dar. Es wird eine neue Bildtafel π3 definiert (z.B.π3=⊥ π1; * g1). Im Bild π3 ist diese Gerade dann wahr abgebildet. 2. Schritt :Zum wahren Bild der Schnittgeraden g1 wird die Bildtafel π4 errichtet (z.B. π4 =⊥ π3; ⊥ g1) :g1 erscheint als Punkt.In diesem Bild kann der Profilschnitt angetragen werden. Um die Lage des Profilschnittes definieren zu können, ist es notwendig, die Lage der Vorderwand (und Seitenwand) in diesem Bild zu kennen. Es werden deshalb Elemente dieser Wände mit ins Bild π4 projiziert (Punkte P3, P4 und P5 ). Mit Hilfe der gesuchten Abstände vor π3 (aus dem Bild π1 ) werden diese Punkte im Bild π4 dargestellt. Aufgabengemäß wird nun das Profil an der Vorderwand ausgerichtet und im Bild π4 eingezeichnet. Die Prismakanten g2, g3 und g4 werden ins Bild π3 und π1 zurückprojiziert. Anschließend wird das Prisma auch im den übrigen Bildern dargestellt.

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Überlegungen 1. Wie liegt das Profil im Fahrzeug? 2. Welche Konsequenzen hat die Lage? 3. Was muß der Konstrukteur beachten? 4. Gibt es andere und bessere Lösungsmöglichkeiten? Okt.2011

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1.2.

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Die Abwicklung des Prismas

Die Abwicklung eines Körper dient zur Erstellung eines Modells. Sie ist eine Aneinanderreihung der Körperflächen als wahre Bilder. Dazu benötigt man eine sogenannten Basis, die rechtwinklig zum wahren Bild der Körperkanten stehen muß. Aufgabenstellung : Geg. : Ges. :

Das Prisma aus 1.1.1. Die Abwicklung des Prismas

Lösungsweg : 1. Schritt : Die sogenannte Basis ist eine Hilfsgerade zur Konstruktion der Abwicklung. Sie muß senkrecht auf das wahre Bild der Körperkanten erstellt werden. Das Bild π3 zeigt die Körperkanten in wahrer Länge und wird deshalb auch als Basis benutzt. 2. Schritt : Zunächst muß entschieden werden, an welcher Stelle das Prisma aufgeschnitten wird. Die Entscheidung hierüber kann z.B. von Fertigungsgesichtspunkten abhängen: kurze Fügelängen (Schweißnähte) Anschließend ist darauf zu achten, ob man die Innen- oder Außenfläche abwickeln möchte. Dies hängt von dem Beginn der Abwicklung ab. Im Bild der Abwicklung ist nun die Lage der Basis festzulegen. Zur Abwicklung werden die Körperflächen aneinander anschließend dargestellt. Die wahren Abstände der Körperkanten liefert uns der Profilschnitt (hier Bild π4 ). Diese werden im Bild der Abwicklung auf der Basis abgetragen und normal zur Basis die Lage der Körperkanten dargestellt. Die fraglichen Abstände zur Basis werden aus dem Bild π3 in die Abwicklung übertragen. Durch Verbinden der Endpunkte erhält man die Abwicklung, die noch um die Deckelflächen ergänzt werden muß. Die Deckelflächen des Prismas Okt.2011

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können dem Bild π1 entnommen werden, da sie hier wahr gesehen werden. Man muß jedoch den oberen Deckel spiegeln, da man von ihm die Außenfläche sieht und in dem Beispiel die Innenflächen abgebildet sind. Die Abwicklung kann nun zur Überprüfung ausgeschnitten und zusammengeklebt werden.

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2. Kreisdarstellungen in allgemeiner Lage 2.1.

Die Ellipse

Definition : Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten gleich ist. Die Form der Ellipse hängt von der Lage der beiden Punkte und der Länge der Abstandssumme ab. Die beiden festen Punkte heißen Brennpunkte der Ellipse. Die Hauptachse der Ellipse geht durch die beiden Brennpunkte, die Nebenachse steht senkrecht auf dem Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Brennpunkten.

Flächeninhalt: Dabei sind a und b die Haupt- und Nebenachse der Ellipse. Die Gerade, die durch den Mittelpunkt läuft und die längste Ausdehnung besitzt, bezeichnet man als Hauptachse 2a . Als große Halbachse a wird die Hälfte dieser Strecke bezeichnet. Die Endpunkte der Hauptachse nennt man Hauptscheitel. Senkrecht und im Mittelpunkt auf ihr steht die Gerade mit der kürzesten Ausdehnung. Sie wird als Nebenachse 2b bezeichnet. Die Hälfte dieser Strecke wird kleine Halbachse b genannt. Die Endpunkte der Nebenachse nennt man Nebenscheitel. Die Ellipse ist spiegelsymmetrisch zu Haupt- und Nebenachse sowie punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Als Hauptkreis bezeichnet man den Kreis mit dem Radius a , als Nebenkreis den Kreis mit dem Radius b. Der Mittelpunkt dieser Kreise ist der Mittelpunkt der Ellipse. Die Brennpunkte F sind der Schnittpunkt eines Kreisbogens mit dem Radius a um C bzw. D.

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2.2.

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Die Fadenkonstruktion

Die Fadenkonstruktion, die auch Gärtnerkonstruktion genannt wird (da sich mit ihr leicht Ellipsen im Garten konstruieren lassen), benutzt als Hilfsmittel einen Faden. Dieser hat die Länge der Summe der Abstände von einem Punkt der Ellipse zu den beiden Brennpunkten. Er wird an den Brennpunkten befestigt. Um die Ellipse zu erhalten, wird nun ein Stift so um die Brennpunkte geführt, daß der Faden immer unter Spannung steht. Diese Konstruktionsweise läßt sich mit dem Zirkel schrittweise nachempfinden, indem man die Hauptachse in zwei beliebige Abschnitte teilt. Die Abschnittlängen werden mit dem Zirkel um F1 bzw um F2 geschlagen. Man erhält vier Schnittpunkte. Diese Vorgehensweise kann beliebig häufig zur genauen Ellipsendarstellung wiederholt werden.

2.3. Weitere Methoden Konstruktion von Ellipsen

zur

Gegeben : Brennpunkte F1 und F2 sowie die Hauptachse 2a Man schlägt um einen der Brennpunkte einen Kreisbogen mit dem Radius 2a (Hauptachse). Einen beliebigen Punkt auf diesem Kreisbogen verbindet man nun mit beiden Brennpunkten. Auf der Strecke zwischen dem Punkt P und Brennpunkt F2 errichtet man die Mittel-senkrechte. Der Schnittpunkt mit ist Element der gesuchten Ellipse. Durch Variieren des Punktes auf dem Kreisbogen erhält man weitere Punkte der Ellipse. Das gleiche Verfahren wird anschließend für den anderen Brennpunkt wiederholt. Gegeben : Halbachsen a und b

3. Möglichkeit : Man schlägt um die Mittelsenkrechte den Haupt- und Nebenkreis. Auf der großen Halbachse wird nun eine beliebige Gerade g errichtet. Diese schneidet den Hauptkreis in zwei Punkten A und B. Verbindet man nun diese Punkte mit Okt.2011

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dem Mittelpunkt M , so ergeben sich zwei Schnittpunkte C und D mit dem Nebenkreis. Die Parallelen durch C und D zur Hauptachse führen zu zwei Schnittpunkten mit g . Diese Punkte E und F sind Punkte der Ellipse. Durch Wiederholen dieses Verfahrens erhält man weiterer Ellipsenpunkte. Dieses Verfahren wird als das Keppler-Verfahren bezeichnet. Es gibt weitere Möglichkeiten ( z. B. Mit Hilfe von Papierstreifen) der Ellipsenkonstruktion, auf die hier nicht näher eingegangen werden soll. 2.4.

Näherungskonstruktion der Krümmungskreise

Um Ellipsen möglichst schnell und genau bei gegebenen Halbachsen zu konstruieren, benutzt man häufig die Scheitelkreiskonstruktion. Dabei nutzt man, daß die Bereiche um die Scheitelstellen annähernd Ausschnitte aus Kreisen sind. Es werden also ein kleiner und ein großer Kreis konstruiert, die Ellipse im Scheitelbereich ersetzen. 1. Schritt : Es werden Parallele zu den Halbachsen so gezogen, daß sich ein Rechteck mit den Kantenlängen a und b ergibt. Außerdem wird die Diagonale durch die Endpunkte der Halb-achsen eingezeichnet. 2. Schritt : Man errichtet eine Senkrechte auf der Diagonalen durch den Eckpunkt E des Rechtecks. Die Verlängerung der Senkrechten führt zu Schnittpunkten mit der Hauptachse ( M1 ) sowie der Verlängerung der Nebenachse ( m² ). Dies sind die Mittelpunkte der gesuchten Scheitelkreise. Durch Spiegeln erhält man die vier Scheitelkreisbögen. 2.5. Konstruktion der Hauptachsen aus konjugierten Halbachsen nach Rytz

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Sind Haupt- und/oder Nebenachse einer Ellipse nicht gegeben, so müssen diese zur weiteren Darstellung konstruiert werden. Dies geschieht mit Hilfe der dann gegebenen Geraden, den sogenannten konjugierten Halbachsen. Die Länge L der konjugierten Durchmesser variiert zwischen 2b < L < 2a . 1. Schritt :

Der Punkt A wird um 90\ im größeren Winkel der konjugierten Durchmesser gedreht. Der Punkt Ag wird mit dem Endpunkt D des anderen Durchmesser verbunden. 2. Schritt : Die Strecke A g D wird nun in zwei gleich große Teile geteilt Tipp : am schnellsten und genauesten erhält man die Mitte einer Strecke, in dem man einen beliebigen Kreisbogen um die beiden Enden der Geraden schlägt und die beiden Schnittpunkte miteinander verbindet. Der Schnitt dieser Geraden mit der zu teilenden Geraden ist genau der Mittelpunkt. Die Geraden stehen genau lotrecht aufeinander! Um den entstandenen Punkt P schlägt man einen Kreisbogen, der durch den Schnittpunkt der konjugierten Durchmesser geht. Es entsteht mit der Verlängerung der Geraden A g D zwei weitere Schnittpunkte Q und R.

3. Schritt : Okt.2011

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Verbindet man den Punkt Q mit dem Mittelpunkt M, so erhält man die Richtung der Nebenachse. Die Verbindung von R und M liefert die Richtung der Hauptachse. 4. Schritt : Die Länge a und b lässt sich nach der vollständigen Verlängerung der Geraden a ⇒ DQ b ⇒ DR A g D wie folgt abmessen :

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2. 6.Rektifikation eines Kreises nach Kochanski Dieses Verfahren dient zur Umfangsermittlung eines Kreises. Die Umfangslinie wird dabei durch eine Gerade ersetzt, die sich leicht vermessen läßt. Durch geometrische Betrachtungen läßt sich feststellen, daß bei der Methode die Zahl π mit= 3,141533339 angenähert wird. Der Fehler beträgt 0,02 0/00 . Dies bedeutet bei einer Abweichung von 1 mm, einen Kreis mit einem Radius von 8,43 m ! 1. Schritt : Es wird der Radius um 30\ gedreht. Es ergibt sich durch Verlängern ein Schnittpunkt A mit der Tangente an den nicht gedrehten Radius. 2. Schritt :

Von diesem Punkt A wird auf der Tangente 3r abgetragen. Es ergibt sich Punkt B. 4. Schritt : Es wird eine Gerade von Punkt C (s. rechts) nach Punkt B erstellt. Diese ergibt nun die halbe Umfangslänge. 5. Schritt : Die Parallele zur Tangente durch M liefert den Schnittpunkt D. Er teilt die Gerade in

U 4

6.Schritt : U

Parallelverschiebung durch die Punkte der Dreiteilung liefert 12 .

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3.

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3. Zylinder in allgemeiner Lage 3.1Durchdringung eines Zylinders mit Ebenen Zylinder in allgemeiner Lage können durch Ebenen begrenzt werden. Stehen die Ebenen nicht senkrecht auf der Mittelachse des Zylinders, so ergeben sich Ellipsen als Schnittkurven. Aufgabenstellung Geg :

Eine Mittelachse g1 eines Zylinders durch zwei Punkte P1

( 20 / 60 / 40 )

P2

( 50 / 35 /

0)

Durchmesser d = 30mm Er wird begrenzt durch π1 sowie einer Normalebene auf g im Punkt P1 . Ges :

1.Das Bild des Zylinders in πi. 2.w. B. Der Deckelflächen

1. Schritt : Als erstes wird durch π3 das wahre Bild von g1 abgebildet (π3 = ⊥ π1 ; * g1). In π4 (π4 =⊥ π3 ; ⊥ g1), sieht man g1 als Punkt. 2. Schritt : In diesem Bild wird der Profilschnitt des Zylinders dargestellt, indem man einen Kreisbogen mit d = 30 mm schlägt. Die Lage der Mantellinien wird festgelegt und ins Bild π3 projiziert (eventuell auf max. Ausdehnung (Sichtkanten) achten!). 3. Schritt : Da lt. Aufgabenstellung die obere Deckelfläche rechtwinklig zu g1 stehen soll, sieht man sie in π3 als Linie, da g1 wahr gesehen wird. Demnach ist die Deckelfläche ein Kreis, der schon in π4 wahr abgebildet ist. Das untere Ende des Zylinders wird durch π1 ( in π3 ebenfalls als Gerade) beschnitten. Da π3 parallel zu g1 und damit auch parallel zu den Mantellinien in π1 liegt, sind diese in π3 wahr abgebildet. 4. Schritt : Die Verschneidungspunkte mit π1 (in π3 )werden ins Bild π1 zurückprojiziert. Auf den erstellten Ordnern für diese Punkte werden die Frontabstände vor π3 (aus π4 ) abgetragen. Man erhält so die Bodenellipse (w.B.) und die Startpunkte Okt.2011

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für die Mantellinien, die ebenfalls in π1 dargestellt werden können (parallel zu g1 oder π3). Die obere Deckelfläche ergibt sich dann durch Verbinden der Schnittpunkte der entsprechenden Ordner mit den Mantellinien. 5. Schritt : Die Punkte der Grundellipse sind Element der Bildtafel π1. . Dadurch können diese leicht ins Bild werden in π2 projiziert werden und die Mantellinien dargestellt werden ( parallel zu g1). Die obere Deckelfläche wird nun ebenfalls ins Bild π2 projiziert.

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Nicht ebene Flächen lassen sich nur dann abwickeln, wenn sie als Aufstandslinien auf einerEbene Geraden haben. Über diese Geraden wird dann die Fläche abgerollt beziehungsweise abgewickelt. Solche Flächen nennt man Regelflächen. Aufgabenstellung : Der begrenzte Zylinder aus 13.1. soll abgewickelt werden. 1. Schritt : Im wahren Bild der Mantellinien (π4 ) wird eine Basis errichtet. Dies hätte in diesem Fall auch die obere Deckelfläche sein können. 2.Schritt : Die Basis wird in der Abwicklung dargestellt. Die Länge der Abwicklung ergibt sich durch Umfangsermittlung nach Kochanski. Ebenso ergibt sich daraus der Abstand für die einzelnen Mantellinien. Die Abstände Basis zu Endpunkte der Mantellinien werden auf den Mantellinien in der Abwicklung abtragen. 3. Schritt : Beachten: An der größten beziehungsweise kleinsten Ausdehnung gibt es in der Abwicklung parallele Tangenten zur Basis. Bei den mittleren Punkten (Nebenachse) ergeben sich Wendepunkte der Begrenzungslinie. (Die Wendetangente hat den gleichen Winkel zur Basis wie Basis-π1 ). 4. Schritt :

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Anschließend werden die Deckflächen zugefügt. Diese können π1 und π4 entnommen werden, da sie hier wahr abgebildet werden. Sie werden an einen gemeinsamen Begrenzungspunkt angebracht..

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4. Kegel in allgemeiner Lage 4.1.

Konstruktion und Kegelarten

Zur Konstruktion eines Kegels wird eine Leitkurve benötigt, die in der sog. Basisebene enthalten ist und ein Punkt Ms (Kegelspitze) außerhalb der Basisebene. Der Kegel wird nun durch die Schar der verbindenden Geraden (Erzeugenden oder Mantellinien) der Leitkurve mit MS beschrieben. In Abhängigkeit der relativen Position der Kegelspitze zur Leitkurve und deren Form unterscheidet man folgende Kegelarten: • Gerader Kreiskegel Die Leitkurve ist ein Kreis und die Kegelspitze (MS) befindet sich senkrecht über dem Kreismittelpunkt (ML). • Schiefer Kreiskegel Die Leitkurve ist auch ein Kreis, die Kegelspitze steht jedoch nicht orthogonal über dem Kreismittelpunkt. • Gerader oder schiefer Kegel Die Leitkurve ist eine beliebige Kurve in der Basisebene. Kegelschnitte Je nach Lage der Schnittebene bzgl. des Kegels können folgende Durchdringungskonturen entstehen: a) Schnittebene orthogonal zur Kegelachse:

Kreis Punkt(nicht dargestellt)

(durch Kegelsspitze): b) Ebene schräg zur Achse:

Ellipse

c) parallel zu einer der Mantellinien:

Parabel

d) parallel oder schiefwinklig zur Kegelachse:

Hyperbel

e) und f) Schnittebene verläuft durch Kegelspitze: Dreieck g) Tangentialebene an Mantellinie:

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Gerade (Mantellinie selbst)

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4.2.

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Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene

Aufgabenstellung: Geg:

Ebene ε :

S ( 0/0/0); ξ = 35\ ; η = -60\

Kegel :

MS ( 70 / 40 / 85 ) ML ( 70 / 40 / 0 ) Basis-∅: 60 mm

Ges:

Die Durchdringungskontur -und fläche (WB)

Lösungsweg: 1. Schritt: Die Ebene und der Kegel werden gemäß den Angaben in den Grundansichten π1 und π2 konstruiert. Dazu wird im Bild π1 eine (z.B.) 12er Teilung des Basiskreises vorgenommen, um die Mantellinien des Kegels als dessen Repräsentanten darzustellen. 2. Schritt: Es gilt nun die Durchdringungspunkte der Ebene mit den Mantellinien des Kegels zu ermitteln. Wir erinnern uns an das Schnittebenenverfahren ( Durchstoßpunkt von Gerade und Ebene). An den Mantellinien (hier 4 und 12 als Beispiel) wird eine Hilfsebene senkrecht auf π2 errichtet ( εh =⊥ π2 ;* 4/12; Abstand 0 ) und mit ε verschnitten. Die Schnittgerade von ε und εH fällt im Bild π2 mit der Frontabstandslinie der Hilfsebene bzw. den Mantellinien zusammen. Im Bild π1 liefert sie zwei Punkte der gesuchten Durchdringungskontur ( A für Mantellinie 4 und B für Mantellinie 12). Die Wahl der Teilung und die Ausrichtung der Mantellinien erweist sich als vorteilhaft, da pro Hilfsebene gleich zwei Durchdringungspunkte ermittelt werden können. Ausnahmen sind die Mantellinien 2 und 8 (jeweils nur einen Durchdringungspunkt). Etwas aufwendiger wird es bei 5 und 11. Mantellinien, sowie Hilfsebene und resultierende Schnittgerade liegen in beiden Bildern übereinander. Es wird dazu eine zusätzliche Bildtafel π3 im Bild π1 errichtet( π3 =⊥ π1 ;* 5/11 ), die beide Okt.2011

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Mantellinien wahr abbildet. Die Schnittgerade von ε und der Hilfsebene wird durch Projizieren der Punkte D1 und D2 ins neue Bild ermittelt. Die Schnittpunkte C (für 5) und D (fü...