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EJERCICIOS DE ESTAD´ISTICA I.T.O.P. Alberto Luce˜no Fco. Javier Gonz´alez Universidad de Cantabria 1. ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA 1. Estad´ıstica descriptiva 1. En un estudio entre 145 familias, se ha observado que el n´ umero de hijos se distribuye de la siguiente manera: hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 frecu...

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EJERCICIOS DE ESTAD´ISTICA I.T.O.P.

Alberto Luce˜no Fco. Javier Gonz´alez Universidad de Cantabria

1. ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA

1. 1.

Estad´ıstica descriptiva

En un estudio entre 145 familias, se ha observado que el n´ umero de hijos se distribuye de la siguiente manera: hijos frecuencia

0 31

1 25

2 35

3 20

4 0

5 16

6 12

7 5

8 1

Se pide: a) Hacer un diagrama de barras. b)

Calcular, la media, la moda, la mediana y la desviaci´on t´ıpica. ◮

2.

x ¯ = 2,41, Mo = 2, Me = 2, Sx = 2,11

En diferentes d´ıas se ha observado el n´ umero de veces que ha sonado la alarma en un servicio de bomberos, obteni´endose los siguientes datos: {5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7, 3} Se pide: a) Obtener la moda, la mediana, Q1 , Q3 y el cuantil 0,40. b)

Obtener la media y la desviaci´on t´ıpica.

c) Efectuar un diagrama apropiado. ◮

3.

a) Mo = 3, 5, 6, M e = 5, Q1 = 3, Q3 = 6, c0,40 = 3

b) x ¯ = 4,235, Sx = 1,751

El porcentaje de algod´on en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta en la siguiente tabla. Calcular los estad´ısticos m´as importantes y construir el histograma de frecuencias.

32,1 33,4 33,8 34,4 34,7 35 35,5 36,8

32,5 33,5 34 34,5 34,7 35,1 35,6 36,8

porcentaje 32,6 32,7 33,6 33,6 34,1 34,1 34,5 34,6 34,7 34,7 35,1 35,1 35,7 35,8 36,8 37,1

de algod´ on 32,8 32,9 33,6 33,6 34,1 34,2 34,6 34,6 34,7 34,7 35,2 35,3 35,9 36,2 37,3 37,6

33,1 33,6 34,3 34,6 34,9 35,4 36,4 37,8

33,1 33,8 34,3 34,6 35 35,4 36,6 37,9

a) Dise˜ nar la distribuci´on de frecuencias con un cambio de variable. b)

Calcular los estad´ısticos: media, moda, mediana, Q1 , Q3 , c0,6 , varianza y desviaci´on t´ıpica.

c) Representar el diagrama de tallo y hojas. d)

A partir del diagrama anterior determinar la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil y comp´arese los resultados con los obtenidos a partir de la distribuci´on de frecuencias.

e)

Representar los histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas.

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1. ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA

f)

Representar el diagrama de caja y determinar los valores extremos. ◮

4.

2 b) Sx = 1,82, Mo = 34,8, Q1 = 33,8, Q3 = 35,475, c0,60 = 34,9

Un ingeniero se plantea la elecci´on entre dos fabricantes distintos para el suministro de cierto aditivo para el hormig´on. El ingeniero recibe las muestras de los suministradores A y B. Realiza las medidas para 15 bolsas de cada tipo del suministro. Los resultados se recogen en la tabla: Laboratorio A

2,769 2,955 3,051 2,865 2,969 3,017

Laboratorio B

2,813 2,962 3,076 2,901 2,984 3,039

2,863 2,98 3,123 2,923 2,981 3,044

2,875 3,007 3,161 2,940 2,996 3,057

2,924 3,028 3,216 2,945 3,002 3,14

Se pide: a) Dise˜ nar una distribuci´on de frecuencias para cada tipo de aditivo. b)

Realizar los histogramas adecuados para comparar gr´aficamente ambos aditivos.

c)

Determinar los principales estad´ısticos.

d)

Justificar el aditivo elegido. ◮

Descriptive Statistics Variable N Mean Median LabA 15 2,9869 2,9800 LabB 15 2,9869 2,9840 Variable LabA LabB

5.

Minimum 2,7690 2,8650

Maximum 3,2160 3,1400

TrMean 2,9860 2,9845 Q1 2,8750 2,9400

StDev SE Mean 0,1273 0,0329 % 0,0688 0,0178 % Q3 % 3,0760 % 3,0390

Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en un test de habilidad psicomotriz han sido las siguientes: Puntuaciones [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)

xi 7’5 12’5 17’5 22’5 27’5

fi 3 6 13 7 2 31

xi fi 22’5 75 227’5 157’5 55 537’5

Fi 3 9 22 29 31

a) Calcular los principales estad´ısticos centrales. b)

Rango intercuartil. ◮

6.

a) x ¯ = 17,34, Me = 17,5, Q1 = 13,96, Q3 = 20,9

b) RIQ = 16,94

En la siguiente tabla de frecuencias, se registran los pesos en gramos de ciertas tornillos.

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1. ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA

intervalo 1≤x 1).

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3. VARIABLES ALEATORIAS

e)

Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2. ◮

52.

1 12

a) a = 1/12, F (x) =

µ

¶ 1 3 x +x 3

b)

5 18

c) P (X < 1) =

Sea Y una variable aleatoria con funci´on de densidad   0,2 0,2 + k y pY (y) =  0

1 9

45 144

e) 0,054

c) 0,25

d) 0,71

d) P (X < 2|X > 1) =

dada por: −1 ≤ y ≤ 0 0 0,5|Y > 0,1). ◮

53.

a) k = 1,2

b) FY (y) = 0,2y + 0,2

−1 35) f ) p(30 < X < 42)

Se sabe que el n´ umero X de personas que entran diariamente en unos grandes almacenes se distribuye normalmente. Si hay una probabilidad 0,58 de que entren menos de 75 clientes y una probabilidad 0,38 de que entren entre 75 y 80 clientes, determinar la media y la varianza de la variable X. ◮ µ = 74,35 y σ = 3,22 La duraci´on aleatoria de un determinado tipo de art´ıculos, en horas, viene regulada por la ley de probabilidad N (180, 5). Determinar la probabilidad de que la duraci´on de tal art´ıculo: a) Sea superior a 170 horas. b) Sea inferior a 150 horas. ◮

121.

a) 0,9773

b) 0

Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina durante un cierto periodo de tiempo se comporta con arreglo a la ley normal de media 150000 litros y desviaci´ on t´ıpica 10000 litros, determinar la cantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95. ◮ C = 169600 litros Universidad de Cantabria.

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´ COMUNES 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MAS

122.

Un instrumento electr´onico est´a formado por tres componentes. Dos formas posibles de disponer estas componentes son: i) en serie, ii ) en paralelo. Si los tiempos de fallo de cada componente son independientes y siguen una distribuci´on exponencial con funci´on de densidad: f (t) = 0,01 e−0,01t , se desea saber: a) Probabilidad de que el instrumento funcione despu´es de 50 horas en los dos casos. b)

Si el sistema no ha fallado durante 20 horas, ¿cu´al es la probabilidad de que falle en las 30 horas siguientes? ◮

123.

124.

a) e−1

0,8452

b) 0,4512

0,1261

Para ganar el jubileo un peregrino decide ir, a golpe de alpargata, desde su pueblo hasta Santiago de Compostela, siendo la distancia entre ambos lugares de 300 km. Este peregrino es precisamente fabricante de dicho tipo de calzado y sus datos han permitido establecer a un ingeniero, que vive en el pueblo, a efectos de control de calidad, que los kil´ometros que se pueden recorrer con un par de alpargatas, antes de que queden inservibles, es una variable N (20, 16). Aunque el peregrino no le importa disciplinarse severamente, tampoco quiere correr un riesgo excesivo de destrozarse los pies. Por eso, quiere saber cu´al es el menor n´ umero de pares de alpargatas que debe llevar para tener una garant´ıa de al menos un 91 % de que no tendr´a que caminar descalzo. ◮ n ≥ 17 Un individuo juega con probabilidad de ganar igual a 1/2 en cada juego. Si gana en un juego obtiene 5 euros y si pierde paga 5 euros. Durante una tarde juega 400 veces. ¿Con cu´anto dinero debe acudir si quiere tener una probabilidad de 0,95 de hacer frente a sus posibles p´erdidas? ◮ 196

125.

126.

127.

Un corredor de bolsa adquiere 50 acciones diferentes. Se sabe, por estudios anteriores, que los beneficios de cada acci´on se distribuyen uniformemente en el intervalo (1000, 2000), y que dichos beneficios son independientes. Dicho corredor concierta con sus clientes una ganancia, por cada acci´on de 1200 euros, ¿qu´e probabilidad tiene de no perder dinero? ◮ 0,8 Un instituto de opini´on publica quiere obtener una muestra de votantes de un cierto estado, suficientemente grande para que la probabilidad de obtener una proporci´on de votos a favor del candidato A inferior al 50 %, sea de 0,01, si la intenci´on de voto a favor de dicho candidato es realmente del 52 %. ¿Qu´e tama˜ no deber´a tener la muestra? ◮ n ≥ 3388 Dos individuos A y B realizan un juego bajo las siguientes condiciones: se lanza un dado perfecto, si sale “1 o 2” el jugador A paga 6 euros a B, pero si sale “3, 4, 5 o´ 6” el jugador B paga 21 euros a A. Se pide: a) Si juegan 300 partidas determinar la probabilidad de A gane entre 175 y 230 euros. b)

El beneficio esperado para ambos jugadores en 300 partidas.

c)

Si B lleva en el bolsillo 200 euros, ¿cu´antas partidas al menos hay que jugar para que B lo pierda todo con una probabilidad de al menos 0,9772?

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´ COMUNES 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MAS

◮

128.

a) 0,99

b) E[BA ] = 3600 E[BB ] = −3600

c) n ≥ 28

El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 30 cl, y desviaci´ on t´ıpica 2 cl. a) ¿Cual es la probabilidad de que un bote determinado tenga m´ as de 33 cl? b)

En un envase de 6 botes ¿cual es la probabilidad de que el contenido l´ıquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? ◮

129.

130.

a) 0,0668

b) 0

Sabiendo que el 30 % de los enfermos con infartos de miocardio que ingresan en un hospital, fallecen en el mismo, y que al a˜ no ingresan 2000, determinar la probabilidad de que fallezcan en el hospital un m´aximo de 550. ◮ 0,0073 En un proceso de fabricaci´on se sabe que el n´ umero aleatorio de unidades defectuosas producidas diariamente, viene dado por la ley de probabilidad: P (X = r) = e−10

10r r!

r = 0, 1, 2, . . .

Determinar la probabilidad de que en 150 d´ıas, el n´ umero de unidades defectuosas producidas supere las 1.480 unidades. ◮ 0,69 131.

132.

133.

134.

Una empresa sabe que la demanda aleatoria de un art´ıculo que produce, se ajusta por la ley N(10000, 100). Si la empresa decide seguir produciendo el art´ıculo en el futuro, supuesto que la demanda est´e comprendida entre 9930 y 10170 unidades, determinar la probabilidad de que no siga produciendo tal art´ıculo. ◮ 0,2866 Una tienda comercial dispone a la venta diariamente s´olo dos art´ıculos a precios p1 y p2 , de forma que: el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del art´ıculo de precio p1 y el 30 % restante lo son del art´ıculo de precio p2 . Si en un d´ıa determinado se venden 2000 unidades, determinar la probabilidad de que m´as de 800 unidades correspondan al art´ıculo de precio p2 . ◮ 0 Un concesionario de autom´oviles vende a particulares veh´ıculos de la misma marca. Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de veh´ıculos est´e en servicio dos a˜ nos despu´es es de 0,8, determinar la probabilidad de que–de 4000 autom´oviles vendidos–m´as de 3120 est´en en servicio dentro de dos a˜ nos. ◮ 0,9992 La demanda de un producto oscila diariamente entre 20 y 40 unidades. Determinar la probabilidad de que en un periodo de 182 d´ıas, el n0 de unidades demandadas supere 6370 unidades, supuesta la independencia de la demanda de cada d´ıa respecto de las restantes. ◮

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0

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5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES

5. 135.

Ajuste de Distribuciones

Se lanza un dado 1200 veces y se obtienen los siguientes resultados: Xi Oi : frecuencia

1 175

2 215

¿Es el dado regular? 136.

4 190

5 170

6 230

◮ Se rechaza con χ2 = 15,75 > χ25 = 11,07

para α = 0,05

Para cuatro variedades de plantas, la teor´ıa de Mendel predice descendientes en la proporci´on 9 : 3 : 3 : 1. Por cruzamiento se tomaron 240 descendientes y se agruparon por variedades, obteni´endose: Xi Oi : frecuencia

Var1 120

¿Est´an de acuerdo los resultados con la teor´ıa? 137.

3 220

Var 2 40

Var 3 55

Var 4 25

◮ Se rechaza con χ2 = 11,11 > χ23 = 7,81

para α = 0,05

Durante la Segunda Guerra Mundial se dividi´o el mapa de Londres en cuadr´ıculas de 1/4 km y se cont´o el n´ umero de bombas ca´ıdas en cada cuadr´ıcula durante un bombardeo alem´an. Los resultados fueron: x: Impactos en cuadr´ıcula Oi : frecuencia

0 229

1 211

2 93

3 35

4 7

5 1

Se quiere contrastar la hip´otesis de que los datos siguen una distribuci´on de Poisson. Se pide: a) Dise˜ nar las columnas adecuadas que registren las frecuencias observadas y las esperadas. b)

Calcular el estad´ıstico del contraste χ2 .

c)

Hallar el cuantil 0,95 de la distribuci´on χ2g.l. y decidir si se acepta que los datos de la muestra se ajustan a la distribuci´on te´orica. b) χ2 = 1,02

◮

138.

c) χ23;0,95 = 7,81

Se desea contrastar que el n´ umero de rayos gamma emitidos por segundo, por cierta sustancia radiactiva, es una variable aleatoria que tiene ddistribuci´on de Poisson con λ = 2,6. Utilizar los siguientes datos obtenidos en 300 intervalos de un segundo para contrastar esta hip´ otesis nula en el nivel de significaci´on del 0,05. N´ umero de rayos gamma Oi : frecuencia

0 19

1 48

2 66

3 74

4 44

5 35

6 10

7 ´o m´as 4

◮ Se acepta con χ2 = 12,4 < χ27 = 14,07

139.

para α = 0,05

El tiempo de vida de 70 motores se registra en la siguiente tabla: A˜ nos de funcionamiento Oi : frecuencia

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(0, 1) 30

(1, 2) 23

(2, 3) 6

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(3, 4) 5

≥4 6 29

5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES

Contrastar la hip´otesis de que los datos siguen una distribuci´on exponencial. ◮ Se acepta con χ2 = 3,18 < χ23 = 7,81;

140.

α = 0,05

La siguiente tabla proporciona los tiempos (en minutos) que transcurren entre sucesivas conexiones de los usuarios al servidor encargado de mantener el servicio del sitio Web de una empresa. 9,71 15,58

3,76 6,07

17,59 39,88

0,72 1,27

0,96 20,31

2,59 12,69

16,76 2,47

9,16 2,44

3,53 10,97

16,47 16,28

Se pide: a) Dibujar la muestra en papel probabil´ıstico exponencial. b)

Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hip´otesis nula que afirma que los datos proceden de una distribuci´on exponencial de par´ametro desconocido. ◮ V´ ease el cap´ıtulo 5 del libro de Luce˜ no y Gonz´ alez(2003)

141.

La siguiente tabla proporciona los tiempos (en a˜ nos) que transcurren hasta que se aver´ıa una m´aquina. 2,63 1,8

2,5 3,25

3,52 2,94

2,79 3,7

4,56 4,33

5,03 3,09

4,99 4,16

3,68 3,86

3,28 4,21

2,12 3,27

Se pide: a) Dibujar la muestra en papel probabil´ıstico de Weibull. b)

Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hip´otesis nula que afirma que los datos proceden de una distribuci´on de Weibull de par´ametros desconocidos. ◮ βˆ = 4,49434; θˆ = 3,82296. V´ ease el cap´ıtulo 5 del libro de Luce˜ no y Gonz´ alez(2003)

142.

Los n´ umeros de pedidos recibidos en una f´abrica durante las u ´ltimas 20 semanas aparecen en la siguiente tabla. 298 300

302 302

305 288

297 296

283 317

309 319

286 295

292 304

304 313

307 306

Se pide: a) Dibujar la muestra en papel probabil´ıstico de normal. b)

Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hip´otesis nula que afirma que los datos proceden de una distribuci´on normal de par´ametros desconocidos.

◮ x ¯ = 301,15; s = 9,65333. D + = 0,072; D − = 0,062; D = 0,072; no se rechaza H0 : α > 0,15. A2 = 0,143; α = 0,965.

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´ DE PROCESOS 6. CALIDAD Y MONITORIZACION

6. 143.

Calidad y monitorizaci´ on de procesos

En una f´abrica de autom´oviles que produce discos de frenado se han observado los di´ametros de 30 discos. Los datos obtenidos est´an dados en cent´ımetros en la siguiente tabla: Intervalo de muestreo (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Di´ametro xt1 14,97 15,00 14,97 15,01 15,07 14,99 15,00 15,01 14,96 15,06

Di´ametro xt2 14,98 15,03 14,96 15,02 15,04 15,00 15,01 15,01 15,03 14,97

Di´ametro xt3 14,98 14,97 15,01 14,98 14,99 15,00 14,97 14,97 14,98 15,04

Estos datos han sido obtenidos a lo largo de 10 intervalos de muestreo sucesivos (t = 1, 2, . . . , 10 horas), en cada uno de los cuales se han elegido al azar 3 discos para medir sus di´ametros (xt1 , xt2 y xt3 ). Se pide: ¯ a) Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un gr´afico X. Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un gr´afico R. ¯ A la vista de este gr´afico, ¿puede decirse que la media del proceso b) Dibujar el gr´afico X. est´a bajo control estad´ıstico? c)

Dibujar el gr´afico R. A la vista de este gr´afico, ¿puede decirse que la variabilidad del proceso est´a bajo control estad´ıstico?

d)

Dibujar el gr´afico co-plot usando una constante de suavizaci´on de 0,7 para el gr´afico EWMA.

e)

Dibujar el gr´afico CUSUM unilateral superior suponiendo que el valor objetivo del di´ametro es 15 cm, que se desea detectar variaciones en la media del proceso del orden de +0,04 cm y que el intervalo de decisi´on es 0,12 cm. Repetir el gr´afico usando MINITAB.

f)

Dibujar el gr´afico EWMA usando MINITAB. Explicar las diferencias observadas respecto del gr´afico EWMA dibujado previamente. ◮ V´ ease el cap´ıtulo 6 del libro de Luce˜ no y Gonz´ alez(2003)

144.

Usando los datos del ejercicio anterior, se pide: a) Estimar los ´ındices de capacidad Cp , CpU , CpL , Cpk , Cpm y Cpc usando estimadores “globales”. b)

Estimar los ´ındices de capacidad Cp , CpU , CpL y Cpk usando estimadores “dentro de” cada intervalo de muestreo.

c)

Obtener el an´alisis de capacidad proporcionado por MINITAB. ◮ V´ ease el cap´ıtulo 6 del libro de Luce˜ no y Gonz´ alez(2003)

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