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Einführung Mathematik Differentialrechnung Verfasser: Dipl.-Kfm. Thomas Rochow

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Hochschule für Oekonomie & Management

Hochschule für Oekonomie & Management Dipl.-Kfm. Thomas Rochow

Grobübersicht

I. Funktionen mit einer unabhängigen Variable 1. Definition 2. Darstellungsmöglichkeiten 3. Funktionstypen 4. Eigenschaften von Funktionen 5. Differenzialrechnung a) Sinn und Zweck b) Ableitungsregeln c) Anwendungsbeispiele - Wirtschaftswissenschaftliche Funktionen (Kostenfunktionen, Gewinnmaximum im Monopolfall, Gewinnmaximum bei vollständiger Konkurrenz, Angebots- und Nachfragefunktion) - Elastizitäten II. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 1. Definition 2. Darstellungsmöglichkeiten 3. Ableitungsregeln 4. Anwendungsbeispiele a) Kurvendiskussion b) Extremierung unter Nebenbedingungen - Substitutionsmethode - Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren (unter anderem Minimalkostenkombination)

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Anmerkungen zu Funktionen

Definition der Relation Eine Relation ist eine beliebige Zuordnung zwischen Elementen der Mengen A und B . Die Menge der geordneten Paare, die einander zugeordnet werden, heißt die Relation.

Arten der Relation a) linkstotale Relation ("von links total") Eine Relation heißt linkstotal, wenn zu jedem a A mindestens ein b B mit a, b existiert, d. h. wenn jedes Element aus A mindestens einmal zugeordnet wird. b) rechtseindeutige Relation ("nach rechts eindeutig") Eine Relation heißt rechtseindeutig, wenn zu jedem a A , das überhaupt zugeexistiert, d. h. für jedes a A, das ordnet wird, höchstens ein b B mit a , b überhaupt zugeordnet wurde, existiert eindeutig ein b B .

c) linkstotale und rechtseindeutige Relation (Funktion) Eine Funktion f ordnet jedem Element a

A genau ein Element b

B zu.

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Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen a) Die Menge A heißt Definitionsbereich D f Definitionsbereichs heißt Urbild. b) Die Menge B heißt Wertebereich W f f x W f heißt Bild.

c) Die Menge der Bilder Im f

der Funktion f . Ein Element x des

der Funktion f . Ein Element

heißt Bildbereich der Funktion f .

Eigenschaften von Funktionen a) Eineindeutigkeit Eine Funktion f heißt eineindeutig, wenn es zu jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element aus dem Wertebereich gibt und umgekehrt. b) Monotonie Gegeben sei eine Funktion f x und das Intervall I mit x1 , x 2 I und I D f : ba) f x heißt streng monoton steigend (streng monoton fallend) auf I , wenn für alle x 1 , x 2 I gilt: wenn x1

x 2 ⇒ f x1

f x2

bb) f x heißt monoton steigend (monoton fallend) auf I, wenn für alle x 1 , x 2 I gilt: wenn x1

x2 ⇒ f x1

f x2

c) Beschränktheit , so dass für alle x D f gilt: f x c Existiert ein c f x nach oben beschränkt (nach unten beschränkt). Existiert ein c

, so dass für alle x

D f gilt:

f x

(f(x)

c) , so heißt

c, so heißt f x

beschränkt. 4

d) Nullstelle(n) Für alle x n

D( f ) gilt: x n ist Nullstelle der Funktion f x , wenn f x n

0.

Ein Polynom n ten Grades ( n ist der höchste vorkommende Exponent der unabhängigen Variable x ) hat höchstens n verschiedene Nullstellen.

e) Symmetrie ea) Achsensymmetrie: Eine Funktion f x heißt achsensymmetrisch zur y -Achse, wenn für alle f x . x D( f ) gilt: f x Eine Funktion f x heißt achsensymmetrisch zur a -Achse (Parallele zur f a x . y -Achse), wenn für alle x D( f ) gilt: f a x

eb) Punktsymmetrie zum Ursprung Eine Funktion f x heißt punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x D( f ) gilt: f ( x ) f ( x ).

f) Krümmung Die Funktion f x heißt konvex (konkav) auf I D( f ) , wenn für zwei beliebige verschiedene Punkte P ( x1 ; f (x 1 )) und Q ( x 2 ; f ( x 2 ) ) mit x 1 , x 2 I , der Graph von f unterhalb (oberhalb) der Sehne durch P , Q verläuft.

g) Extremwerte ga) lokale Extremwerte Lokale Extremwerte sind dadurch gekennzeichnet, dass sich bei einem lokalen Extremwert das Monotonieverhalten von f x ändert.

gb) Randextremwert Ein Randextremwert kann an den Grenzen des Definitionsbereichs von f x vorliegen.

h) Wendestellen Wendestellen sind dadurch gekennzeichnet, dass sich an eine Wendestelle das Krümmungsverhalten von f x ändert.

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i) Asymptotisches Verhalten Hier wird das Verhalten der Funktion f ( x) für x

untersucht.

Nähert sich dabei die Funktion f ( x ) einer Funktion f A ( x ) , so dass gilt: lim ( f ( x )

x

f A (x ))

0

so heißt f A (x ) Asymptote zur Funktion f ( x ) .

j) Stetigkeit Anschaulich gesprochen heißt eine Funktion f ( x ) stetig genau dann, wenn wir ihren Graph in einem Stück, d. h. ohne den Stift abzusetzen, zeichnen können.

mathematisch: Eine Funktion f ( x ) heißt stetig an der Stelle x 0

lim f ( x ) x

x0

D( f ) , wenn gilt:

f ( x 0 ).

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Aufgaben zu Funktionen

1. Skizzieren Sie eine über den gesamten Definitionsbereich a) eineindeutige b) nicht eineindeutige c) monoton fallende d) konkave e) nicht umkehrbare f) konvexe und nach unten beschränkte g) monoton steigende sowie nach oben und unten beschränkte Funktion.

2. Zeichnen Sie folgende Funktionen in ein Diagramm (an sich leicht, aber nicht zu unterschätzen) a)

f 1 ( x)

x2

b) f 1 (x ) 1x c) f 1 (x ) 1

x

f 2 ( x)

x2

f 3 ( x)

x3

f 2 (x ) 1,4 x

f 3 ( x)

2x

f 3 ( x)

0,5

f 2 (x )

0,8

x

x

3. Machen Sie sich den Verlauf folgender Funktionen klar: a)

f1 (x )

sin x

b) f 2 ( x )

cos x

c)

tan x

f3 (x )

d) Ermitteln Sie für alle drei Funktionen auch die Funktionswerte nachstehender charakteristischer Werte, angegeben in Grad: 0, 30, 45, 60, 90, 180, 360! Ziehen Sie zunächst den Taschenrechner zu Rate und schauen dann in Ihnen zur Verfügung stehende Tafelwerke. Wie können Sie die dort notierten Werte erklären? Welche Bogenmaßwerte – angegeben also in Teilen oder Mehrfachen von

- entsprechen den oben angegebenen Gradwerten?

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4. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen: a) f ( x )

x2

b) f ( x )

x 3 3x 2 22 x

c) f ( x )

x 56

3x 4

48, 75x 2

24 147

5. Zeichnen Sie in ein oder mehrere Diagramme folgende Funktionen:

f 1 ( x)

1 x

1 x

f 2 ( x)

f 3 ( x)

1 x2

f 4 ( x)

1 x2

Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich? Was liegt an den „kritischen Stellen“ vor? 6. Bestimmen Sie Definitionsbereich

der nachstehend angegebenen Funktionen! Über-

prüfen Sie, ob es sich bei etwaig vorhandenen Lücken um Polstellen handelt oder nicht, und versuchen Sie den Verlauf der Funktionen in der Umgebung der Polstellen zu ermitteln (keinesfalls sollten Sie mogeln und vorab einen Taschenrechner bemühen, der Ihnen die Funktionen zeichnet): e) f ( x ) f)

f (x)

g) f ( x )

ex

x x

x x

2

1

2

4, 1 16, 81

x9 1 x8 1

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Anmerkungen zur Differentialrechnung Differenzenquotient und Differentialquotient Differenzenquotient Der Differenzenquotient gibt den durchschnittlichen Anstieg einer Funktion f ( x ) von der Stelle x 0 zur Stelle x 0

x an.

x sprich: Delta x; inhaltlich ist die Änderung von x.

mathematisch:

y x

f x0

x x

f x0

.

Differentialquotient Der Differentialquotient an der Stelle x 0 gibt die Steigung der Funktion f ( x ) an der Stelle x 0 an. Dazu lassen wir x gegen Null streben. Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

mathematisch:

dy dx

lim x 0

y x

lim x 0

f x0

x x

f x0

f x0

y .

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Differenzierbarkeit Eine stetige Funktion ohne Ecken und Spitzen ist überall differenzierbar.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit Jede (über dem gesamten Definitionsbereich) differenzierbare Funktion ist (über dem gesamten Definitionsbereich) auch stetig. Eine (über dem gesamten Definitionsbereich) stetige Funktion ist jedoch nicht notwendigerweise (über dem gesamten Definitionsbereich) auch differenzierbar.

Ableitungsregeln Ableiten ist im Prinzip so einfach wie die Grundrechenarten ausüben. Sie sollten keine Panik haben, auch wenn Sie schulisch schlechte Erinnerungen damit verbinden.

a) Grunddifferentiale – elementare Funktionen Die Differentialquotienten nachstehender Funktionen sind eigentlich nicht einfach zu berechnen. Die Ergebnisse sind einprägsam, lassen sich einfach merken und sind – richtig verstanden – eine wertvolle Hilfe bei der Ableitung komplexerer Funktionen. Sie sollten in der Lage sein, abzuleitende Funktionen auf die Grundfunktionen zurückzuführen

Potenzfunktion :

y

xn

Logarithmusfunktion :

y

ln x

y' nx n 1 1 y' x

Exponentialfunktion zur Basis e : Sinusfunktion : Cosinusfunktion : Exponentialfunktion zur Basis a :

y

ex

y' e x

y sin x y cos x

y' cos x y' sin x

ax

y' a x ln a

y

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b) Spezielle Differentiationsregeln – verknüpfte Funktionen Wichtig ist zu erkennen, welche Ableitungsregel angewendet werden muss. Oftmals werden mehrere dieser speziellen Ableitungsregeln in Verknüpfung auftreten. Dann müssen Sie erkennen,

welche der nachstehenden Verknüpfungen die für die abzuleitende Funktion

wesentliche ist.

ba) Konstanter-Faktor-Regel Die Ableitung einer konstanten Funktion ist gleich 0. (Haben Sie dafür eine inhaltliche Erklärung?) Ein konstanter Faktor kann beim Differenzieren stets vor die Ableitung gezogen werden. Regel:

y

a f ( x)

y

a f ( x)

bb) Summenregel Zwei oder mehr als zwei abzuleitende Funktionen sind durch Strichrechenoperationen (Addition / Subtraktion) miteinander verknüpft. Regel:

y

f ( x)

g ( x)

y

f ( x)

g ( x)

bc) Produktregel Zwei Funktionen sind durch Multiplikation miteinander verknüpft. Regel:

y

f ( x ) g ( x)

y'

f ' (x ) g ( x )

f ( x ) g ' (x )

Hinweis:

Ein Produkt aus mehr als zwei differenzierbaren Funktionen lässt sich durch wiederholte Anwendung der Produktregel (nicht die entsprechende Klammerung vergessen!) differenzieren.

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bd) Quotientenregel Zwei Funktionen sind durch Division miteinander verknüpft. Regel:

f (x ) g( x)

y

f ' ( x ) g ( x ) f ( x ) g ' (x ) 2 g x

y'

be) Kettenregel Häufig vorkommend und am meistens dämonisiert ist die Kettenregel, also diejenige Differentiationsregel für zusammengesetzte Funktionen. Eine derartige Funktion ist z. B.: y

f g x

.

Setzt man g( x)

Substitution), erhält man mit y

z (diesen Vorgang nennt man im Übrigen

f ( z) die so genannte äußere Funktion, bei der es

sich um eine unter 2.4.1 bezeichnete Grundfunktion handelt, und mit z

g (x)die so

genannte innere Funktion. In diesem Sinne sind Funktionen, bei denen die Kettenregel anzuwenden ist, Grundfunktionen im festlichen Gewand. Regel:

y

f g x

y'

df g x dg x dg x dx äußere innere mal

Ableitung Ableitung

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Kurvendiskussion a) Definition Unter Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung. b) Bestandteile einer (vollständigen) Kurvendiskussion Bestandteile einer Kurvendiskussion sind: ba) Bestimmung baa) des Definitionsbereichs bab) der Nullstellen bac) der (lokalen) Extremwerte bad) der Wendestellen bae) des Verhaltens an Polstellen baf) des asymptotischen Verhaltens der zu untersuchenden Funktion f ( x ) und abschließend

bb) grafische Darstellung der Funktion f ( x ) .

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Aufgaben zur Differentialrechnung

1) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung zu folgenden Funktionen: a) f ( x )

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b) f ( x )

3xe x 2

c) f (x )

ln (x 2

x4

3x )

f( x)

( x 1) 2

( x 2) 2

e) f ( x)

(1 x) 2

(2

f) f ( z )

2z (3 z 2 )4

d)

2) Gegeben sei die Funktion f ( x)

x) 2

x2 x2

4 . 4

Bestimmen Sie

-

a) Definitionsbereich b) Nullstellen c) Extrema d) Wendestellen e) Polstellen f) das asymptotische Verhalten von f ( x ) und skizzieren Sie mit diesen Angaben den Graf von f (x ) .

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3) Gegeben sei die Funktion f ( x )

3x 1 3 . (1 x )

Bestimmen Sie a) Definitionsbereich b) Nullstellen c) Extrema d) Wendestellen e) Polstellen f) das asymptotische Verhalten von f ( x ) und skizzieren Sie mit diesen Angaben den Graf von f (x ) .

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Anmerkungen zu Differenzialrechnung in den Wirtschaftswissenschaften I - Wirtschaftswissenschaftliche Funktionen

Produktions-, Grenzertrags- und Durchschnittsertragsfunktion a) Definition der Produktionsfunktion (unüblich: Ertragsfunktion) Mittels einer Produktionsfunktion lässt sich die Abhängigkeit der Produktionsmenge X eines Gutes von den Einsatzmengen ri der Produktionsfaktoren (das sind z. B. Arbeitskräfte, Maschinen, Rohstoffe, Kapital) darstellen. formal:

X

X r1 ,r2 ,...,rn , wobei X die Produktionsmenge (Output) und r1 , r2 ,.. ., rn die Einsatzmengen der Produktionsfaktoren (Input) darstellen.

Von der Sache her ist die Produktionsfunktion also eine Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen. Oft sieht man aber die Einsatzmenge aller Faktorenaußer der eines Faktors als konstant an (so genannte ceteris-paribus-Betrachtung) und gelangt so zur einfacheren Darstellung: X X r

b) Das Klassische Ertragsgesetz

Das Klassische Ertragsgesetz ist aus der Landwirtschaft her bekannt und besagt, dass man mit zunehmenden Einsatz an Dünger zunächst zunehmende und ab einer bestimmten Menge abnehmende Grenzerträge zu verzeichnen hat, die schließlich auch negativ werden können. Der Kernpunkt besteht jetzt darin, aus dieser verbalen Umschreibung die richtigen mathematischen Schlussfolgerungen zu ziehen. Frage: Wie verläuft die Produktionsfunktion nach dem Klassischen Ertragsgesetz?

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c) Grenzertragsfunktion Die Grenzertragsfunktion trifft eine Aussage über die näherungsweise Änderung des Ertrages, wenn ausgehend von einer gegebenen Faktoreinsatzmenge selbige um eine Einheit erhöht wird. Mathematisch gesehen ist die Grenzertragsfunktion GE die erste Ableitung der Produktionsfunktion. formal: GE

X r

Frage: Wie verläuft die Grenzertragsfunktion nach dem Klassischen Ertragsgesetz?

d) Durchschnittsertragsfunktion Die Durchschnittsertragsfunktion DE gibt an, welchen Ertrag eine Einheit des eingesetzten Faktors durchschnittlich erbringt. formal:

DE r

X r r

Ausbringungsmenge Faktoreinsatzmenge

Output Input

grafisch: Bei einer gegebenen Produktionsfunktion lässt sich die zugehörige Durchschnittsertragsfunktion auch grafisch bestimmen: Vom Ursprung aus wird eine Verbindungslinie (Fahrstrahl) zu dem zu untersuchenden Punkt gezogen. Die Steigung dieser Verbindungslinie gibt den Durchschnittsertrag an. Frage: Wie verläuft die Durchschnittsertragsfunktion nach dem Klassischen Ertragsgesetz?

e) Satz zum Verhältnis von Grenzertrags- und Durchschnittsertragsfunktion Folgt die Produktionsfunktion dem Klassischen Ertragsgesetz, schneidet die Grenzertragsfunktion die Durchschnittsertragsfunktion gerade in deren Maximum. Aufgabe: Zeigen Sie diesen Satz für das Klassische Ertragsgesetz (mathematisch oder grafisch)!

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Kosten-, Grenzkosten- und Durchschnittskostenfunktion a) Definition der (Gesamt-)Kostenfunktion Die Gesamtkostenfunktion eines Unternehmens beschreibt die Abhängigkeit der gesamten Kosten K einer Periode von der innerhalb dieser Periode produzierten Menge. Die gesamten Kosten setzen sich dabei aus 1) den variablen Kosten und 2) den fixen Kosten zusammen. Die variablen Kosten sind von der produzierten Menge abhängig. In diesem Zusammenhang spricht man auch von beschäftigungsabhängigen Kosten. Die fixen Kosten dagegen sind von der produzierten Menge unabhängig. Diese Kosten heißen auch beschäftigungsunabhängige Kosten. Fixe Kosten fallen - kurzfristig betrachtet - also auch bei einem Output von Null an. formal: K ges . x

K var . x

K fix . Da die fixen Kosten nicht von der produzierten

Menge abhängen, sind sie das absolute Glied der Kostenfunktion. b) Variable Kosten und Produktionsfunktion Die variablen Kosten können unmittelbar aus der Produktionsfunktion X hergeleitet werden:

X r

1) Die Produktionsfaktoren ri werden mit ihren Preisen q i bewertet. qi sind die so genannten Faktorpreise: X X r1 q1 ;r2 q2 ;...;rnq n . 2) Die ri qi werden zu den variablen Kosten K var . K var . zusammengefasst: X X K var . .

r1q 1 r 2q 2

... rn q n

3) Da die Abhängigkeit der Kosten vom Output interessiert, wird die Umkehrfunktion gebildet: K var . K var . X . 4) Durch Einbeziehung der fixen Kosten K fix ergeben sich die Gesamtkosten K var . X K fix . K ges. X : K ges . X

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c) Durchschnittskostenfunktion und Grenzkostenfunktion Durchschnittskostenfunktion DK und Grenzkostenfunktion GK bestimmen sich analog Durchschnittsertragsfunktion DE und Grenzertragsfunktion GE . Die Durchschnittskosten sind also die auf eine produzierte Einheit durchschnittlich entfallenen Kosten. formal: graphisch:

DK X

Kges . X

Gesamtkosten . Pr oduktionsmenge

Vom Ursprung aus zeichnen wir an jeden Punkt der Gesamtkostenfunktion eine Verbindungslinie (Fahrstrahl), deren Steigung gerade den Durchschnittskosten in diesem Punkt entspricht..

Die Grenzkostenfunktion GK ist die erste Ableitung der Kostenfunktion K. Die Grenzkosten entsprechen dabei der Steigung der Tangenten an den betrachteten Punkt der Kostenfunktion. Die Grenzkosten geben näherungsweise die zusätzlichen Kosten einer zusätzlich produzierten Einheit von einer gegebenen Produktionsmenge aus an. formal: GK X

K X

dK . dX...