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Fisimat | Blog de Física y Matemáticas >> Matemáticas >> Derivadas Implícitas – Ejercicios Resueltos

Derivadas Implícitas – Ejercicios Resueltos Por: Carlos julián 8 Comentarios

Las derivadas implícitas o derivación implícita son derivadas de aquellas funciones donde la variable dependiente no está despejada, por lo general en cálculo diferencial se utiliza a la variable “y”, por otro lado en las derivadas algebraicas, trigonométricas, inversas, logarítmicas, exponenciales y de orden superior hemos estado usando funciones implícitas donde la variable dependiente se encuentra despejada. Para no confundirnos y entenderlo mejor, veamos algunos ejemplos de función implícita y explícita.   

Contenidos [Ocultar] 1 Ejemplos de Funciones Implícitas y Explícitas 2 Proceso para derivar implícitamente de la mejor manera. 3 Derivadas Implícitas Ejercicios Resueltos

Ejemplos de Funciones Implícitas y Explícitas Como dijimos al comienzo, las funciones explícitas son aquellas donde la variable dependiente se encuentra despejada, tal como en los siguientes ejemplos.

Si por el contrario, tenemos funciones implícitas entonces veremos a la variable dependiente “no despejada”, es decir;

Es muy fácil diferenciar entre las funciones explícitas e implícitas, si nos encontramos a las funciones implícitas de esa manera puede deberse por dos razones. 

Porque la variable dependiente sea algebraicamente imposible de despejar, por ejemplo cuando aparece parte del argumento y además está en alguna otra función. Por ejemplo:



La otra razón es porque el autor así decidió escribirlo, a veces para que el alumno mejore su habilidad de despejar variables.

Proceso para derivar implícitamente de la mejor manera. En la derivación implícita se emplean las mismas fórmulas de derivadas, no cambia en absoluto. Son exactamente las mismas reglas, lo único que debe considerarse es el tratar de considerar a la variable dependiente como si se tratara de una función por aparte, ver la siguiente imagen.

Paso 1: Para comenzar con nuestras derivadas implícitas, se deben derivar ambos miembros de la igualdad. Paso 2: Se debe despejar a dy/dx

Con estos dos sencillos pasos, tenemos el proceso listo para derivar. Veamos ahora algunos ejemplos.

Derivadas Implícitas Ejercicios Resueltos Ejemplo 1. Resuelve la siguiente derivada implícita

Solución: Observamos que se trata de una función implícita, siguiendo las reglas debemos derivar ambos miembros de la igualdad, por lo que obtendremos:

Derivando cada término, tenemos.

Hasta este punto es normal, sin embargo nos encontramos con diferentes casos de derivación, veamos:

Si derivamos ahora, obtendremos lo siguiente. Tener en cuenta que la “uv” es un producto de dos funciones.

Derivando, pero teniendo en cuenta que “y” es una función.

Multiplicando, obtenemos:

Juntamos en el miembro izquierdo a todas las derivadas y del miembro derecho a las que no tengan ninguna derivada.

Factorizando dy/dx de lado izquierdo, tenemos:

Ahora, solamente despejamos a dy/dx para obtener nuestro resultado. Resultado:

Ejemplo 2. Resuelve la siguiente derivada implícita

Solución: En ocasiones este tipo de ejemplos puede confundirse, porque la función es implícita, aunque del lado izquierdo aparezca despejada “y”, existe “y” de lado derecho esto hace que sea completamente implícita, ahora derivamos ambos miembros.

Observamos que en x lny lo resolveremos como el producto de dos funciones, para que tengamos algo similar a esto.

Derivamos el producto y obtenemos:

De otra forma, esto es:

Escribimos de lado izquierdo los términos que contengan a la derivada:

Factorizando a la derivada

Finalmente despejamos a la derivada, para que nos de el resultado:

Aplicando un poco de álgebra para expresar bien nuestro cociente y obtener lo que deseamos.

Resultado:

Ejemplo 3. Resuelve la siguiente derivada implícita

Solución: Nuevamente derivamos ambos miembros, de tal forma que tengamos algo así:

Posteriormente, aplicamos:

En el segundo miembro es lógico que nos dará cero, pues la derivada de la constante es cero, y en el primer miembro obtendremos esto:

Como nada más existe una sola derivada dy/dx, la mantenemos en el miembro izquierdo, es decir despejamos:

Simplificando, obtenemos:

Resultado:

Ejemplo 4. Resuelve la siguiente derivada implícita

Solución: En este ejemplo vemos a un producto de dos funciones en el miembro izquierdo y una constante en el miembro derecho:

Para el miembro izquierdo podemos mandar al 4 detrás de la derivada, de esta forma:

Derivando en el miembro derecho tenemos:

Ahora nos queda el producto de dos funciones en el miembro izquierdo, así que derivamos.

Esto nos daría, lo siguiente:

Para así obtener:

Multiplicando el 4, para poder así despejar a dy/dx, tenemos:

Despejando. . .

Ahora si despejamos a dy/dx

Simplificando tenemos:

Podemos utilizar las identidades trigonométricas para dejar expresada a nuestra derivada implícita con mejor orden, de esta manera: Resultado:...